第10卷 数列（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列专项，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑，通过30道题（含2道真题）系统覆盖等差等比核心考点，配套师生双卷及PPT，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|12题|公差/公比、通项公式、前n项和直接计算|从基本量切入，夯实概念理解| |性质应用|8题|中项性质、前n项和性质、最值问题|由概念推导性质，建立公式与问题关联| |综合拓展|10题（含2道真题）|等差等比结合、实际应用（如“物不知数”）|延伸至综合场景，培养应用意识|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．等差数列中，若，则其前10项和等于（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 2．数列的一个通项公式是（     ） A． B． C． D． 3．在等比数列中，，则等于（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 4．下列四个数中，是数列中的项的是（     ） A．44 B．48 C．52 D．56 5．已知等差数列，，则公差（     ） A． B． C． D． 6．在等比数列 中，若 ， ，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．16 7．若成等差数列，则（     ） A． B． C． D．3 8．已知是等差数列，且，，则首项等于（     ） A．0 B． C． D． 9．已知数列为等差数列，且，则（     ） A．11 B．22 C．44 D．88 10．在等比数列中，已知，.则（     ） A．4 B． C．或4 D． 11．已知等差数列的通项公式为，则（     ） A．44 B．45 C．46 D．47 12．若，则数列的前项和取到最小值时，（     ） A．23 B．24 C．25 D．26 13．已知在等比数列中，公比，且，，则（     ） A． B． C． D． 14．已知各项不为的等比数列中有，数列是等差数列，且，则（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 15．已知数列的通项公式为，当数列的前项和取得最大值时，n＝（     ） A．7 B．8 C．6或7 D．7或8 16．等比数列，，，中的值等于（     ） A．2 B． C． D．3 17．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 18．设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，则等于（     ） A． B． C． D． 19．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 20．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 二、填空题 21．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中， ____________. 22．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是____________. 23．正项等比数列中，若是方程的两根，则____________. 24．已知等差数列的前项和为，若，则____________. 25．已知等差数列中，，则____________. 三、解答题 26．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值； （2）若，求n的最小值. 27．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 28．已知等差数列中，，. (1)求数列的公差； (2)求数列的通项公式. 29．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 30．已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量与复数 （学生练习卷） 一、单选题 1．等差数列中，若，则其前10项和等于（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质以及前n项和公式求解即可. 【详解】∵等差数列中，若， ∴， ∴. 故选：C. 2．数列的一个通项公式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义，通项公式即可求解。 【详解】由数列得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则通项公式为. 故选：A. 3．在等比数列中，，则等于（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】等比数列中，， ， 则，即，， . 故选：A. 4．下列四个数中，是数列中的项的是（     ） A．44 B．48 C．52 D．56 【答案】D 【分析】根据数列的通项及各选项，列方程求解判断即可. 【详解】选项A：令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，44不是数列中的项； 选项B：令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，48不是数列中的项； 选项C：令，即，解得， 不是整数，所以不是正整数，52不是数列中的项； 选项D：令，即， 即，解得或， 因为为正整数，所以，所以56是数列中的项. 故选：D. 5．已知等差数列，，则公差（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】因为等差数列，， 所以. 故选：D. 6．在等比数列 中，若 ， ，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由等比数列的通项公式求解即可. 【详解】在等比数列 中，若 ， ， 则. 故选：C. 7．若成等差数列，则（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质求解即可. 【详解】若成等差数列，则，解得. 故选：C. 8．已知是等差数列，且，，则首项等于（     ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由， 解得，所以首项为. 故选：. 9．已知数列为等差数列，且，则（     ） A．11 B．22 C．44 D．88 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：. 10．在等比数列中，已知，.则（     ） A．4 B． C．或4 D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质即可解答. 【详解】在等比数列中， 已知，， 由，得， 因为，， 所以， 故选：B. 11．已知等差数列的通项公式为，则（     ） A．44 B．45 C．46 D．47 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式结合前项和公式即可求解. 【详解】因为等差数列的通项公式为，所以. 则. 故选：B. 12．若，则数列的前项和取到最小值时，（     ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】B 【分析】先判断数列为等差数列，再根据数列性质确定前项和取最小值时的值. 【详解】因为， 且， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列， 因为该数列首项为负，且递增， 由得，所以取． 故选：B． 13．已知在等比数列中，公比，且，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的通项公式列出方程组，求出公比即可得解. 【详解】等比数列中，公比，且，， ，两式相除，， 解得或（舍）， ， 故选：. 14．已知各项不为的等比数列中有，数列是等差数列，且，则（     ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据等比数列和等差数列的性质求解即可. 【详解】在等比数列中，，因为， 所以，解得：或， 因为等比数列各项均不为零，所以， 所以，又因为数列是等差数列， . 故选：C. 15．已知数列的通项公式为，当数列的前项和取得最大值时，n＝（     ） A．7 B．8 C．6或7 D．7或8 【答案】D 【分析】根据题意得出数列是一个首项为正，公差为负的递减数列，求出非负项的分界点即可得解. 【详解】数列的通项公式为， ，， 所以数列为等差数列且是递减数列， 令，则，解得，， 所以当或时，数列的前项和取得最大值， 故选：. 16．等比数列，，，中的值等于（     ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的定义即可得解. 【详解】等比数列，，，， 则公比为，所以，解得， 故选：. 17．等差数列的公差为2，若成等比数列，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质和等差数列的基本量完成计算. 由可得，， 所以，，所以B正确； 故选：B. 18．设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设等比数列的首项为，公比为，…….①，又依次成等差数列，则，即……②，①②两式相加得：，代入①得：，两式相比：，解得：或，则 或 ， 当时，， 当时，，选C . 19．已知一个有限项的等差数列{an}，前4项的和是40，最后4项的和是80，所有项的和是210，则此数列的项数为（     ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据条件可得a1＋a2＋a3＋a4＝40，an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，倒序相加可得a1＋an＝30，再代入等差数列求和公式即可得解. 由题意知a1＋a2＋a3＋a4＝40， an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，两式相加得a1＋an＝30. 又因为， 所以n＝14. 故选：B 20．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设（为非负整数）. 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即（为非负整数）， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列，通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为. 故选：B. 二、填空题 21．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中， ____________. 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为：. 22．在正项等比数列中，若，是方程的两根，则的值是____________. 【答案】 【分析】由等比数列的性质、对数的运算性质及根与系数的关系即可得解. 【详解】由，是方程的两根，可知， 由等比数列的性质可知，， 故. 故答案为：. 23．正项等比数列中，若是方程的两根，则____________. 【答案】4 【分析】根据等比中项求解即可. 【详解】若是方程的两根，则. 因为等比数列均为正项，进而. 故答案为：4. 24．已知等差数列的前项和为，若，则____________. 【答案】27 【分析】根据题意利用等差数列的求和公式及性质即可得解. 【详解】等差数列的前项和为，， 则， 故答案为：. 25．已知等差数列中，，则____________. 【答案】 【分析】根据等差数列的下标和性质及指数幂的运算可得结果. 【详解】在等差数列中， ， 所以. 故答案为： 三、解答题 26．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 【答案】（1）1 （2）7 【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是（为常数）， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 27．已知等比数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列，等差数列的前项和公式即可求解. 【详解】（1）设公比为，由，得，，． 则，解得，，所以数列的通项公式． （2）由（1）得， 则． 28．已知等差数列中，，. (1)求数列的公差； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式建立方程求解公差即可. （2）根据公差和首项求出通项公式即可. 【详解】（1）由等差数列通项公式， 得. 代入数据：，解得. （2）数列的通项公式. 29．已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求和公式求出公差，再根据通项公式可得解； （2）利用等差数列的求和公式可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 则. 30．已知数列是公差为3的等差数列，它的前项和为，且，，成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质建立关于首项的方程，进而求出的值，最后得到数列的通项公式； （2）根据等差数列、等比数列的前项和公式分别求出数列和的前项和，再相加即可得出. 【详解】（1）已知数列是公差为的等差数列， 可得，， 因为成等比数列，     可得，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 可得数列的前项和， 已知数列是首项，公比为的等比数列， 可得数列的前项和， 所以数列的前项和 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $