第7卷 三角函数的图像与性质（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考三角函数考纲，以“概念-真题-迁移-提升”逻辑构建方法体系，系统整合图像性质与变换规律，精选近三年真题实现考点精准突破，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2类函数性质+图像变换|梳理周期/奇偶性/单调性等核心性质，提炼“五点法”作图原理|从周期函数定义到正余弦函数性质，再到y=Asin(ωx+φ)变换，形成概念-性质-应用递进链条| |真题精讲|3考点5题|按值域/周期性/图像变换考点分类精讲，总结性质应用通法|考点与解法一一对应，强化数学思维的逻辑性| |举一反三|14题|通过跨年份/地区真题强化性质应用与图像分析技巧|从基础应用到综合问题，实现解题方法迁移| |拓展提升|10题|拓展图像面积计算/单调区间判断等综合题型解法|深化性质与图像的关联，提升数学语言表达能力|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 二、余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01三角函数的值域 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是( 　) A． B． C．0 D．5 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 考点02三角函数的奇偶性、周期性 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是(　　) A． B． C． D． 考点03三角函数图像的性质及其应用 4．（2026年山东省春季高考数学真题）把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 5．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是( 　) A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 4．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为D．的值为 5．（19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）已知，则不等式的解集是(　 ) A． B． C． D． 6．（21-22高三下·甘肃·对口/高职单招）已知，则a的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 7．（20-21高三·浙江·职教高考）正弦曲线与直线在区间内的交点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数的最大值为，最小值为，则函数的解析式为 . 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设函数，其中向量，且． (1)求实数的值； (2)求函数的最小值． 12．（23-24高二上·山东枣庄·阶段检测）已知函数，. 求： (1)函数的值域； (2)函数的最小正周期； (3)函数取得最大值时的集合. 13．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的集合. 14．（24-25高三上·山东菏泽·模拟预测）已知函数，其中，此函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)当时，求实数的取值范围． 【拓展提升】 1．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2023 D．2024 2．（23-24高三下·全国·对口/高职单招）函数是（     ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 3．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知正弦曲线在上与x轴围成的封闭图形的面积为2，则该曲线与x轴及直线围成的封闭图形的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 6．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知函数，，最小正周期为，则 . 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数解析式； (2)求函数取得最小值时x的集合. 8．（22-23高三·浙江·职教高考）已知函数 求： (1)函数的最小正周期； (2)函数取得最大值时的取值集合. 9．（23-24高三·山东泰安·二模）已知函数 (1)求其最小正周期； (2)当时，求函数的值域． 10．（24-25高三上·山东滨州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第7卷 三角函数的图像与性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、正弦函数的图像与性质 1. 周期函数的定义 周期函数的概念：对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都成立，则称为周期函数；函数和的周期均为． 2. “五点法”作图作正弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 3. 正弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 二、余弦函数的图像与性质 1. “五点法”作图法作余弦函数的图像 “五点法”作图原理：在确定正弦函数在[0，2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是． 2.余弦函数的图像与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 偶函数 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴 3. 函数的特征 若函数表示一个振动量时，则A叫做振幅，叫做周期，f＝叫做频率，叫做相位，叫做初相． 4．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 【真题精讲】 考点01三角函数的值域 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的最小值是( 　) A． B． C．0 D．5 【答案】B 【分析】令，使用换元法进行求解即可. 【详解】令，当时，， 则， 由二次函数可知，其函数图像开口向上，对称轴为， 所以当，函数单调递减， 所以当时，取最小值， 所以当，即时， 函数的最小值为， 故选：B. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知，，则实数的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出的取值范围，再求解不等式即可求解A的取值范围. 【详解】因为，所以， 则由得，， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 考点02三角函数的奇偶性、周期性 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知函数的周期是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式、两角差的正弦公式、辅助角公式和周期公式化简计算即可. 【详解】， 所以函数的周期， 故选：B. 考点03三角函数图像的性质及其应用 4．（2026年山东省春季高考数学真题）把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据图像平移的规律以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】函数的图象向右平移个单位长度得到函数， 所以. 故选：B. 5．（2024年山东省春季高考数学真题）与有交点，两个相邻交点的最小值为，将的值缩小为原来的，值不变，再向左平移为，，则_________. 【答案】 【分析】利用辅助角公式将式子进行化简，再根据函数图像的变化求出相应的解析式即可求值. 【详解】因为， 设函数过点，代入中为： ，， 则或， 又因为与相交且相邻两交点之间的最短距离为， 即， 所以，解得， 所以， 现将的值缩小为原来的，值不变 可得函数的图像； 再将图像向左平移，得到的图像， 又，即，解得， 所以，则. 故答案为：. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数是奇函数，则实数的值是( 　) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得结果. 【详解】由奇函数的定义可得， ， 即 则 得 解得. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数的图象过点. （1）求函数的最大值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）由的图象过点求得，再利用二倍角公式与两角差的正弦公式化简，进而利用正弦函数的性质即可得解. （2）由题意可，可求得，又因为，即可求解的值. 【详解】解：（1）因为的图象过点. 所以，解得， 则， 所以函数的最大值为2. （2）因为，即， 所以或， 解得或， 又因为，所以. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的最大值是_________. 【答案】 【分析】根据正弦函数的最大值代入求解即可. 【详解】因为的最大值为1， 所以的最大值为. 故答案为：. 4．（2021年山东省春季高考数学真题）函数的部分图像如图所示，则下列说法正确的是(　 ) A．该函数为偶函数 B．该函数的最大值为1 C．该函数的最小正周期为D．的值为 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的图像与性质分析即可. 【详解】A选项，通过图像可以看出为非奇非偶函数，A错误； B选项，通过图像可以看出的最小值为，则其最大值为，B错误； C选项，通过图像可知，得，故C正确； D选项，因为，则，故， 将代入，得，即 所以，即， 又，所以，故D错误. 故选：C. 5．（19-20高三下·黑龙江·对口/高职单招）已知，则不等式的解集是(　 ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦函数和余弦函数的图像和性质，即可求解. 【详解】 由题意，如图，结合正弦函数和余弦函数在区间上得图像，可知： 当时，， 即不等式的解集为. 故选：B. 6．（21-22高三下·甘肃·对口/高职单招）已知，则a的取值范围是(　 ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦函数值域求参数范围即可. 【详解】由余弦函数性质可知， 则，， 则a的取值范围是； 故选：A. 7．（20-21高三·浙江·职教高考）正弦曲线与直线在区间内的交点个数为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】画出两个函数的图象即可得到交点的个数. 【详解】正弦曲线与直线的图象如下： 所以交点的个数有4个. 故选：D. 10．（24-25高三·全国·对口/高职单招）函数的最大值为，最小值为，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据正弦函数的有界性，可得函数的最值，据此列方程组可求解. 【详解】因为，所以， 由题意可知，解得， 所以. 故答案为： 11．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设函数，其中向量，且． (1)求实数的值； (2)求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合向量内积的坐标表示，表示出函数解析式，将代入，即可求解； （2）根据题意，将m的值代入函数解析式，结合辅助角公式，及两角和的正弦公式，化简函数为正弦型函数，结合正弦函数的值域，即可求解. 【详解】（1）向量， ，又， ， 解得； （2）由（1）得，， ， 当时，取得最小值，即． 12．（23-24高二上·山东枣庄·阶段检测）已知函数，. 求： (1)函数的值域； (2)函数的最小正周期； (3)函数取得最大值时的集合. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（1）由两角和差公式,正弦型函数的性质即可得解. （2）由最小正周期的公式即可得解. （3）由正弦型函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为. 因为. 所以. 所以函数的值域为:. （2）最小正周期公式为. 所以函数的最小正周期为:. （3）当时,该函数取最大值. 此时. 解得. 故函数取最大值时的取值集合为:. 13．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位，纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数的最大值及取得最大值时x的集合. 【答案】(1) (2)，最大值为6 【分析】（1）根据正弦型函数图象得到和周期，结合最小正周期公式得到，再代入点坐标即可解得函数解析式. （2）根据正弦型函数平移规则得到函数的解析式，即可解得. 【详解】（1）由图象知，周期， 故，代入到得，， 即，故， 又，故，故. （2）函数图象向右平移个单位得到的图象， 纵坐标伸长3倍得到的图象， 横坐标伸长2倍得到的图象，即， 因为的最大值为1，故最大值为6， 此时，即，， 故x的集合为. 14．（24-25高三上·山东菏泽·模拟预测）已知函数，其中，此函数的部分图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)当时，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由图像及周期公式可得和的值，再把点代入函数解析式，结合题意可得的值，进而即可得解析式； （2）根据正弦型函数的图像及性质求解即可. 【详解】（1）由图像可知，，，即， 所以，把点代入得， 得到，所以， 又因为，所以， 即． （2）可化为， 所以， 即， 故实数的取值范围是． 【拓展提升】 1．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）函数的最小值是（    ） A．0 B．1 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】根据同角三角函数的基本关系进行化简，结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】因为函数， 又，所以，则， 所以函数的最小值为2023. 故选：C. 2．（23-24高三下·全国·对口/高职单招）函数是（     ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【分析】先由二倍角的正弦公式化简函数，再求解最小正周期，判断奇偶性即可. 【详解】因为函数为， 所以， 所以函数的最小正周期为， 又因为函数的定义域为R，定义域关于原点对称， 所以， 所以函数是奇函数. 故选：A. 3．（22-23高三下·黑龙江·对口/高职单招）下列关系式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由诱导公式化简，再由正弦函数的单调性判断大小即可. 【详解】因为， 当时，正弦函数单调递增，且， 所以，即. 故选：C. 4．（23-24高三下·河北·对口/高职单招）已知正弦曲线在上与x轴围成的封闭图形的面积为2，则该曲线与x轴及直线围成的封闭图形的面积为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先作出正弦曲线在上的图像，利用正弦曲线的对称性即可求解面积. 【详解】正弦曲线在上的图像为 根据图像和正弦曲线的对称性可知，和与和围成的面积相等， 所以该曲线与x轴及直线围成的封闭图形的面积， 与上与x轴围成的封闭图形的面积相等， 所以该曲线与x轴及直线围成的封闭图形的面积为2. 故选：B. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）函数（，）的部分图像如图所示．则函数的单调递增区间为（     ）    A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】根据题意结合正弦型函数的性质求出函数解析式，利用正弦型函数的单调性即可得解. 【详解】由图像可知，，解得， 所以函数的最小正周期为，即，解得， 此时函数， 将代入函数解析式中得，即， 解得，因为，所以， 所以函数解析式为， 令，解得， 所以单调递增区间为（）， 故选：. 6．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知函数，，最小正周期为，则 . 【答案】1 【分析】根据最小正周期的计算公式可求出，再利用特殊角三角函数即可求出答案． 【详解】由题意，得，解得， ∴． 故答案为：1． 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）已知正弦型函数的图像如图所示.    (1)求函数解析式； (2)求函数取得最小值时x的集合. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）观察图像找出正弦型函数的最值，周期等求出解析式.（2）根据（1）中解析式求出函数取得最小值时x的集合. 【详解】（1）由图像可以看出的最大值为，最小值为， 所以，且，则，所以， 将代入中，可得， 即，所以， 即，且由图像可知，所以. 所以函数解析式为 （2）当函数取得最小值时，令， 则有， 即 8．（22-23高三·浙江·职教高考）已知函数 求： (1)函数的最小正周期； (2)函数取得最大值时的取值集合. 【答案】(1)最小正周期为 (2) 【分析】（1）根据二倍角公式及两角和差公式将函数进行化简，代入正弦型函数的最小正周期公式即可得解. （2）根据正弦型三角函数的性质进行求解. 【详解】（1）函数 ， 则， 所以函数的最小正周期为. （2）由（1）知函数， 当时，函数取得最大值， 此时， 故函数取得最大值时的取值集合为. 9．（23-24高三·山东泰安·二模）已知函数 (1)求其最小正周期； (2)当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先对函数进行化简，再根据最小正周期公式求解. （2）根据（1）的表达式，以及自变量的范围求解即可. 【详解】（1）因为， 所以其最小正周期为. （2）根据（1）知，. 当，. 所以， 所以. 当时，函数的值域为. 10．（24-25高三上·山东滨州·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调增区间； (2)当时，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由正弦的和角公式、二倍角公式和辅助角公式化简函数，再由正弦型函数的单调性求解即可. （2）先求出的解集，再根据的范围求出相应的的值. 【详解】（1）因为 ； 要求函数的增区间，则有， 解之得， 所以函数的单调增区间为. （2）因为，即， 所以或 解得或 又因为，所以或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $