第8卷 正、余弦定理（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦正余弦定理专项，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合定理应用方法与解题技巧，适配中职复习需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|3类核心内容|定理内容+变形+适用场景结构化梳理|从定理本质（公式）到应用边界（解的情况）递进| |真题精讲|3考点4真题|考点分类解析（余弦/正弦/综合应用）|真题导向，强化定理在实际问题中的推理应用| |举一反三|10道变式题|题型变式训练（选择/填空/解答）|基础巩固到中档综合，培养数学思维的逻辑性| |拓展提升|12道综合题|跨情境应用（几何模型/实际测量）|深化定理与面积公式、三角变换的综合运用，发展应用意识|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 考点02 正弦定理 2．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 考点03 正、余弦定理的综合应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 4．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求； （2）若，求. 【举一反三】 1．（25-26高三·云南·对口/高职单招）在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．3 2．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）正三棱锥中，，为中点，异面直线与所成夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）已知的内角A，B，C所对边为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 5．（25-26高三下·山东济南·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求角的大小； (2)若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 7．（25-26高三下·山东·三模）在中，已知，，.求： (1)的值； (2)的值. 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，．，，．求： (1)边长的值； (2)的值． 9．（22-23高三·山东德州·模拟预测）在中，所对的边分别是.已知，. (1)求的值； (2)求的值. 10．（23-24高三上·山东德州·一模）已知A，B，C为的三个内角，它们的对边分别为a，b，c且． (1)求A； (2)若，求的面积． 【拓展提升】 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）在中，，则（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）在中，，，，则的面积为（     ） A． B． C． D．1 3．在中，若则的形状为（     ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（     ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）在中，已知，则 . 6．（22-23高三下·河南·对口/高职单招）边长为6的正六边形面积等于__________. 7．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）在中，角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积和周长. 8．（17-18高三·云南·职教高考）在中，最大角是最小角的二倍，三边的长成等差数列，求::. 9．在中，角A､B､C的对边分别为a、b、c，已知 (1)求的值； (2)若，求的值. 10．已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 11．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在中，所对的边分别为，已知求. 12．（25-26高三下·山东·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： (1)边a的值； (2)的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第8卷 正、余弦定理 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.正弦定理和余弦定理 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R (R为△ABC外接圆半径) a2＝b2＋c2－2bccos A b2＝a2＋c2－2accos B c2＝a2＋b2－2abcos C 常见变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝ 解决的问题 (1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 (1)已知三边，求三个角； (2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b 解的个数 一解 两解 一解 一解 3.三角形中常用的面积公式 (1)S＝ah(h表示边a上的高)． (2)S＝bcsin A＝absin C＝acsin B. (3)S＝r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)． 【真题精讲】 考点01 余弦定理 1．（2025年山东省春季高考数学真题）在中，已知，则___________． 【答案】7 【分析】利用余弦定理边角互化，求解即可. 【详解】因为在中，， 所以 ， 所以， 故答案为：. 考点02 正弦定理 2．（2023年山东省春季高考数学真题）在中，角的对边分别为，已知． （1）求角B的大小； （2）若函数，利用“五点法”作出该函数在一个周期上的简图． 【答案】（1） （2）图象见解析 【分析】（1）根据正弦定理即可求解. （2）根据五点作图法即可求解. 【详解】解：（1）在中，， 则. 因为， 所以或. 因为， 所以． （2）由（1）可知，． 列表如下： 0 0 3 0 0 描点作图，得函数在上的图像如图所示： .. 考点03 正、余弦定理的综合应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现要测量山两侧O、M两点间的距离，选取点A，使得O，A，M三点在同一个水平面，测得两点间的距离为，两点间的距离为且． （1）求O，M两点间的距离 （2）计划在A，M之间选取一点B，在湖面上修建栈道，求栈道的长度． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据余弦定理求解即可. （2）根据同角三角函数的关系以及正弦定理求解即可. 【小问1详解】 依题意，, 由余弦定理得， 即, , 即两点间的距离为． 【小问2详解】 ，， , 由正弦定理， . 即栈道的长度为． 4．（2024年山东省春季高考数学真题）三角形ABC中D为BC上一点， （1）求； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据正弦定理将代入即可求解； （2）由同角的基本关系求出，再利用三角形内角的关系和两角和的余弦公式求出，再由余弦定理即可求解. 【详解】解：(1)由正弦定理可知：， 即，解得 (2)因为，，所以， 因为，所以， 则， 由余弦定理，得： ， 所以. 【举一反三】 1．（25-26高三·云南·对口/高职单招）在中，内角的对边分别为.若，则的面积是（    ） A． B．6 C． D．3 【答案】D 【分析】根据三角形面积公式求值即可. 【详解】已知， 则三角形面积为， 故选：D. 2．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）正三棱锥中，，为中点，异面直线与所成夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过中位线平行性质找到异面直线所成角，根据正三棱锥性质求出三边长，再结合余弦定理求解即可. 【详解】设正三棱锥各棱长为，取中点，连接，. 因为为中点，所以是底面的中位线， 故，且， 所以异面直线与所成夹角即为， 在等边中，， 则， 同理可得：， 在中，由余弦定理得： . 故选：C.    3．（25-26高三下·吉林·对口/高职单招）已知的内角A，B，C所对边为a，b，c，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】已知中， 由余弦定理， 且三角形中， 所以. 故选：B. 4．（2022年山东省春季高考数学真题）在中，已知，，，则_________. 【答案】 【分析】由正弦定理即可求解BC的值. 【详解】因为，，， 所以在中，由正弦定理可得, 即， 所以. 故答案为:. 5．（25-26高三下·山东济南·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得，故. （2）由（1）可知，则角为锐角， 因为，， 解得，， 同理解得，， 因为， 所以， 则. （3）由， 故， ，， 则. 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. (1)求角的大小； (2)若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 【答案】(1) (2)最小正周期为， 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合角的范围和特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据（1）的结论和两角和差的正弦公式对函数进行化简，再结合周期公式和正弦型函数的单调性求解即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为，，所以， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 所以的最小正周期； 当函数为增函数时，有， 即， 所以函数的单调递增区间为. 7．（25-26高三下·山东·三模）在中，已知，，.求： (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可求解； （2）根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，求出和，再利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1）在中，由正弦定理可得 ，则； （2）因为，则，即角为锐角， 所以， ， ， 所以 . 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）在中，角，，所对的边分别是，，．，，．求： (1)边长的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理边角互化求解即可. （2）根据正弦定理边角互化求得的值，再利用同角三角函数的平方关系和两角差的正弦公式求解即可. 【详解】（1）由余弦定理可得，， 即，可化为， 解得或（舍去）， 所以. （2）由正弦定理可得，，即 解得． 由正弦定理可得，，即， 解得． 而，所以角，都为锐角， 所以， ， 所以． 9．（22-23高三·山东德州·模拟预测）在中，所对的边分别是.已知，. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理和二倍角公式进行化简求值. （2）由同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦定理、两角和的正弦公式等知识求解. 【详解】（1）因为， 所以在中，由正弦定理，得， 又由二倍角公式可化为＝， 解得． （2）由（1）可知，且是三角形内角， 所以． 又因为∠B＝2∠A，所以， 所以， 在中，， 由正弦定理得，即的值为． 10．（23-24高三上·山东德州·一模）已知A，B，C为的三个内角，它们的对边分别为a，b，c且． (1)求A； (2)若，求的面积． 【答案】(1)120° (2) 【分析】（1）根据两角和的余弦化简，再求角度数. （2）根据余弦定理以及三角形面积公式求解. 【详解】（1）由题意得： （2）利用余弦定理 解得： 【拓展提升】 1．（25-26高三下·河北·对口/高职单招）在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用余弦定理可求解. 【详解】在中，由余弦定理可得： ，解得. 故选：A 2．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】在中，，，， 因为，所以， 则的面积为， 故选：. 3．在中，若则的形状为（    ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】由正弦定理边角互化得，再结合两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为， 利用正弦定理得， 所以，即， 所以，， 因为是三角形内角， 故， 所以是等腰三角形. 故选：B 4．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理的变形公式求得，进而求解. 【详解】因为， 所以， 又， 所以. 故选：C 5．（25-26高三下·天津·对口/高职单招）在中，已知，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 6．（22-23高三下·河南·对口/高职单招）边长为6的正六边形面积等于__________. 【答案】 【分析】将正六边形的面积转化为6个全等等边三角形的面积之和即可求解． 【详解】如图所示：      在正六边形中，，为正三角形， 所以的高， 所以正六边形面积. 故答案为： 7．（25-26高三下·江苏·对口/高职单招）在中，角所对应的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积和周长. 【答案】(1) (2)面积为，周长为 【分析】（1）根据正弦定理边化角，以及正弦的二倍角公式求解即可； （2）根据余弦定理可求解b与c的值，再根据三角形面积公式以及周长公式求解即可. 【详解】（1）根据正弦定理，代入得： ，，，约去得. 由二倍角公式，得. ，，，约去得， 因此，. （2）由余弦定理，代入，得： ，结合即，代入得： ，整理得， 解得（舍去负根），因此. 面积； 周长. 8．（17-18高三·云南·职教高考）在中，最大角是最小角的二倍，三边的长成等差数列，求::. 【答案】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求解即可. 【详解】由题意，得，， 因为，即， 所以，所以， 又因为， 所以，即， 因为角C不等于角B，所以，所以， 所以，又因为，所以， 即，所以. 9．在中，角A､B､C的对边分别为a、b、c，已知 (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可求解. （2）先由同角三角函数的平凡关系求解角B的正弦值，再由正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由， 则有， 整理得， 又由余弦定理，可得； （2）因为，由（1）可得， 又由正弦定理，及，可得， 可得； 故. 10．已知分别为三个内角的对边，. (1)求的值； (2)若，求b的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数关系式易得答案； （2）根据正弦定理易得答案. 【详解】（1）在中，所以, 因为，所以. （2）由正弦定理得， 又， 所以. 11．（23-24高三下·山西·对口/高职单招）在中，所对的边分别为，已知求. 【答案】 【分析】根据题意结合正弦定理求出的值即可得解. 【详解】由正弦定理得，，所以， 又 ∴， 即，又， ∴或， 因为，则不成立， ∴. 12．（25-26高三下·山东·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： (1)边a的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）先求出和的值，再利用二倍角公式求出和的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【详解】（1）已知，根据正弦定理可得， 因为，所以. （2）由（1）可知，，. 根据余弦定理得， 因为是三角形内角，所以， 可得：， 所以， ， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $