第10卷 数列（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建数列专项训练体系，聚焦等差等比核心考点，通过真题串联知识与方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|梳理数列定义、等差等比公式及性质|公式推导与性质应用|从数列基本概念到特殊数列定义、公式、性质的递进| |真题精讲|3考点8题（含2023-2026年真题）|定义法求通项、性质简化求和|按考频设考点，真题示范公式与性质综合应用| |举一反三|11题（含春考真题及模拟题）|方法迁移与变式训练|通过同类题型强化等差等比核心解法| |拓展提升|10题（含跨模块综合题）|综合应用与模型构建|提升复杂问题的数学语言表达与逻辑推理能力|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．数列的概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前n项和 在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． 2．数列的表示方法: 列表法 列表格表达n与f(n)的对应关系 图象法 把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法 3．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 单 调 性 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 ∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an 4．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数． 5．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d. (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项) 6．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 8．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数． (2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 9．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 10．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 【真题精讲】 考点01 等差数列的通项公式及前项和 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 2．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中， ____________. 考点02 等比数列的通项公式及前项和 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 4．（2025年山东省春季高考数学真题）现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 5．（2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数的值是(　　) A． B． C．6或－6 D．8或－8 考点03 数列解答题综合 6．（2025年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 7．（2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 8．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2021年山东省春季高考数学真题） 在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 3．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）若等差数列的前9项和为9，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）等差数列中，，公差，则（     ） A．11 B．14 C．17 D．20 5．（24-25高三下·江西·职教高考）已知数列是等比数列，且，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高三下·安徽·职教高考）在等比数列中，已知，则公比（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2021年山东省春季高考数学真题）在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和. 8．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 9．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知等比数列的前n项和是（C为常数） (1)求常数C的值 (2)若，求n的最小值 10．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知为单调递增的等差数列，其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 11．（24-25高三下·天津·职教高考）等差数列中，． (1)求公差d及通项公式； (2)求数列的前十项和； (3)在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 【拓展提升】 1．已知数列为等差数列，且，若成等比数列，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（20-21高三·陕西·职教高考）数列满足，，则（    ） A． B．8 C． D． 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）在的二项展开式中，若第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n的值是（     ） A．2 B．7 C．2或7 D．8 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，则公差d等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 7．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知等差数列中，，，则__________. 8．（25-26高一上·广东·职教高考）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知数列的前n项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等比数列中，已知，公比，前3项和． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第10卷 平面向量与复数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．数列的概念 (1)数列的定义 按照一定顺序排列的一列数称为数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项，通常也叫做首项． (2)数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前n项和 在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和． 2．数列的表示方法: 列表法 列表格表达n与f(n)的对应关系 图象法 把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法 3．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 单 调 性 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 ∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an 4．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*)，d为常数． 5．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d. 若等差数列{an}的第m项为am，则其第n项an可以表示为an＝am＋(n－m)d. (2)等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d.(其中n∈N*，a1为首项，d为公差，an为第n项) 6．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 8．等比数列的有关概念 (1)等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(q≠0)表示． 数学语言表达式：＝q(n≥2)，q为常数． (2)等比中项 如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab. 9．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 10．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列． 【真题精讲】 考点01 等差数列的通项公式及前项和 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在自然数范围内定义符号“”表示“x除以m的余数是r”.例如：“表示22除以5的余数是2”.如此《孙子算经》中“物不知数”问题可表示为：“x同时满足，，”，求x是多少？这个问题中的由小到大构成数列，若，则n的最大值是（ ） A. 19 B. 20 C. 21 D. 23 【答案】B 【分析】根据题意求出数列通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】因为除以3和7都余2，所以是3和7的公倍数，3和7的最小公倍数是21，因此可设（为非负整数）. 结合除以5余3，所以除以5余3，即除以5余3， 所以除以5余1，即（为非负整数）， 因此，即所有满足条件的是首项为、公差为的等差数列，通项为， 又，所以，化简得， 因此最大取19，即的最大值为. 故选：B. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）在等差数列中， ____________. 【答案】 【分析】根据数列是等差数列先求公差易得答案. 【详解】因为等差数列,, 所以, 所以. 故答案为：. 考点02 等比数列的通项公式及前项和 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知等比数列的前n项和是（C为常数） （1）求常数C的值 （2）若，求n的最小值 【答案】（1）1 （2）7 【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可. 【小问1详解】 因为为等比数列，前n项和是（为常数）， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 4．（2025年山东省春季高考数学真题）现有《九章算术》中“女子擅织”的类似问题，某女子5天共织布31尺，从第二天起，她每天织布的尺数都是前一天的2倍，求该女子第三天织布的尺数是多少(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据题意该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2，其前5项和．利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出． 【详解】根据题意，该女子每天织的布组成等比数列，且其公比为2， 设该等比数列为，因为她5天共织布31尺，则， 解得，则. 故选：C. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）若成等比数列，则实数的值是(　　) A． B． C．6或－6 D．8或－8 【答案】A 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】若成等比数列， 则， 解得. 故选：A. 考点03 数列解答题综合 6．（2025年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，是该数列的前项和，． （1）求数列的通项公式． （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2）15 【分析】（1）根据等差数列的性质联立方程组求得数列的首项和公差，再由等差数列通项公式即可解得； （2）根据第（1）问的结论求得数列的前项和公式，进而列出不等式，解一元二次不等式即可. 【详解】解：（1）设等差数列首项为，公差为， 因为，即， 又因为，即， 联立方程组：， 解得：，， 所以通项公式为：． （2）因为，，， 所以前项和， 又因为，即， 解得：（舍）或， 所以最小正整数解为． 7．（2024年山东省春季高考数学真题）在等比数列中，公比， （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）利用等比数列的通项公式求出，即可求出； （2）先由求出数列的通项公式，再由通项公式判断数列为等比数列，带入前n项和公式即可求解. 【详解】解：（1）因为为等比数列，， 所以，可得， 解得或（舍） ， 所以. （2）因为， ，， 所以数列是以4为首项，公比为4的等比数列. 又因为， 所以. 8．（2023年山东省春季高考数学真题）如图所示，从到修筑一段公路需要50车的石料，石料厂到的距离是1000米.现用一辆车依次把石料从运送到施工路段，第1车石料卸在处，然后每隔50米卸一车石料，分别卸在，的位置.运送第1车石料该车往返的路程记作米，第2车往返的路程记作米，，第50车往返的路程记作米.求： （1）该车运送第20车石料往返的路程； （2）该车所有往返的路程之和. 【答案】（1）3900米 （2）222500米 【分析】（1）根据已知条件可知数列为等差数列，求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解； （2）利用等差数列的前n项和公式即可求解. 【详解】解：（1）把记为数列，则该车运送第20车石料往返的路程是， 因为在数列中，从第2项起，每一项与前一项的差都等于， 所以数列为等差数列，其中，公差， 则. （2）由（1）可知，该车所有往返的路程之和是等差数列的前50项和， 因为，， 所以. 答：该车所有往返的路程之和是222500米. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）在等差数列中，已知，，则该数列的公差是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式求解. 【详解】在等差数列中，,即, 又因为,代入解得. 故选：. 2．（2021年山东省春季高考数学真题） 在《九章算术》中有如下问题：“有甲、乙、丙、丁、戊五人分斤小米，其中甲、乙两人所分小米的斤数之和与丙、丁、戊三人所分小米的斤数之和相等，且甲、乙、丙、丁、戊五人所分小米的斤数成等差数列，问每人各分多少斤.”那么，甲所分小米的斤数是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质列式求解即可. 【详解】设该等差数列为，其公差为. 由已知得 即 即 解得. 所以甲所分小米的斤数是8. 故选：C. 3．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）若等差数列的前9项和为9，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的求和公式及等差数列的性质求解即可. 【详解】等差数列的前9项和为9， 则，可得， 且，即， 根据条件无法确定的值，可得. 故选：B. 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）等差数列中，，公差，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的通项公式计算即可． 【详解】， 故选：B． 5．（24-25高三下·江西·职教高考）已知数列是等比数列，且，则公比（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可. 【详解】已知数列是等比数列， 由得，设公比为， 则，解得， 故选：B. 6．（24-25高三下·安徽·职教高考）在等比数列中，已知，则公比（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式求解即可. 【详解】等比数列中，， 由可得， ，解得. 故选：B. 7．（2021年山东省春季高考数学真题）在数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前90项和. 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据等比数列的定义结合等比数列的通项公式即可求解. （2）根据对数的运算结合等差数列的定义与前项和公式即可求解. 【详解】解：（1）， ， 数列是以1为首项，为公比的等比数列， . （2）， 则，， 数列是以0为首项，为公差的等差数列， . 8．（2022年山东省春季高考数学真题）如图所示，已知等边的边长为6，顺次连接各边的中点，构成，再顺次连接各边的中点，构成，依此进行下去，直至构成，这个新构成的三角形的边长依次记作，，，. （1）求，，的值； （2）若的边长小于0.01，求的最小值. 【答案】（1）3，， （2）10 【分析】（1）由题意，根据中位线定理可知，所有的新三角形都是正三角形，后面三角形的边长是前面三角形边长的，据此可求解； （2）由（1）可知，，，，构成以首项，公比的等比数列，从而可得，令，解不等式可求解. 【详解】解：（1）因为分别是的中点， 所以为正三角形，且边长， 同理可得，； （2）由（1）知，，，，构成以首项，公比的等比数列， 所以的边长， 因为的边长小于0.01， 所以，即， 又因为，则，故的最小值为10. 9．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知等比数列的前n项和是（C为常数） (1)求常数C的值 (2)若，求n的最小值 【答案】(1)1 (2)7 【分析】（1）根据等比数列的前项和与通项公式的关系求解即可. （2）根据（1）求出，再根据不等式求解即可. 【详解】（1）因为为等比数列，前n项和是（为常数）， 所以当时， ， 当时，， 则， 得到. （2）由（1）知，， 因为 ，所以 ， 得到，解得， 又，所以的最小值为7. 10．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知为单调递增的等差数列，其前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的单调性，即可求得的值，结合等差数列的性质，即可求得首项和公差，继而求得等差数列的通项公式； （2）根据题意，结合等差数列的前n项和公式，代入即可求解. 【详解】（1）因为为单调递增的等差数列，且，， 所以或（舍）， 所以公差，首项， 所以， 即数列的通项公式为； （2）由（1）知， 所以. 11．（24-25高三下·天津·职教高考）等差数列中，． (1)求公差d及通项公式； (2)求数列的前十项和； (3)在正项等比数列中，，求的通项公式及前n项和． 【答案】(1)， (2)190 (3)， 【分析】（1）根据等差数列的通项公式为，结合已知条件即可求出答案； （2）根据等差数列前n项和公式即可求解； （3）根据等比数列的通项公式和前n项和公式即可求解． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， 即数列的公差，通项公式为； （2）∵， ∴， 因此，数列的前10项和； （3）由（1）知， ∴，， 设正项等比数列的公比为， ∴，解得， ∴的通项公式为， ∴． 【拓展提升】 1．已知数列为等差数列，且，若成等比数列，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由等差数列的通项公式求出，再利用等比数列的性质求出，结合等差数列的通项公式求出的值. 【详解】由题意知，， 因为成等比数列， 所以 ，解得， 所以，解得. 故选：A. 2．（23-24高三下·浙江·职教高考）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】∵，∴， ∴，则. 故选：D. 3．（20-21高三·陕西·职教高考）数列满足，，则（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】由已知，令，可依次求得. 【详解】由已知，令可得 ； 令可得 . 故选：C 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）在的二项展开式中，若第2项、第3项、第4项的二项式系数成等差数列，则n的值是（     ） A．2 B．7 C．2或7 D．8 【答案】B 【分析】根据题意结合二项式系数的定义及等差中项公式即可得解. 【详解】在的二项展开式中，， 第2项、第3项、第4项的二项式系数为，， 则， 解得（舍）或（舍）或. 故选：. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，则公差d等于（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合等差数列的通项公式即可得解. 【详解】等差数列中，，， 则，解得. 故选：. 6．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等差数列中，已知，，则该数列的前20项之和等于（     ） A．320 B．340 C．360 D．380 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式列方程，再根据等差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得. 因此. 故选：C. 7．（24-25高三下·浙江·职教高考）已知等差数列中，，，则__________. 【答案】15 【分析】根据等差数列的等差中项性质即可求解. 【详解】由题意得，等差数列中，，， 则. 故答案为：. 8．（25-26高一上·广东·职教高考）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列方程求解即可. （2）运用错位相减法求和即可. 【详解】（1）已知等差数列满足，， 设公差为，则，解得， 所以. （2）， 则， ， 则， 所以. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知数列的前n项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）先表示出数列的通项公式，再得到数列是等差数列，代入等差数列的前n项和公式求解即可． 【详解】（1）当时，； 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式． （2）因为，所以由（1）知， ， 所以数列是等差数列，公差为，首项， 则 ． 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）在等比数列中，已知，公比，前3项和． (1)求数列的通项公式． (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的前项和公式求解即可. （2）先得到数列的通项公式，证明是等差数列，再结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， ，则， 解得或（舍）， 所以数列的通项公式为． （2）因为，所以， 则，， 则数列是首项为，公差为的等差数列， 则的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $