第1卷 集合与充要条件（学生练习卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”为逻辑体系，聚焦集合与充要条件，精选近三年真题，构建讲练结合的专项突破模式，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合与充要条件|30题（近三年真题）|子集个数2ⁿ法、集合运算规则、充要条件定义判断法|从集合概念（子集、运算）到充要条件逻辑关系，形成概念生成→运算应用→逻辑推理的递进链条|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的子集的概念即可求解. 【详解】集合的子集有， 所以集合A的子集个数为4个. 故选：C. 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算定义计算即可. 【详解】∵集合，集合 ∴ 故选：C. 4．设全集为，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的补集运算易得答案. 【详解】因为,集合, 所以. 故选:D. 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合的并集运算即可得解. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：D. 6．已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个 【答案】A 【分析】由韦恩图有阴影部分为，应用集合交补运算求集合，即可判断元素个数. 【详解】由题设，， 由韦恩图知：阴影部分为，共有2个元素. 故选：A 7．集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值的几何意义求出集合B，再利用交集的概念即可求解. 【详解】当时，不等式变式为，解得； 当时，不等式变式为，解得， 所以集合， 又因为集合，所以. 故选：B. 8．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式将集合进行化简，根据集合之间的包含关系即可得解. 【详解】，所以， ，解得，所以， 因为，所以， 所以实数的取值范围为， 故选：. 9．设集合，若，则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据集合相等即对应元素相等求解即可. 【详解】集合，且， 所以，解得，不满足集合中元素的互异性， 或，解得或（舍）， 所以两个集合为，满足题意， 所以. 故选：C. 10．方程组的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出方程组的解集，再由集合的表示方法即可得解. 【详解】，解得， 可表示为. 故选：C. 11．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解含绝对值的不等式结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】因为等价于或， 又或，但或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 12．使成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的概念求解. 【详解】选项A中，，且，则是的必要条件，满足. 选项B中，，且，则是的充分条件，不满足. 选项C中，，且，则是的充分条件，不满足. 选项D中，，且，则是的非充分必要条件，不满足. 故选：A. 13．已知，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据题意,取特殊值,利用充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】解：令满足,但,所以充分性不满足. 由,不能推出,比如:,但,所以必要性不满足. 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 14．是的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据，，并结合充要条件的定义可判断. 【详解】若时，则有，即； 若时，则有或，即； 所以是的充分但不必要条件. 故选：A 15．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件判定即可解得. 【详解】代入成立，故充分性成立， 由解得或，必要性不成立， 故为的充分不必要条件， 故选：A 16．已知x，y为实数，则“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分、必要条件的概念求解即可. 【详解】等价于与异号，即或， 因此推不出且，充分性不成立， 若且，则，即且可以推出，必要性成立， 因此“”是“且”的必要不充分条件. 故选：B. 17．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可/ 【详解】当时，，， 可得成立，但不一定成立， 所以“”不能推出“” 由，得，，故成立． 所以“”能推出“” 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B. 18．已知是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由x范围的大小即可判断充分必要性. 【详解】因为， 可以得出p是q的子集， 所以p可以推出q，故充分性成立. 若，可知2.5不在p的范围内，但在q的范围内. 故必要性不成立. 故p是q的充分不必要条件. 故选:A. 19．若，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举特例判断充分必要性. 【详解】若，，此时，但，所以“”不能得出“”. 若，，此时，但，所以“”不能得出“”． 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 20．在中，是为锐角三角形的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据锐角三角形的性质结合充分性和必要性的概念判断即可. 【详解】在中，，不一定能推出为锐角三角形， 如，，但此时不为锐角三角形，所以充分性不成立. 如果是锐角三角形，则恒成立，必要性成立， 所以在中，是为锐角三角形的必要但不充分条件. 故选：B. 二、填空题 21．满足条件的所有集合的个数是 . 【答案】4 【分析】根据题意，结合并集的概念和运算，即可求解. 【详解】因为， 所以集合B可能为，共4个. 故答案为：4. 22．已知集合，，，若，则 . 【答案】0 【分析】根据元素与集合间的关系，列方程求解即可. 【详解】集合，，，或， ，或，，． 故答案为：0. 23．已知，则 . 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系求解参数. 【详解】因为，所以，即. 故答案为：. 24．设，是的充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据充分条件确定集合的包含关系，进而求出实数的取值范围. 【详解】，，是的充分条件， 则，则，实数的取值范围是． 故答案为：． 25．命题“”是“”成立的 条件. 【答案】充分不必要 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合对数函数的单调性判断即可. 【详解】设对数函数， 因为，所以函数在单调递增， 又因为，所以， 所以命题“”是“”成立的充分条件； 当，由于不知道、是否为正数，所以、不一定有意义， 所以命题“”是“”成立的不必要条件， 因此命题“”是“”成立的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 三、解答题 26．设集合，集合，求. 【答案】. 【分析】先求得一元二次不等式的解集和含绝对值的不等式的解集，再结合集合的运算即可求解. 【详解】集合， 集合， ， . 27．设全集，集合，，求： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合并集的概念计算即可. （2）先化简全集，再求解，最后应用交集的概念计算即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以. （2）全集， 所以， 所以. 28．已知集合和，若，，分别求实数的值． 【答案】 【分析】根据集合的运算进行求解. 【详解】因为，所以. 从而可得，所以． 又由于，且，，所以． 所以方程的两个根为. 由根与系数的关系可得，. 综上可得，. 29．（1）已知：实数满足，其中，：实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）根据充分条件的概念求解即可； （2）根据必要条件的概念求解即可. 【详解】（1）根据题意可得，：，对应集合， ：，对应集合 因为是的充分条件，所以， 所以解得， 所以的取值范围是. （2）根据题意可得，：，对应集合， ：，对应集合， 因为是的必要不充分条件，所以是的真子集， 则有或，解得， 又因为，则， 所以实数的取值范围为. 30．命题：实数满足集合，：实数满足集合. (1)若，为真命题，求集合，； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用命题的真假求集合即可； （2）根据是成立的充分不必要条件推出是B的真子集，从而求参数范围即可. 【详解】（1）由，得， ∴， ∴. 由，解得， ∴. （2）∵是成立的充分不必要条件，∴是B的真子集， 由，， ∴，解得，经检验时成立， ∴实数的取值范围是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （学生练习卷） 一、单选题 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则(　　) A． B． C． D． 4．设全集为，集合，则（ ） A． B． C． D． 5．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 6．已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（ ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个 7．集合，则（ ） A． B． C． D． 8．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．设集合，若，则（ ） A．0 B．1 C．2 D． 10．方程组的解为（ ） A． B． C． D． 11．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．使成立的一个必要条件是（ ） A． B． C． D． 13．已知，则“”是“”的（ ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14．是的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 16．已知x，y为实数，则“”是“且”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17．已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 18．已知是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 20．在中，是为锐角三角形的（ ） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 二、填空题 21．满足条件的所有集合的个数是 . 22．已知集合，，，若，则 . 23．已知，则 . 24．设，是的充分条件，则实数的取值范围是 . 25．命题“”是“”成立的 条件. 三、解答题 26．设集合，集合，求. 27．设全集，集合，，求： (1)； (2). 28．已知集合和，若，，分别求实数的值． 29．（1）已知：实数满足，其中，：实数满足.若是的充分条件，求实数的取值范围. （2）已知：，：，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 30．命题：实数满足集合，：实数满足集合. (1)若，为真命题，求集合，； (2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $