第9卷 平面向量与复数（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，聚焦平面向量与复数专项，精选近三年真题，教师讲解与学生练习双卷配合，配套PPT课件，系统构建解题方法与知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平面向量|16题（含3道真题）|线性运算/数量积/共线垂直判定|从向量概念生成到运算规则推导，再到几何应用| |复数|9题（含2道真题）|代数形式运算/几何意义/方程求解|从复数定义到四则运算，结合几何意义解决综合问题|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4．如图所示，在中，，若，，则等于（ ）    A． B． C． D． 5．若向量与反向，则（ ） A． B． C．6 D．8 6．定义向量运算：，其中表示与的夹角，若，，则的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 9．已知向量，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．0 10．已知向量，满足，，，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 11．已知向量，若向量，且，则（ ） A． B． C． D． 12．已知向量，若与的夹角为直角，则m的值是（ ） A．2 B． C． D． 13．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ）    A． B． C． D． 14．已知复数，则（ ） A． B． C．1 D． 15．若复数，则（ ） A．1 B．3 C． D． 16．已知若是实数，则（ ） A．1 B． C．2 D． 17．已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A． B． C． D．6 18．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 19．已知向量，，，则（ ） A． B． C．8 D． 20．已知向量，，则与的关系为（ ） A．平行 B．垂直 C．不平行且不垂直 D．无法确定 二、填空题 21．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 22．已知，求满足条件的实数x，y的值 . 23．在复数范围内解方程，解得 . 24．已知向量，则 . 25．在中，M是的中点，，，则 . 三、解答题 26．已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 27．已知向量，． (1)求； (2)若向量与平行，求的值． 28．已知点． (1)若A，B，C三点共线，求实数t值； (2)若A，B，C三点构成直角三角形且，求实数t的值． 29．已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 30．已知复数，的三边，，满足，，． (1)求，，的值； (2)求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第9卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ） A. B. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）如图所示，网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量的始点和终点都在网格的交点处，则(　　) A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】在网格中建立坐标系，得到向量的坐标，再利用模长公式求解即可. 【详解】在网格中建立坐标系，如图所示： 由图可知：， 所以， 因此， 故选：A． 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知复数，则复平面内对应的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念和复数的几何意义求解即可. 【详解】复数，所以， 则复平面内对应的点的坐标是. 故选：B. 4．如图所示，在中，，若，，则等于（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的加减法运算即可得解. 【详解】因为在中，， 所以，又，， 即. 故选：A. 5．若向量与反向，则（ ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据平面向量反向的性质求出值，代入平面向量内积公式即可得解. 【详解】因为与反向， 所以且，解得， 所以，，则， 故选：A. 6．定义向量运算：，其中表示与的夹角，若，，则的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据新定义结合向量的运算求解即可. 【详解】∵，， ∴，， ∵， 又，即， ∴. 故选：C. 7．已知向量，，则（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量数量积的计算公式即可求解. 【详解】已知向量，， 则， 故选：A 8．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法运算即可选出正确答案. 【详解】已知向量，， 则, 故选：B 9．已知向量，，若，则实数（ ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，所以，， 因为，所以， 即，解得. 故选：A. 10．已知向量，满足，，，则（ ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据向量数量积以及向量的模公式求解即可. 【详解】向量，满足，，， 所以， 解得. 故选：A. 11．已知向量，若向量，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量平行，设，结合向量内积的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，所以设， 由，解得，故， 因为，所以． 故选：A. 12．已知向量，若与的夹角为直角，则m的值是（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量， 且与的夹角为直角，得， 解得， 故选：D. 13．如图所示，A，B，C，三点共线，且，O是直线外任意一点，若，，则（ ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为A，B，C三点共线，且，所以， 所以，即， 化简得. 故选：A. 14．已知复数，则（ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题意结合共轭复数的定义即可得解. 【详解】复数，则，， 故选：. 15．若复数，则（ ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的减法计算即可. 【详解】因为复数， 所以. 故选：C. 16．已知若是实数，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据复数的概念列方程求解即可. 【详解】若是实数， 则，解得， 故选：C. 17．已知复数是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则m的值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据实系数方程虚根成共轭复数得出另一个根，再由韦达定理求值即可. 【详解】已知复数是的一个根， 则另一根为，由韦达定理得， 故选：B. 18．已知向量，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，则. 故选：A. 19．已知向量，，，则（ ） A． B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示列式即可求解. 【详解】因为向量，，， 所以，解得. 故选：D. 20．已知向量，，则与的关系为（ ） A．平行 B．垂直 C．不平行且不垂直 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】已知向量，，且， 因此与的关系为垂直. 故选：B. 二、填空题 21．（2025年山东省春季高考数学真题）已知向量，则___________． 答案】 【分析】根据向量内积的公式，分析求解即可. 【详解】因为，所以， 又因为，所以方向相反，即夹角为， 所以. 故答案为：． 22．已知，求满足条件的实数x，y的值 . 【答案】， 【分析】利用复数相等的概念建立方程组求解. 【详解】已知， 所以可得方程组，解得，， 故答案为：，. 23．在复数范围内解方程，解得 . 【答案】 【分析】根据复数范围内的一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由方程得，， 所以，解得. 故答案为：. 24．已知向量，则 . 【答案】 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量=，=， 所以. 故答案为：. 25．在中，M是的中点，，，则 . 【答案】5 【分析】利用向量的线性运算及向量内积的运算性质求解. 【详解】M是的中点，则，， ， 故答案为：5. 三、解答题 26．已知向量. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据向量内积的坐标表示求解即可； （2）根据向量的模长公式求解即可. 【详解】（1）因为向量， 所以. （2）因为，所以. 27．已知向量，． (1)求； (2)若向量与平行，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出，再利用向量模的公式即可求解. （2）根据已知条件求出，再利用向量平行的坐标表示列式即可求解. 【详解】（1）因为向量，， 所以，则． （2）因为， ， 又向量与平行，所以 ， 解得． 28．已知点． (1)若A，B，C三点共线，求实数t值； (2)若A，B，C三点构成直角三角形且，求实数t的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量共线的性质建立方程求解即可. （2）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量垂直的性质建立方程求解即可. 【详解】（1）已知，，， 可得，， 因为A，B，C三点共线， 所以与共线， 则有，解得. （2）由，，， 可得，， 因为，所以，则， 即，解得. 29．已知复数，. (1)若，求a的值； (2)若z是纯虚数，求a的值； (3)若，求实数b的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将复数化简，由复数为零得到实部虚部均为零，列式求解即可. （2）由复数为纯虚数得到实部为零，虚部不为零，列式求解即可. （3）由复数的大小关系得到是大于零的实数，列式求解即可. 【详解】（1）由题意知. 若，则，解得. （2）因为z是纯虚数，所以，所以. （3）因为，所以，所以. 30．已知复数，的三边，，满足，，． (1)求，，的值； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数的模的概念求值即可. （2）根据余弦定理求出，再由同角三角函数关系求出，最后由三角形面积公式求值即可. 【详解】（1）复数，，则， ， ， . （2）在中， 由余弦定理得， 而，所以． 因此，的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $