第1卷 集合与充要条件（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统构建集合与充要条件专项训练体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合|概念回顾（3点）、真题精讲（2考点）、举一反三（11题）、拓展提升（5题）|子集个数公式、集合关系判断法、交并补运算技巧|元素特征→集合关系→运算，形成概念-关系-运算递进链条| |充要条件|概念回顾（定义表）、真题精讲（2考点）、举一反三（6题）、拓展提升（6题）|充分必要条件推出关系判断、跨模块条件分析|定义→函数/立体几何应用，体现概念应用拓展|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【真题精讲】 考点01 集合的基本概念 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的子集的概念即可求解. 【详解】集合的子集有， 所以集合A的子集个数为4个. 故选：C. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A：N为自然数集，Z为整数集，所以N⊆Z，故A正确； 对B：Q为有理数集，2为无理数，所以，故B错误； 对C：没有任何元素，所以，故C错误； 对D：N为自然数集，所以0∈N，故D错误. 故选：A. 考点02 集合的运算 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算定义计算即可. 【详解】∵集合，集合 ∴ 故选：C. 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据交集得概念即可求解. 【详解】 故选：A. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合之间的包含关系直接求得. 【详解】若，集合中的元素一定在集合中， 因为，所以, 又因为，所以. 故选：A. 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合的交集和补集的概念即可求解. 【详解】因为且，根据补集的概念有= 又由交集的概念得= 故选：B. 4．（23-24高三下·甘肃·职教高考）已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据含有个元素的集合，其子集个数为个和真子集个数为个可得答案． 【详解】集合含有个元素，其子集个数为个， 真子集的个数为个. 故选：C. 5．（23-24高三下·云南·职教高考）设集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合E、F，联立方程，得到方程组的解，并根据交集的概念求解. 【详解】因为集合，集合， 联立方程,解得， 所以则. 故选：C. 6．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设集合，则下列四个关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系及集合与集合的关系即可得解. 【详解】不含任何元素，所以，故A错误； 集合表示所有小于1的实数组成的集合，所以是集合中的元素，所以，故B正确； 集合与集合之间不能用“”连接，故C错误； 元素与集合之间只能用“”“”连接，不能用“”连接，故D错误， 故选：. 7．（24-25高三下·吉林·职教高考）若集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据并集的概念即可求解. 【详解】因为集合， 则. 故选：C. 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，则集合所有不同的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据集合间的包含关系分析求解即可. 【详解】因为，所以集合中必须含有两个元素， 也可以含有中的全部或者部分元素，所以满足条件的集合有： 共四个. 故选：D. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知全集，集合，，则等于（ ） A．{4} B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合补集及并集的定义即可得解. 【详解】全集，集合， 则，. 故选：. 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A．0 B．3 C．0或3 D．0或2 【答案】C 【分析】根据集合之间的包含关系求解即可. 【详解】已知集合，所以. 因为，且，所以或. 故选：C. 11．（24-25高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】集合 则集合， 故选：. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）下列关系中，表达正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确“”用于表示元素与集合的关系，“”用于表示集合与集合的关系，由此判断选项即可. 【详解】A选项中元素与集合的关系不能用“”，故A选项错误； B选项中空集是任何集合的子集，，故B选项错误； C选项中集合中没有4这个元素，故不包含于，故C选项错误； D选项中集合元素具有无序性，故，故D选项正确. 故选：D. 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知全集，集合，若，则实数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】B 【分析】根据补集的定义求出集合，根据对应关系求出的值即可． 【详解】因为全集，， 所以，又集合，所以． 故选：B. 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】集合，，则， 故选：. 4．（25-26高三下·山东德州·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元一次不等式和一元二次不等式可得集合，再根据交集的运算及区间的表示可得结果. 【详解】因为，， 所以， 所以. 故选：A 5．（25-26高三下·山东济南·二模）已知全集，集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据交集，并集，补集的概念运算即可. 【详解】已知全集， 集合，， 则，故A不符合题意， ，故B不符合题意， ，故C不符合题意， ，故D符合题意． 故选：D. 二、充要条件 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与函数结合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以⇒ 故选：A. 考点02 与立体几何相结合 3．（2023年山东省春季高考数学真题）“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与直线得位置关系和异面直线的概念即可求解. 【详解】若“直线没有公共点”，则“或互为异面直线”； 若“直线互为异面直线”，则一定能得到“直线没有公共点”． 所以“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的必要不充分条件. 故选：B. 【举一反三】 1．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充要条件的定义即可求解. 【详解】是第一、二象限或终边在轴正半轴的角 故角是第一象限角是的充分不必要条件 故选：A. 2．（25-26高三下·黑龙江·职教高考）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分、必要条件的定义即可判断. 【详解】因为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分必要条件的判断即可求解. 【详解】因为， 所以是的必要不充分条件. 故选：. 4．设，则是的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分条件，必要条件的概念判断即可. 【详解】因为等价于 或， 所以可由推出，即是的充分条件； 由不能推出，即不是的必要条件； 故是的充分不必要条件，因此选项D正确. 故选：D. 5．（23-24高三下·浙江·二模）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由题目中的命题验证充分、必要性即可. 【详解】由，可得或， 由，可得或， 所以. 所以设，则“”是“”的充要条件 故选：C. 6．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的 条件（填“充分”或“必要”）． 【答案】必要 【分析】由充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】的解是；的解是． 由不能推出，由能推出， 所以“”是“”的必要条件． 故答案为：必要. 【拓展提升】 1．（22-23高三下·山东·职教高考）“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线之间的位置关系，结合充分性必要性的定义即可得解. 【详解】若两条直线没有公共点，则两条直线平行或异面，充分性不成立； 若两条直线异面，则两条直线没有公共点，必要性成立， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的必要不充分条件． 故选：. 2．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，取，此时，即充分性不成立； 当时，必有，即必要性成立； 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．（23-24高三·河北·对口/高职单招）设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系和交集的运算和充要条件的概念分析即可. 【详解】因为A、B为两个集合， 所以由，可以得出集合A为集合B的子集，，所以充分性成立， 由，可以得出，所以必要性成立， 综上，是“”的充要条件. 故选：C. 4．“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】可推出, 不能推出,例如时, ,但不满足, 且是的充分不必要条件. 故选：A 5．（25-26高三下·江西·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据含有绝对值的不等式的解法，结合必要不充分条件的定义分析求解即可. 【详解】， 因为“”是“”的必要不充分条件， 即当时，一定有，但当时，不一定有， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（21-22高三·河南·二模）设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意转化为集合间的包含关系可得. 【详解】解：假设，由题意，是B的真子集， 所以必有成立. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第1卷 集合与充要条件 （教师讲解卷） 一、集合 【概念回顾】 1．元素与集合 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示． 2．集合间的基本关系 表示 关系　　 文字语言 符号语言 集合间的 基本关系 相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A＝B 子集 A中任意一个元素均为B中的元素 A⊆B 真子集 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 3.集合的基本运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形语言 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 【真题精讲】 考点01 集合的基本概念 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知集合，则集合A的子集个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 2．（2024年山东省春季高考数学真题）下列关系式正确的是（ ） A． B． C． D． 考点02 集合的运算 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 3．（2021年山东省春季高考数学真题）已知集合，集合，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·甘肃·职教高考）已知集合，则集合的子集和真子集的个数分别为（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 5．（23-24高三下·云南·职教高考）设集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高三·全国·对口/高职单招）设集合，则下列四个关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·吉林·职教高考）若集合，则（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，则集合所有不同的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知全集，集合，，则等于（ ） A．{4} B． C． D． 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知集合，，若，则实数的值是（ ） A．0 B．3 C．0或3 D．0或2 11．（24-25高三下·陕西·对口/高职单招）已知集合则集合（ ） A． B． C． D． 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）下列关系中，表达正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知全集，集合，若，则实数（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或1 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知集合，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山东德州·三模）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东济南·二模）已知全集，集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 二、充要条件 【概念回顾】 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的 充分　条件，q是p的 必要　条件 p是q的 充分不必要　条件 p⇒q且qp p是q的 必要不充分　条件 pq且q⇒p p是q的 充要　条件 p⇔q p是q的 既不充分也不必要　条件 pq且qp 【真题精讲】 考点01 与函数结合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知直线m，n和平面，，且，，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是（ ） A． B． C． D． 考点02 与立体几何相结合 3．（2023年山东省春季高考数学真题）“直线没有公共点”是“直线互为异面直线”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【举一反三】 1．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·黑龙江·职教高考）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设，则是的（ ） A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．充分不必要条件 5．（23-24高三下·浙江·二模）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（24-25高三·全国·对口/高职单招）“”是“”的 条件（填“充分”或“必要”）． 【拓展提升】 1．（22-23高三下·山东·职教高考）“两条直线没有公共点”是“两条直线异面”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（23-24高三·河北·对口/高职单招）设A、B为两个集合，则是“”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“且”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三下·江西·模拟预测）若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是 . 6．（21-22高三·河南·二模）设，，是的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $