第2卷 不等式的性质及解法（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统整合不等式性质与解法，通过真题与模拟题培养运算能力与推理意识，实现方法迁移与能力提升。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|性质7条+解法2类|梳理不等式对称性、传递性等性质，总结一元二次不等式“化标-求根-定解”及绝对值不等式分类解法|从性质概念到解法步骤，构建“概念生成-原理推导-应用框架”基础链条| |真题精讲|2考点4道题|结合2024-2026年真题，讲解性质比较与解集反求技巧|通过真题解构考点，建立“性质应用-解法实践”对应关系| |举一反三|12道题|强化性质判断（倒数法则等）与解法迁移（含参数不等式）|覆盖不同情境变式，巩固“概念-解法-变式”逻辑应用| |拓展提升|10道题|深化条件充分性判断与综合应用（单调区间关联）|提升知识综合运用能力，体现“方法-能力-素养”递进|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的解法及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、不等式的性质 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 二、不等式的解法 1. 一元二次不等式 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 考点02 不等式的解法及其应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知不等式的解集是，则实数c的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4.（2025年山东省春季高考数学真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 5．（2024年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）若，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 5．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知，下列选项正确的是(　　) A． B． C． D． 6．（20-21高三·云南·对口/高职单招）如果且，则与的关系是(　　) A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 7．（23-24高三下·甘肃·职教高考）已知，下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）若，，，则m与n的大小关系是(　　) A． B． C． D． 9．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则实数的值分别是(　　) A． B． C． D． 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 11．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知的解集是，则实数等于(　　) A． B．3 C． D．9 12．（25-26高三下·山东·模拟预测）关于的不等式的解集是，则函数的单调减区间是(　　) A． B． C． D． 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知a，b是实数，则“且”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，则下列关系式正确的是(　　) A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，下列不等式正确的是(　　) A． B． C． D． 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，则结论正确的是(　　) A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）若关于的不等式的解集是或，则的值为(　　) A． B．2 C．4 D． 6．（25-26高三·云南·对口/高职单招）不等式的解集是(　　) A．或 B．或 C． D． 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）一元二次不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 8．（18-19高三下·黑龙江·对口/高职单招）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 9．（20-21高三·陕西·职教高考）不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 10．（23-24高三下·天津·职教高考）不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第2卷 不等式的解法及性质 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、不等式的性质 1. 不等式的性质及比较两个实数的大小的方法 （1） ①对称性：a＞b⇔b＜a； ②传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c； ③可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； ④可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； ⑤可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)； ⑥可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)； ⑦倒数法则：. （2）两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b．另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b. 二、不等式的解法 1. 一元二次不等式 （1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)． （2）求出相应的一元二次方程的根． （3）利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2.含绝对值的不等式 （1）绝对值的代数意义 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即 （2）绝对值的几何意义 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义 表示在数轴上，数和数之间的距离． （4）绝对值不等式的解法 不等式 a>0 a＝0 a<0 |x|<a {x|－a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a，或x<－a} {x|x∈R，且x≠0} R 【真题精讲】 考点01 不等式的性质 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一分析每个选项. 【详解】选项A：因为，可得，又，所以，该选项正确； 选项B：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项C：已知，令，得，此时，该选项错误； 选项D：已知，根据不等式的性质可知，该选项错误， 故选：A. 2.（2024年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】对A：若，则，故A选项错误： 对B：，则，又因为,利用同向不等式的可加性，则，故B正确； 对C：若，则，故C选项错误； 对D：若，则，故D选项错误. 故选：B. 考点02 不等式的解法及其应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知不等式的解集是，则实数c的值是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解集求解即可. 【详解】不等式，的解集为，即， 解得，所以， 解得. 故选：B. 4.（2025年山东省春季高考数学真题）已知方程的两个根是和5，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的关系可将不等式变形，进而求解即可. 【详解】因为方程的两个根是−2和5， 所以不等式可变形为， 又因为，所以， 解得， 所以不等式的解集为 故选：A. 5．（2024年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是，则实数的值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 【分析】根据含绝对值的不等式的解法即可求解. 【详解】由不等式，解得， 又因为不等式的解集是， 即， 所以有， 所以. 故选：B. 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以， 解得， 所以不等式的解集为(. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解集. 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取，可知A、B、C错误；根据不等式的基本性质，可得D正确. 【详解】由已知，取，可知A、B、C错误； 因为，根据不等的基本性质，可得. 故选：D. 4．（24-25高三下·青海·对口/高职单招）若，则下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质判断选项即可. 【详解】A选项，若，则，故A选项错误； B选项，若，则，故B选项错误； C选项，若，则，故C选项正确； D选项，若，则，故D选项错误. 故选：C. 5．（24-25高三下·贵州·职教高考）已知，下列选项正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得解. 【详解】因为，当时，，故错误； 因为，则，故正确； 因为，则，故错误； 当时，，故错误， 故选：. 6．（20-21高三·云南·对口/高职单招）如果且，则与的关系是(　　) A．大于 B．小于 C．等于 D．不确定 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质即可判断. 【详解】因为且. 所以. 所以. 故选：A. 7．（23-24高三下·甘肃·职教高考）已知，下列结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的基本性质可得. 【详解】选项A，，该选项正确. 选项B，，该选项错误. 选项C，，该选项错误. 选项D，，该选项错误. 故选：A. 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）若，，，则m与n的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差比较法即可解答. 【详解】 ，故． 故选：C. 9．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）若关于的不等式的解集是，则实数的值分别是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解绝对值不等式，再根据已知解集确定实数和的值. 【详解】当时，的解集为，当时，的解集为， 不符合题意，所以， 则不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 又已知不等式的解集是， 可得，解得，， 故选：B. 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】不等式等价于，解得. 故不等式的解集是. 故选：B. 11．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知的解集是，则实数等于(　　) A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】根据含绝对值不等式的解法即可求解. 【详解】不等式有解时，由不等式得， 又不等式的解为， 所以. 故选：D. 12．（25-26高三下·山东·模拟预测）关于的不等式的解集是，则函数的单调减区间是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的解集可得且方程的两个根为3和5，再结合二次函数的性质求解单调区间即可. 【详解】∵不等式的解集是， ∴且方程的两个根为3和5， ∴函数的图像开口向下，且与x轴的交点为与， ∴该函数的对称轴为， ∴该函数的单调减区间是. 故选：B. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知a，b是实数，则“且”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意结合充分性及必要性的定义即可得解. 【详解】且，同号，不等式两边同除以得，故充分性成立； 当，时，满足，此时且，故必要性不成立， 所以“且”是“”的充分不必要条件， 故选：. 2．（25-26高三下·山东·模拟预测）若，则下列关系式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，及不等式的性质，即可判断求解. 【详解】因为指数函数是在R上增函数，又，所以，故选项A正确； 因为，当同号时，；当异号时，即，此时，故选项B错误； 因为，故不一定成立，如时，，故选项C错误； 因为，当为非负数时，成立；当为负数时，，故选项D错误. 故选：A. 3．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，下列不等式正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质对每个选项逐一进行分析. 【详解】选项A：已知，且，可得，所以选项A错误， 选项B：已知，取，则，此时，选项B错误, 选项C：已知，且，可得，即，选项C错误， 选项D：因为，则，所以，即，选项D正确， 故选：D. 4．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，则结论正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质即可求解. 【详解】对A：若，则，故A项错误； 对B：若，则，故B项错误； 对C：若，则，故C项错误； 对D：因为，所以，故D项正确. 故选：D. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）若关于的不等式的解集是或，则的值为(　　) A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式、一元二次方程及二次函数间的关系，求出的值即可得解. 【详解】由题可知，和是的两根且， 所以，解得， 所以. 故选：A 6．（25-26高三·云南·对口/高职单招）不等式的解集是(　　) A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】解一元二次不等式即可得解. 【详解】不等式，解得或， 所以解集为或. 故选：. 7．（22-23高三下·河北·对口/高职单招）一元二次不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】因为， 分解因式得， 解得或， 即不等式的解集为. 故选：D. 8．（18-19高三下·黑龙江·对口/高职单招）不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由不等式， 得，解得， 所以不等式的解集是， 故选：D. 9．（20-21高三·陕西·职教高考）不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据含绝对值不等式的基本解法求解. 【详解】将不等式化为，， 即，得到. 故选：C. 10．（23-24高三下·天津·职教高考）不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用绝对值不等式的解法即可得解. 【详解】因为，所以， 所以的解集为. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $