第8卷 正、余弦定理（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦正、余弦定理专项，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，精选近三年真题，分教师讲解与学生练习卷，配套PPT，系统覆盖定理应用与实际问题解决。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选20题+填空5题|边长/角度直接计算|从定理公式推导到基本量求解| |综合应用|解答题5题（含2026年真题）|形状判断与面积综合|多条件变式中构建三角关系| |实际应用|测量问题（26题）|现实情境建模|定理在距离测量中的迁移应用|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （学生练习卷） 一、单选题 1．的内角的对边分别是，已知，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 3．在中，角对应的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．在中，若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 6．在中，已知，则边a的值是（    ） A．5 B．4 C．8 D．6 7．在中，已知，则为（    ） A． B． C． D．或 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 9．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（    ） A．11 B．13 C．11或13 D．无法确定 11．在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 12．在三角形中，，，所对边为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．在三角形中，，，，则三角形的面积为（    ） A．12 B．16 C． D．32 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则等于（    ） A． B． C． D． 15．已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 16．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 17．在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 18．在中，若的面积，则（    ） A． B． C． D． 19．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 20．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 二、填空题 21．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 22．（21-22高三·山东·职教高考）在中，已知，，，则_________. 23．在中，内角，，的对边分别表示为，，，若，，，则________． 24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角________． 25.已知是锐角三角形，若，，面积为32，则________． 三、解答题 26．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 27．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)设函数，若求a. 28．已知 且． (1)求的周期和最大值； (2)已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积． 29．已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的面积． 30．在中，三角形的两边、分别是5和3，它们夹角的余弦值为方程的根，求： (1)的边c的长； (2)的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （学生练习卷） 一、单选题 1．的内角的对边分别是，已知，则等于（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据余弦定理即可求解. 【详解】中，， 则，所以. 故选：B. 2．在中，，，是中点，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，，，是中点，则， 在中，由余弦定理得， 因为，所以. 故选：D. 3．在中，角对应的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，已知， 由余弦定理得：. 故选：A. 4．在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角形内角的取值范围判断三角形形状即可. 【详解】∵在中，已知， ∴由正弦定理可知，可得： ，即. 由得，满足的情况有两种： ，即，此时为等腰三角形； ，即，此时，为直角三角形. 综上，是等腰或直角三角形， 故选：D. 5．在中，若，则（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理结合已知条件即可求解. 【详解】在中，若， 由正弦定理可得，解得， 因为，所以或. 故选：A. 6．在中，已知，则边a的值是（    ） A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用余弦定理建立关于边a的一元二次方程，求解后舍去负根即可得到a的值. 【详解】在中，根据余弦定理，可得， 将，，， 代入上式，可得， 即，解得或（负值舍掉），故. 故选：D. 7．在中，已知，则为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式化简已知等式，再结合余弦定理求出的值，最后根据三角形内角的取值范围确定的大小即可. 【详解】 ， 所以， 又因为，所以. 故选：C. 8．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理边角互化，再结合特殊角的三角函数值和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 即，解得：，， 所以的面积. 故选：C. 9．在中，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质即可求解. 【详解】由题意可知，三角形为等腰三角形，两底角相等， ， 故选：B 10．等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长为（    ） A．11 B．13 C．11或13 D．无法确定 【答案】C 【分析】分别考虑腰长为3或5，相加即可求解. 【详解】腰为3时，满足，周长为：； 腰为5时，满足，周长为：， 故选：C 11．在中，分别是所对的边，若，则此三角形是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】B 【分析】根据正弦定理进行边角互化，再由特殊角的三角函数值得出角的大小，即可判断三角形的形状. 【详解】已知，由正弦定理得，， 则， 所以， 因为在中，， 所以，由，即， 题目无额外条件能推出两边相等或两角相等，无法判定为等腰三角形， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B. 12．在三角形中，，，所对边为，，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】依据正弦定理以及充要条件的定义求解. 【详解】设为外接圆半径， 所以“”“”“”． 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 13．在三角形中，，，，则三角形的面积为（    ） A．12 B．16 C． D．32 【答案】B 【分析】由余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 即，又，所以， 所以. 故选：B. 14．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆方程求出的值，利用椭圆的定义及余弦定理求出的值即可得解. 【详解】    椭圆，则，，则， 由椭圆的定义可知， 又因为，， 所以，因为， 解得. 故选：D. 15．已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】解法一：由正弦定理求得，再由勾股定理求得. 解法二：由余弦定理求得. 【详解】解法一：因为在中，，， 所以，所以. 由正弦定理知：，则， 所以，又，所以或. 因为，所以， 若，又，则，不满足，故舍去， 若，又，则，满足， 所以，， 所以，则. 故选：B. 解法二：由余弦定理知：， 所以， 所以，所以或. 因为，所以. 故选：B. 16．在中，，，且的面积为5，则角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题意，结合三角形面积公式，即可求解. 【详解】因为中，，，且的面积为5， 所以， 所以，又， 所以或. 故选：C. 17．在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理将条件化为边的关系，结合余弦定理求出角，又由，求出，再由正弦定理求出即可. 【详解】由，根据正弦定理可得， 结合余弦定理知，，所以， 因为，所以， 又，，可知， ， 而， 根据正弦定理变形知. 故选：A. 18．在中，若的面积，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由面积公式求出，再由余弦定理求出，代入求解. 由，得， 又由余弦定理， 所以， 所以， 故选：D. 19．在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知，应用余弦边角关系求，即可得角的大小. 由题设，则， 所以，又，可得. 故选：C 20．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 二、填空题 21．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 22．（21-22高三·山东·职教高考）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 23．在中，内角，，的对边分别表示为，，，若，，，则________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理得， 因为，所以. 故答案为：. 24．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角________． 【答案】或 【分析】根据余弦定理与同角三角函数的基本关系， 【详解】在中，由余弦定理可得， 即， ∵， ∴， ∵且， ∴，可得， ∵， ∴角或． 故答案为：或． 25.已知是锐角三角形，若，，面积为32，则________． 【答案】 【分析】根据三角形面积公式求出，利用同角三角函数基本关系式求出，代入余弦公式即可得解. 【详解】是锐角三角形，，，面积为32， 则，解得， 因为，则， 由余弦定理可知， 所以， 故答案为：. 三、解答题 26．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． 【小问2详解】 ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 27．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且的面积． (1)求角B的大小； (2)设函数，若求a. 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据余弦定理，三角形的面积公式即可求解. （2）根据两角差的余弦公式，两角和的正弦公式，结合正弦函数的性质，以及正弦定理即可求解. 【详解】（1）由余弦定理得，，又的面积， 所以的面积， 又，所以， 解得，又，则角. （2）因为 ， 又， 因为，所以，即， 则，由，解得. 28．已知 且． (1)求的周期和最大值； (2)已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积． 【答案】(1)的周期为，最大值为. (2)的面积为. 【分析】（1）利用向量内积公式得出，根据二倍角公式及辅助角公式化简，然后由三角函数的性质求解； （2）由已知求得角，然后利用余弦定理和三角形的面积公式求解. 【详解】（1）已知，， 则 ， 则的周期， 因为函数的值域是， 所以当时，取得最大值，最大值为. （2）已知，可得：，即， 因为是三角形内角，即，则， 所以，解得， 根据余弦定理，得，即， 又因为，所以，即， 可得：，解得， 所以的面积为. 29．已知的内角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)已知，为的中点，且，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知角化边，再由余弦定理求解即可. （2）根据余弦定理结合三角形的性质得，再结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1），由正弦定理得， 整理得，由余弦定理得， 又因为，所以． （2）根据题意画出图像，如下图所示，    由题意可知，， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，即， 由（1）知，所以， 所以. 30．在中，三角形的两边、分别是5和3，它们夹角的余弦值为方程的根，求： (1)的边c的长； (2)的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出方程的根，根据余弦函数的性质可得，根据余弦定理即可求解. （2）由（1）可知，由同角三角函数的基本关系可得，根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）由方程得到，解得或， 因为角为三角形的内角，所以， 因为在中， 由余弦定理得， 所以. （2）因为且， 所以， 所以的面积为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $