第5卷 指数函数与对数函数（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建指数函数与对数函数专项训练，系统整合概念、性质与考法，培养抽象能力与运算推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|2大函数系统梳理|概念对比（指数/对数函数性质表格）、公式体系（指数幂/对数运算法则）|从根式/对数概念到函数性质，形成“定义-性质-图像”认知链| |真题精讲|5道近3年春考真题|考点分类（指数函数应用、对数函数图像与单调性）、解题步骤拆解|真题导向，强化性质应用与图像分析的推理能力| |举一反三|11道变式题|题型迁移（运算求值、定义域求解、大小比较）|对接真题考点，训练模型意识与应用能力| |拓展提升|11道综合题|综合应用（函数奇偶性、不等式求解、实际问题建模）|从基础到综合，提升数学语言表达与问题解决能力|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 考点02 对数函数及其应用 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 3．（2025年山东省春季高考数学真题）若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   4．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．已知x，y为正实数，则（     ） A． B． C． D． 2．（     ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）已知幂函数的图像经过点，则等于（     ） A． B．4 C． D．8 5．（23-24高三·陕西·对口/高职单招）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知，，其中且.若，则与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（     ） A． B． C． D． 7.（23-24高三下·云南·职教高考）计算： ． 8.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数，且. (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)求不等式的解集. 9.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 10．（25-26高三下·山东济南·二模）已知函数是定义在上的奇函数．求： (1)实数的值； (2)不等式的解集． 11.（24-25高三上·山东滨州·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求的值． 【拓展提升】 1．（20-21高三·贵州·对口/高职单招），则 （     ） A． B． C．ab D． 2．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）下列选项中大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（2024高三·专题练习）已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（     ） A． B．1 C． D．2 4．（24-25高三下·山西·对口/高职单招）___________. 5．（20-21高三下·山东·职教高考）已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是___________. 6．（18-19高三·陕西·职教高考）若，则___________. 7．（23-24高一上·河南·期末）设函数，若，则___________. 8．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知函数的图象过点，则___________. 9．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）对于任意实数，定义，设函数，则函数的最小值是___________. 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知二次函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意实数都有，求不等式的解集． 11．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数（且）． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求实数的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第5卷 指数函数与对数函数 （教师讲解卷） 【概念回顾】 一、 指数函数 1．根式 (1)根式的概念 根式的概念 符号表示 备注 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根 n＞1且n∈N* 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数 零的n次方根是零 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数 ± 负数没有偶次方根 (2)两个重要公式 ① ② 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念 : ①零指数幂：a0＝1(a≠0)． ②负整数指数幂：a－p＝(a≠0，p∈N*)； ③正分数指数幂： ＝(a＞0，m，n∈ N*，且n＞1)； ④负分数指数幂： ＝ ＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)； ⑤0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的性质 ①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0,1) 当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 二、对数函数 1．对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的性质 几个恒等式(M，N，a，b都是正数，且a，b≠1) ①＝N； ②logaaN＝N； ③logbN＝； ④＝logab； ⑤logab＝，推广logab·logbc·logcd＝logad. (2)对数的运算法则(a>0，且a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)； ④loga＝logaM. 3．对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 (1)定义域：(0，＋∞) (2)值域：R (3)过点(1,0)，即x＝1时，y＝0 (4)当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＜0 (5)当x＞1时，y＜0 当0＜x＜1时，y＞0 (6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数 【真题精讲】 考点01 指数函数及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知函数，且， （1）求实数b的值； （2）函数的最小值和最大值． 【答案】（1） （2）最小值为，最大值为27 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据指数函数的单调性以及二次函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 又，所以， 解得. 【小问2详解】 当时，，此时在上为减函数， 所以时，函数最大值为，最小值为， 当，，函数开口向上，对称轴为， 即时，单调递减；，单调递增； 所以时，函数最小值为，最大值为， 综上，在区间上最小值为，最大值为27． 考点02 对数函数及其应用 2．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 【答案】##0.75 【分析】利用对数的运算性质和换底公式进行求解. 【详解】已知，则，可得， 则. 故答案为：. 3．（2025年山东省春季高考数学真题）若函数（且）是增函数，则函数 的图像是（     ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据对数函数的性质得到的范围，再结合一次函数的方程、定点及图像求解即可. 【详解】因为函数（且）是增函数， 所以；又因为函数过点， 所以排除选项C,D； 因为，所以函数图像过上方， 因此只有选项A图像符合题意， 故选：A. 4．（2024年山东省春季高考数学真题）已知过点 （1）求的值； （2）的定义域为，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【分析】（1）将点代入函数解析式中即可求得的值； （2）先求出的解析式，再根据对数的真数大于零即可求解. 【小问1详解】 因为过点， 即，解得或（舍去）， 所以 【小问2详解】 因为， 且的定义域为， 即恒成立， 则， 解得， 所以的取值范围为. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数函数的单调性解不等式和解含绝对值的不等式的解法求解即可. 【详解】因为， 由得， 且， 所以或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【举一反三】 1．已知x，y为正实数，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算法则即可求解. 【详解】因为x，y为正实数， 所以，故B项正确，A、C项错误； 又因为，故D项错误. 故选：B. 2．（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】根据对数运算公式即可得解. 【详解】， 故选：. 3．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）函数的定义域为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次方根的被开方数大于或等于零和对数的真数大于零，结合对数函数的单调性求解不等式即可. 【详解】要使函数有意义，则需满足： ， 解得：， 所以函数的定义域为. 故选：D. 4．（23-24高三下·辽宁·对口/高职单招）已知幂函数的图像经过点，则等于（     ） A． B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】将点的坐标代入解析式，求出的值，代数计算即可. 【详解】因为幂函数的图像经过点， 所以，解得：， 所以，所以， 故选：B. 5．（23-24高三·陕西·对口/高职单招）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可得解. 【详解】因为指数函数，底数，所以在上为增函数， 则； 因为对数函数，底数，所以在上为增函数， 则， ，则， 所以， 故选：. 6．（22-23高三下·安徽·对口/高职单招）已知，，其中且.若，则与在同一平面直角坐标系内的图像可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可判断，根据指数函数和对数函数的图像和性质可判断结果. 【详解】由可得， 因为， 所以. 故. 所以指数函数在上单调递增，对数函数在单调递增， 只有C选项符合题意. 故选：C 7.（23-24高三下·云南·职教高考）计算：． 【答案】 【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得解. 【详解】 . 8.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数，且. (1)求函数的解析式，并写出其定义域； (2)求不等式的解集. 【答案】(1) ，定义域为. (2) 【分析】（1）将代入函数的解析式求出，再根据对数函数的定义域求解即可. （2）根据对数函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为，解得. 则. 为了使函数有意义，则，解得. 因此其定义域为. （2）不等式，化简得， 因为在上单调递增，所以不等式等价于，解得. 因此解集为. 9.（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数（，且）的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求出对数函数的解析式； （2）由对数函数的单调性列式求解即可. 【详解】（1）因为函数的图象过点， 所以，所以. 因为，且， 所以，即. （2）因为在上单调递增，且， 所以所以 所以，所以原不等式的解集是. 10．（25-26高三下·山东济南·二模）已知函数是定义在上的奇函数．求： (1)实数的值； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据定义在上的奇函数有，代入函数解析式求值即可. （2）根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）已知函数是定义在上的奇函数， 则，即，解得， 当时，定义域为， 且满足奇函数定义， 所以. （2）由（1）可得，， 则，即，因为， 两边同乘，得， 即，得， 所以，因为在上为增函数， 所以，则原不等式解集为. 11.（24-25高三上·山东滨州·模拟预测）已知函数． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据对数函数的单调性，讨论的取值范围. （2）根据函数的单调性以及因式分解求解即可. 【详解】（1）由于，为了使有意义，所以. 当时，函数单调递增， 所以意味着，即 当时，函数单调递减， 所以意味着，即， 综上，的取值范围是. （2）若函数在区间上最大值是最小值的倍： 当时，函数单调递增.则. 因为，所以， 由得，解得(舍去). 当时，函数单调递减，则，. 因为，所以，即， 由得， 即， 解得(舍去). 综上所述，或． 【拓展提升】 1．（20-21高三·贵州·对口/高职单招），则 （     ） A． B． C．ab D． 【答案】B 【分析】根据对数的换底公式的运算性质计算即可. 【详解】因为，， 则. 故选：B. 2．（23-24高三下·吉林·对口/高职单招）下列选项中大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性即可求解. 【详解】对A：因为函数在定义域上单调递增，所以，故A项错误； 对B：因为函数在定义域上单调递减，所以，故B项错误； 对C：因为函数在定义域上单调递减，所以，故C项正确； 对D：因为函数在定义域上单调递增，所以，故D项错误. 故选：C 3．（2024高三·专题练习）已知指数函数在上单调递增，则实数的值为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】解方程即得或，再检验即得解. 【详解】解：由题得或. 当时，在上单调递增，符合题意； 当时，在上单调递减，不符合题意. 所以. 故选：D 4．（24-25高三下·山西·对口/高职单招）___________. 【答案】2 【分析】根据同底数对数的减法运算法则即可计算：． 【详解】， 故答案为：2． 5．（20-21高三下·山东·职教高考）已知点在函数的图像上，这三个点的横坐标依次构成公差为1的等差数列，若点的横坐标为的面积为，把表示为以为自变量的函数，则该函数的解析式是___________. 【答案】 【分析】根据题意作图，并根据题型用割补法求S的表达式即可. 【详解】∵点A，B，C的横坐标成公差为1的等差数列，且点A的横坐标为m， ∴点B的横坐标为，同理，点C的横坐标为， 即点A为，B为，C为， 过点C作轴于点M，过点A作于点F，过点B作于点E， 即可知，， 利用割补法知的面积为， 因为 所以， 因为， 所以， 因为， ， 故. 故答案为：. 6．（18-19高三·陕西·职教高考）若，则___________. 【答案】/0.125 【分析】根据指对互化以及指数的运算性质进行求解即可. 【详解】，即， 因为为底数大于0，所以， 所以. 故答案为：. 7．（23-24高一上·河南·期末）设函数，若，则___________. 【答案】 【分析】根据题意计算出参数，然后代值计算即可. 【详解】因为，所以，则 所以，故 故答案为： 8．（25-26高三下·江西·对口/高职单招）已知函数的图象过点，则___________. 【答案】2 【分析】根据指数函数的解析式代入求解即可. 【详解】因为函数的图象过点， 所以. 故答案为：2. 9．（22-23高三下·江苏·对口/高职单招）对于任意实数，定义，设函数，则函数的最小值是___________. 【答案】 【分析】根据一次函数的单调性，指数函数的单调性结合图象即可解答. 【详解】已知为单调递增的一次函数， 为单调递减的指数函数， 如图所示，   ， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 因为单调递减，所以时，， 因为单调递增，所以当时，， 所以当时，， 故答案为： 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知二次函数． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于任意实数都有，求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式恒成立问题的解法求解即可； （2）利用函数的对称性和对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】（1）由题意得恒成立， 所以，解得：， 所以实数的取值范围是． （2）因为对于任意实数都有， 所以函数的对称轴方程为， 即，解得：， 因为不等式， 即， 则，解得：或， 所以不等式的解集为． 11．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知函数（且）． (1)若，求实数的取值范围； (2)若函数在区间上最大值是最小值的2倍，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据对数函数的单调性，分类讨论即可. （2）根据对数函数的单调性列等式求解即可. 【详解】（1）①当时，则在上是增函数，所以，解得； ②当时，则在上是减函数，所以，解得， 综上，的取值范围是． （2）①当时，函数在区间上是减函数， 则函数在区间上的最大值是，最小值是， 由题意得，即，则，结合，解得， ②当时，函数在区间上是增函数， 则函数在区间上的最大值是，最小值是， 由题意得，即，结合，解得． 所以或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $