第4卷 二次函数（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 本专项立足山东春考，以“概念回顾-真题精讲-举一反三-拓展提升”为逻辑链，系统梳理二次函数定义、解析式及性质，通过分层训练培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|定义+3种解析式+性质表|基础概念梳理|从定义到解析式再到图象性质的生成链| |真题精讲|2道春考真题|奇偶性、解析式求解|考纲核心考点的直接应用| |举一反三|10题（含5选择、3填空、2解答）|单调性、最值、图像识别|性质应用到简单综合问题的过渡| |拓展提升|12题（含5选择、1填空、6解答）|区间最值、恒成立、实际应用|复杂情境下的模型构建与推理|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时， y有最小值ymin＝ 当时， y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的性质易得答案. 【详解】因为函数是偶函数， 所以充要条件是， 所以. 故选：A. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【答案】（1）；（2）偶函数，证明见解析 【分析】（1）由二次函数的对称轴和最小值，即知道顶点坐标，由顶点坐标公式求解即可. （2）由偶函数的定义，先证定义域关于原点对称，再证明即可. 【小问1详解】 因为函数的对称轴为，最小值为2， 所以解得 所以函数的解析式为． 【小问2详解】 为偶函数．因为，则， 其定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数为偶函数. 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与一元二次不等式的关系求解集. 【详解】因为函数图像的对称轴为， 所以，解得， 所以函数为， 不等式即为， 因式分解得， 解得， 所以不等式的解集是. 故选：C. 3．（22-23高三下·新疆·职教高考）二次函数的增区间为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式求解单调区间即可. 【详解】因为二次函数，且图像开口向上， 所以二次函数的增区间为， 故选：D 4．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为(　　) A． B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】已知函数在上是减函数，在上是增函数， 则为二次函数的对称轴，即，解得. 故选：D. 5．（20-21高三·江西·职教高考）一次函数与二次函数在同一个坐标系的图像可能是是(　　) A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】对四个选项逐一分析，根据二次函数图象的开口以及对称轴与轴的关系即可求得的正负，由此可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可求得答案. 【详解】对于A，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项A错误； 对于B，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项B正确； 对于C，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项C错误； 对于D，由抛物线可知，，可得，由直线可知，，故选项D错误； 故选：B. 6．（20-21高三·河北·对口/高职单招）一元二次函数在区间上的最小值是(　　) A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】根据函数的单调性可知，在单调递减，在单调递增，故在函数取最小值. 【详解】由二次函数，其图像为开口向上的抛物线，如图所示： 其对称轴，故函数曲线在单调递减，在单调递增， 所以当时，函数取得最小值，即. 故选：C. 7．（23-24高三下·江西·对口/高职单招）若函数值域为．则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】分析二次函数的大致图象，再数形结合即可得解. 【详解】因为的对称轴为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 令，得，解得或， 所以的大致图象如图， 结合图象可知，，则实数a的取值范围为. 故答案为：. 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点和． (1)求的解析式； (2)若的图像总是在直线的上方，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再将点和代入求解即可. （2）将题意转化为恒成立，并由一元二次不等式恒成立，列不等式求解即可. 【详解】（1）二次函数图像的对称轴为直线， 可设 ， 代入和得， 解得，，故. （2）由题意可得， 恒成立，即， 所以恒成立，判别式， 解得，故m的取值范围为. 9．（22-23高三·山东·模拟预测）已知函数. (1)求证：该函数图像与x轴有两个交点. (2)求图像与x轴的两个交点间的距离的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）根据二次函数对应方程的解的个数确定图像与轴的交点个数. （2）设交点坐标根据两点间距离公式求解即可. 【详解】（1）证明：∵ ∴图像与x轴有两个交点. （2）设图像与x轴的两个交点是，，则 ∴ ∴的最小值是2. 10．（2021年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，且.求： （1）实数的值； （2）该函数的解析式. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由直接代入即可求得的值. （2）利用为奇函数及时的解析式即可求得时的解析式，再把两者写成分段函数即可. 【小问1详解】 当时，，且. 可得，解得. 【小问2详解】 由（1）当时，， 当时，，则 又因为是定义在上的奇函数， 即当时，， 所以该函数的解析式为 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】函数，开口向上，对称轴为. 因此函数在区间单调递增， 所以，解得. 故选：C. 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合二次函数的图像和性质，即可判断求解. 【详解】由图可知，函数图像开口向下，所以， 又对称轴在轴右侧，所以，则， 因为当时，， 又函数图像与轴交于正半轴，所以． 故选：B. 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合二次函数的性质即可得解. 【详解】，对称轴， 当时，函数值最小为， 当时，， 根据二次函数的对称关系，可知，当时，， 因为函数在区间上有最大值3和最小值， 故， 故选：. 4．（23-24高三·山东淄博·一模）已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】由二次函数的单调区间确定的值，再由单调区间求其最小值即可. 【详解】因为二次函数 在区间上是减函数，在区间是增函数， 所以其对称轴为，解得， 当时，取最小值，最小值为. 故选：B. 5．（22-23高三上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得对称轴，最大值是，故可设，代入其中一个点的坐标即可求出的值，问题得以解决． 【详解】二次函数的图象经过两点，,则对称轴为，最大值为, 可设, 则,解得, 故. 故选： 6．（21-22高三下·甘肃·对口/高职单招）设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 【答案】最小值为，无最大值 【分析】先利用待定系数法求出函数解析式，再求最值. 【详解】设二次函数，由已知，，， 可得，解得， 所以二次函数，，开口向上， 当时，函数有最小值，无最大值 7．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1) (2)11 【分析】（1）设函数的解析式为（），再结合题干已知条件代数求解即可； （2）根据二次函数的图像及性质分析求解即可. 【详解】（1）设（）． 因为， 所以， 即． 又因为， 所以，解得， 所以． （2）因为， 函数图像开口向上，对称轴为，且， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值， 又因为， 所以，当时，取得最大值，最大值为11． 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据分段函数解析式求出函数值即可得解. （）根据一次函数及二次函数的性质求出分段函数的值域即可得解. 【详解】（1）函数， ，. （2）函数， 时，单调递减， ；当趋近于时，函数值趋近于， 所以此时值域为； 时，； ，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 时，单调递减， 当趋近于时，函数值趋近于，当趋近于时，函数值趋近于， 此时值域为； 综上，值域为. 9．（21-22高三·山东青岛·模拟预测）已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数图象的性质，判断对称轴的范围，从而确定m的取值范围. （2）根据二次函数值恒大于零，判断，从而确定m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为二次函数，开口向上，对称轴为， 又因为函数在区间上单调递减， 所以对称轴大于等于，即，解得， 故的取值范围为：. （2）因为，都有， 所以， 解得：， 故的取值范围为. 10．（23-24高三·山东青岛·一模）某商人将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10件，问他将售价定为多少元时，每天获得的利润最大？并求最大利润. 【答案】售价定为14元时，每天获得的利润最大，最大利润为360元. 【分析】建立二次函数模型，根据二次函数的最值求解即可. 【详解】设某商人将商品提高元，则销售单价为元，销量为件， 则他的销售利润 所以当时， 即售价为元时， 利润最大，最大利润为（元） 售价定为14元时，每天获得的利润最大，最大利润为360元. 11．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知一次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，且对一切实数x都成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，求出a值，再根据，利用换元法，即可求解. （2）根据（1）中所求的解析式，代入，根据二次函数的图像与性质，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以，解得， 所以， 令，即， 所以， 所以. （2）由（1）知， 所以， 因为对一切实数x都成立， 所以函数有且仅有两个相等的实根或没有实根， 即， 解得 所以实数m的取值范围为. 12．（25-26高三下·四川·模拟预测）已知二次函数的最大值为8，且满足，同时的两根平方和为10． (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1)． (2). 【分析】（）根据题意设二次函数顶点式方程，令，结合韦达定理即可得解. （）化简不等式，构建函数，结合基本不等式公式求出的最大值即可得解. 【详解】（1）二次函数的最大值为8，且满足， 所以函数图像为开口向下的抛物线， 对称轴，设， 则， 的两根平方和为10， 令，由韦达定理可知，，， ，解得， 所以函数解析式为． （2）关于的不等式， 因为在上不等式恒成立，则， 令， 由基本不等式可知，， 当且仅当时，即时，取等号， 所以在区间内的最大值为，则， 则整数的最小值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第4卷 二次函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1.二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． 2.二次函数的三种常见解析式 （1）一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； （2）顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； （3）两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． 3.二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 y∈ y∈ 对称轴 x＝－ 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当时， y有最小值ymin＝ 当时， y有最大值ymax＝ 【真题精讲】 考点01二次函数及其应用 1．（2024年山东省春季高考数学真题）函数是偶函数的充要条件是(　　) A． B． C． D． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）已知二次函数的对称轴为，最小值为2． （1）求函数的解析式； （2）若，判断的奇偶性并证明． 【举一反三】 1．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）已知函数图像的对称轴为，则不等式的解集是(　　) A． B． C． D． 3．（22-23高三下·新疆·职教高考）二次函数的增区间为(　　) A． B． C． D． 4．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知函数在上是减函数，在上是增函数，则的值为(　　) A． B．2 C． D．4 5．（20-21高三·江西·职教高考）一次函数与二次函数在同一个坐标系的图像可能是是(　　) A．   B．   C．   D．   6．（20-21高三·河北·对口/高职单招）一元二次函数在区间上的最小值是(　　) A． B．4 C． D．2 7．（23-24高三下·江西·对口/高职单招）若函数值域为．则实数a的取值范围为 . 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知二次函数图像的对称轴为直线，且经过点和． (1)求的解析式； (2)若的图像总是在直线的上方，求m的取值范围． 9．（22-23高三·山东·模拟预测）已知函数. (1)求证：该函数图像与x轴有两个交点. (2)求图像与x轴的两个交点间的距离的最小值. 10．（2021年山东省春季高考数学真题）已知是定义在上的奇函数，当时，，且.求： （1）实数的值； （2）该函数的解析式. 【拓展提升】 1．（25-26高三下·山东·模拟预测）若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知二次函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数在区间上有最大值3和最小值，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高三·山东淄博·一模）已知二次函数在区间上是减函数，在区间是增函数，则函数的最小值是（     ） A．2 B． C．3 D． 5．（22-23高三上·山东德州·阶段检测）已知二次函数的图象经过两点，，且最大值是5，则该函数的解析式是（     ） A． B． C． D． 6．（21-22高三下·甘肃·对口/高职单招）设一元二次函数满足，，，求函数的最值． 7．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知二次函数满足，且． (1)求的解析式； (2)当时，求函数的最大值． 8．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知函数. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 9．（21-22高三·山东青岛·模拟预测）已知函数，其中m为常数. (1)若函数在区间上单调递减，求实数m的取值范围； (2)若，都有，求实数m的取值范围. 10．（23-24高三·山东青岛·一模）某商人将进货单价为8元的商品按10元一个销售时，每天可以卖出100个，现采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品销售单价每涨1元，销售量就减少10件，问他将售价定为多少元时，每天获得的利润最大？并求最大利润. 11．（24-25高三下·四川·模拟预测）已知一次函数满足，且． (1)求函数的解析式； (2)若，且对一切实数x都成立，求实数m的取值范围． 12．（25-26高三下·四川·模拟预测）已知二次函数的最大值为8，且满足，同时的两根平方和为10． (1)求函数的解析式； (2)若关于的不等式在上恒成立，求整数的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $