【北师大版】期末模拟卷（2）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷，基于北师大版《数学 拓展模块一》1-10单元，精准覆盖核心考点，贴合职教高考题型，通过复习讲义与模拟卷结合，助力学生高效期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15题/45分|三角函数、数列、立体几何、解析几何、概率统计|考充分必要条件（逻辑推理）、椭圆焦点三角形周长（几何直观）| |填空题|5题/15分|等比数列、二项式定理、双曲线、长方体线面角|结合方程根求等比数列项（运算能力）、线面角正弦值（空间观念）| |解答题|4题/40分|向量运算、解三角形、椭圆与直线、立体几何异面直线角|向量坐标运算与夹角（数学语言）、椭圆与圆综合（模型意识）、异面直线所成角（空间观念）|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“角是第二象限角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据象限角的三角函数的符号结合充分条件和必要条件的概念分析即可. 【详解】若角是第二象限角， 则， 所以“角是第二象限角”能推出“”， 若， 则或， 所以角是第二象限角或第四象限， 所以“”不能推出“角是第二象限角”， 所以“角是第二象限角”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 2．（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：A. 3．在中，，，，则这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 【答案】A 【分析】先确定三角形的最大内角，再利用余弦定理求出最大内角的余弦值，根据余弦值的符号即可判断． 【详解】因为中，，，，可知角为最大内角． 由余弦定理可得， 可知角为钝角，故为钝角三角形． 故选：A． 4．已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（    ） A．15 B．50 C．100 D．1250 【答案】B 【分析】先证明为等差数列，再由等差数列的通项求解即可. 【详解】因为数列是项数相同的等差数列， 设的公差为，的公差为， 则， 即是常数，故数列为等差数列， 因为，所以数列的公差为， 所以数列的第25项为. 故选：B. 5．在中，，，则（    ） A．3 B． C．0 D．不能确定 【答案】A 【分析】用数量积定义计算即可得解. 【详解】因为在中，，， 所以. 故选：A 6．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线平行确定斜率，再根据双曲线与渐近线的关系与双曲线上的点的坐标求解即可； 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 又因为其中一条渐近线与直线平行，直线可化为. 所以，即. 所以双曲线方程可表示为，即. 因为双曲线经过点，所以，解得. 所以，所以双曲线为. 故选：A 7．已知分别是椭圆的焦点，点P是椭圆上的任一点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的方程求出的值，再由得出的值，最后由椭圆的定义和焦距即可解答. 【详解】已知椭圆， 则， 所以，所以的周长 ， 故选：D. 8．已知椭圆C：，圆，P，Q分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标与半径，画出图形，利用圆过椭圆右焦点结合椭圆定义与数形结合求解的最小值即可． 【详解】由圆，得． 则圆心为，半径， 作出椭圆与圆的图象如图， ，，， ，则， 则为椭圆的左焦点，可设椭圆的右焦点为， 则， 圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径． 的最小值为． 故选：D． 9．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若， ，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面，平面与平面的位置关系判断即可. 【详解】对于A：由两平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直这个平面，故A正确， 对于B：由一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直，故B正确， 对于C：由垂直于同一条直线的两个平面是平行的，故C正确； 对于D：，，可以得到直线m与n可能平行，还可能异面，故D不正确. 故选：D. 10．已知是两条不同直线，是空间中两个不同平面，则下列命题中正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的位置关系及直线与平面垂直的判定方法，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】选项A，若，则和可能平行、相交或者异面，所以选项A错误； 选项B，若，则与可能平行，也可能相交，所以选项B错误； 选项C，若，根据直线与平面垂直的判定方法可知，所以选项C正确； 选项D，若，则可能平行于，可能，也可能与相交，所以选项D错误. 故选：C. 11．若复数，则等于（    ） A．5 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念以及复数的乘法运算求解即可. 【详解】因为复数的共轭复数， 所以. 故选：A. 12．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据古典概率以及对立事件求解即可. 【详解】从个车位选个停放，总共有种不同选位方法. 三车全部不相邻的共有种不同选位方法. 因此三车全部不相邻的概率为，因此至少两辆相邻的概率为. 故选：D. 13．在的二项展开式中，若第3项与第6项的二项式系数相等，则含项的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式系数的概念得出，求出的值，再列出二项展开式的通项公式，并由的指数为列方程求值即可. 【详解】已知的二项展开式中， 第3项的二项式系数为，第6项的二项式系数为， 则，得， 所以通项为， 令得，系数为， 故选：B. 14．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（    ） A．5 B．15 C．2 D．8 【答案】A 【分析】利用频数等于样本容量乘以频率解答即可. 【详解】因为频数等于样本容量乘以频率， 而一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25， 所以频数为， 故选：. 15．已知，且是第四象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式求出的值，代入二倍角的正切公式即可得解. 【详解】已知，且是第四象限角， 则，， 则， 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是_________． 【答案】 【分析】由等比数列的性质、对数的运算性质及根与系数的关系即可得解. 【详解】由，是方程的两根，可知， 由等比数列的性质可知，， 故. 故答案为：. 17．设，则________．（用数字作答） 【答案】60 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 是的系数，令，即， 则， 故答案为：. 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 【答案】 【分析】利用线面垂直的判定定理和性质定理可证得，进而可知为与平面所成角，分析计算求解即可. 【详解】设为的中点，连接，如图所示： 因为在长方体中，， 所以上下底均为正方形，又因为为的中点， 所以，因为平面，且平面， 所以，因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以，所以为与平面所成角， 因为，所以，因为为的中点， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 20．在中，若，则是_______三角形. 【答案】等腰 【分析】根据诱导公式和三角形内角和为将转化为，再利用两角和差的正弦公式展开化简后得到的关系，进而判断三角形形状即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即， 因为，所以， 所以，即， 所以是等腰三角形. 故答案为：等腰. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据向量的模长公式计算即可. （2）根据向量平行可设，结合向量的模长公式求解即可. （3）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可. （1）. （2）因为，设， 则，解得. 因此或. （3）由（1）知，. 因为， 则， 所以，所以. 又，所以. 故与的夹角为. 22．已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知角化边，再由余弦定理求解即可. （2）根据余弦定理结合三角形的性质得，再结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得， 又因为，所以． （2）根据题意画出图像，如下图所示，    由题意可知，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，即， 由（1）知，所以， 所以. 23．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距，离心率公式即可求解. （2）根据联立直线与椭圆方程，以及韦达定理，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为离心率，焦距为2，所以，解得. 所以，则椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，直线斜率不为， 可设直线方程为，点， 联立，则， 所以， 因为以线段AB为直径的圆经过原点，所以，则， 即，又， 所以， 则， 即，整理得，解得， 所以，即直线l的方程.    24．如图，已知为所在平面外一点，，，，分别为和的中点.求和所成的角. 【答案】 【分析】通过构造中位线，将异面直线所成角转化为平面内三角形的角，再分析三角形进行求解. 【详解】如图所示，取的中点，连接、， 因为、分别为和的中点， 所以且，且， 于是为和所成的角， 因为，所以，即， 因为，所以，即和所成的角为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（2） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“角是第二象限角”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（ ） A． B． C． D． 3．在中，，，，则这个三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．已知数列是项数相同的等差数列，若，则数列的第25项为（    ） A．15 B．50 C．100 D．1250 5．在中，，，则（    ） A．3 B． C．0 D．不能确定 6．双曲线一条渐近线与直线平行，且过点则双曲线的方程（   ） A． B． C． D． 7．已知分别是椭圆的焦点，点P是椭圆上的任一点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 8．已知椭圆C：，圆，P，Q分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中不正确的是（    ） A．若， ，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知是两条不同直线，是空间中两个不同平面，则下列命题中正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．若复数，则等于（    ） A．5 B．3 C． D． 12．某停车场共有6个车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同的停车位上，则至少有两辆汽车停放在相邻车位上的概率是（     ） A． B． C． D． 13．在的二项展开式中，若第3项与第6项的二项式系数相等，则含项的系数是（   ） A． B． C． D． 14．一个容量为20的样本，已知某组的频率为0.25，则该组的频数为（    ） A．5 B．15 C．2 D．8 15．已知，且是第四象限角，则等于（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是_________． 17．设，则________．（用数字作答） 18．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 19．在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为_____________ 20．在中，若，则是_______三角形. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知，. (1)求； (2)若，求的坐标； (3)若，求与的夹角. 22．已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的面积． 23．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 24．如图，已知为所在平面外一点，，，，分别为和的中点.求和所成的角. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $