第6卷 任意角的三角函数及恒等变换（教师讲解卷）山东省（春季高考）《数学真题同源卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足山东春考，以“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”构建三角函数专项训练体系，系统梳理定义、公式及应用，强化从概念到解题的逻辑迁移。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念回顾|10个核心知识点|公式体系化梳理（如诱导公式“符号看象限”口诀）|角的概念推广→弧度制→三角函数定义→同角关系→诱导公式→恒等变换的递进链条| |真题精讲|3考点6道真题|按考点分类解题（定义应用/公式求值/恒等变换）|聚焦近三年高频考点，构建“定义-公式-应用”解题路径| |举一反三|15道题（含5真题）|变式训练强化方法迁移|通过真题变式巩固核心解法，培养推理能力| |拓展提升|10道综合题|综合应用提升解题能力|跨情境应用，发展数学应用意识与模型观念|

编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 8．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 9．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 10．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的定义及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，则是的什么条件(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 C．既不充分也不必要条件 2．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 考点02 三角函数求值及其应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 考点03 三角恒等变换及其应用 5．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 6．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则(　　) A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则 ． 2．（2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于(　　) A． B． C． D． 4．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A．1 B． C． D．2 6．（2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于(　　) A． B． C． D． 7．（25-26高三下·山东·模拟预测）若角满足，且，则等于（     ） A． B． C．或 D．或 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则等于(　　) A．2 B． C． D． 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）若角终边过点，则等于(　　) A． B． C．或 D． 14．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，则 . 15．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，若，则 . 10．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）已知． (1)求的值； (2)求的值 11．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知为锐角，  满足 sinα= ，求的值. 【拓展提升】 1．（23-24高一下·四川南充·期中）已知角的终边经过点，则（ 　） A． B． C． D． 2．（18-19高三·新疆·职教高考）已知且，则角等于（ 　） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ 　） A．1 B． C．2 D． 4．（23-24高三下·云南·职教高考）函数的最小正周期是，则的值是（ 　） A． B． C． D． 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为（ 　） A． B． C． D． 6．已知，则___________. 7．已知为第二象限的角，，则___________. 8．（17-18高三·山东·二模）设，向量，若，则___________. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）若都是锐角，且，求的值． 10．（25-26高三下·山东菏泽·二模）已知点，，且． (1)求的值； (2)若角，且角的终边与圆交于点，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：山东省（春季高考）《数学真题同源卷》专辑，立足山东省春季高考数学考试标准及真题深度研究，严格对标考纲要求、深挖核心考点。每份试卷聚焦一个专题，精选近三年高考真题，按“概念回顾+真题精讲+举一反三+拓展提升”的逻辑体系编写，每个专题配套两份试卷，分别为教师讲解卷与学生练习卷，且均配备PPT课件，方便教师开展课堂教学。助力师生夯实核心能力、贯通解题思路，达成精准对接考点、高效突破备考难点的目标。 2027年山东省（春季高考）《数学真题同源卷》 第6卷 任意角的三角函数及恒等变换 （教师讲解卷） 【概念回顾】 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad. (2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 ①1°＝rad　 ② 弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α 叫做α的正切，记作tan α 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 口诀 Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦 4．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：＝tan α. 5．三角函数的诱导公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tan α tanα －tanα －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 6．两角和与差的正弦、余弦和正切公式. . 7．有关公式的逆用、变形等 (1) (2) 8．函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝. 9．二倍角的正弦、余弦、正切公式 （1）sin 2α＝2sin_αcos_α. （2）cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. （3）tan 2α＝. 10．公式的逆用、变形等 （1）cos2α＝ （2）sin2α＝ （3） （4）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2 【真题精讲】 考点01 三角函数的定义及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）已知，则是的什么条件(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 C．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义，求解即可. 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 2．（2024年山东省春季高考数学真题）已知是第二象限角，是第三象限角，下列说法正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角所在的象限判断三角函数的符号易得答案. 【详解】因为是第二象限角，是第三象限角， 所以， 所以. 故选：C. 考点02 三角函数求值及其应用 3．（2026年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】已知角的终边过点，且， 则，则， 则，即，解得（舍去）. 故选：A. 4．（2026年山东省春季高考数学真题）已知，则的值是_____________． 【答案】##0.1 【分析】利用同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为，且， 所以，即，解得， 故答案为：. 考点03 三角恒等变换及其应用 5．（2025年山东省春季高考数学真题）在平面直角坐标系中，点，，且． （1）求的值； （2）角的顶点为，始边与轴的非负半轴重合，终边与圆的交点为，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）利用两点间距离公式、同角三角函数的平方关系、正弦的和角公式即可求出答案； （2）根据（1）中求出，求出P的坐标为． 【详解】解：（1）∵，，且， ∴， 即， 即， 即， ∴； （2）∵终边对应的角度为，圆的半径为4， ∴点的坐标为． 由，得． ∴或． 6．（2024年山东省春季高考数学真题）已知，，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两角和正切公式易得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 【举一反三】 1．（2023年山东省春季高考数学真题）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，若，则 ． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义，求出，再根据根据诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边过点， 所以； 又因为，角的终边在第二象限内， 且，， 所以 故答案为：. 2．（2023年山东省春季高考数学真题）若，，则是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【分析】根据三角函数的诱导公式以及充分条件和必要条件的定义，求解即可. 【详解】因为，所以 当时，有，即充分性成立； 当时，即，所以必要性成立， 所以是的充要条件， 故选：C. 3．（2022年山东省春季高考数学真题）已知，且是第二象限角，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知，根据诱导公式可得，再利用同角三角函数的基本关系可求解. 【详解】由，可得， 所以 解得 又因为是第二象限角， 所以. 故选：C. 4．（2021年山东省春季高考数学真题）“角是第一象限角”是“”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合充要条件的定义即可求解. 【详解】是第一、二象限或终边在轴正半轴的角； 故角是第一象限角是的充分不必要条件． 故选：A. 5.（2022年山东省春季高考数学真题）已知点，若，则等于(　　) A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量的模长公式结合三角函数的两角差的余弦公式进行求解即可. 【详解】 . 故选：A. 6．（2021年山东省春季高考数学真题）角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边过点，则等于(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由任意角的三角函数定义和正弦的二倍角公式可求解. 【详解】由任意角的三角函数定义可知： ，， . 故选：C. 7．（25-26高三下·山东·模拟预测）若角满足，且，则等于（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据对数的运算求解出，再结合角的范围求解即可. 【详解】因为，所以， 解得：，因为，所以. 故选：A. 8．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式以及同角三角函数的平方关系求解即可. 【详解】∵，即， ∵，则， ∴. 故选：D. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知，，则等于(　　) A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】由题意得，，，， . 故选：B. 10．（25-26高三下·山东·模拟预测）若角终边过点，则等于(　　) A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正弦函数的定义即可得解. 【详解】角终边过点，则， 所以. 故选：D. 14．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，则 . 【答案】 【分析】根据诱导公式，结合二倍角公式，进而求解. 【详解】由得，故， . 故答案为：. 15．（25-26高三下·山东烟台·模拟预测）已知，若，则 . 【答案】 【分析】根据同角三角函数的平方关系，两角差的余弦公式，以及二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】因为，所以； 因为，所以，又，所以， 则， 则， 即，所以. 故答案为：． 10．（21-22高三·新疆·对口/高职单招）已知． (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的范围，判断正弦值为正，再根据同角三角函数的平方关系得到正弦值，即可求解. （2）根据诱导公式化简，即可求解. 【详解】（1）∵，∴. 而，且，代入得到. 所以，得到，即. ∴. （2）. 11．（25-26高三下·河南·对口/高职单招）已知为锐角，  满足 sinα= ，求的值. 【答案】 【分析】根据三角函数同角关系和正切的两角和公式求的正切值，再根据其范围得到其值. 【详解】因为为锐角， ∴，∴ ∴. 因 ，故 ，∴ . 【拓展提升】 1．（23-24高一下·四川南充·期中）已知角的终边经过点，则（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的终边经过点，求出值，代入余弦函数的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点，则， 所以， 故选：D 2．（18-19高三·新疆·职教高考）已知且，则角等于（ 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由任意角三角函数值求角即可求解. 【详解】因为， 所以 或. 因为， 所以. 故选：A. 3．（25-26高三下·山东·对口/高职单招）已知角的顶点是坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，且，则（ 　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据终边上点的坐标求三角函数值即可. 【详解】已知角的终边过点，且， 则，则， 则，即，解得（舍去）. 故选：A. 4．（23-24高三下·云南·职教高考）函数的最小正周期是，则的值是（ 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式将函数解析式化简为，再利用周期公式表示出函数的最小正周期，将已知的周期代入得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为， 所以函数的最小正周期为， 所以， 又因为，所以. 故选：. 5．（25-26高三下·山东·模拟预测）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则的值为（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题干已知条件可得的值，再利用二倍角的余弦公式和同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上， 所以，所以. 故选：B. 6．已知，则___________. 【答案】2 【分析】由题意,根据同角三角函数的基本关系化简即可求出. 【详解】解：由题意,根据同角三角函数的基本关系得 , 故答案为：2 7．已知为第二象限的角，，则___________. 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系求出，再利用正切的二倍角公式即可求解. 【详解】因为为第二象限的角，， 所以， 则， 所以. 故答案为：. 8．（17-18高三·山东·二模）设，向量，若，则___________. 【答案】/ 【分析】根据向量的内积坐标表示列方程，再根据二倍角公式结合同角三角函数的基本关系式化简求值即可. 【详解】已知向量， 由可得， 即， 得，因为，所以， 所以，又由， 可得，即， 且，， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高三下·山东·模拟预测）若都是锐角，且，求的值． 【答案】 【分析】根据同角三角函数的基本关系结合已知条件求出的值，代入式中即可求解. 【详解】因为都是锐角，且， 所以， ， 所以， 所以． 10．（25-26高三下·山东菏泽·二模）已知点，，且． (1)求的值； (2)若角，且角的终边与圆交于点，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据两点间的距离公式并结合同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式可得结果； （2）由同角三角函数的基本关系，求出，再根据任意角的三角函数的定义可得结果. 【详解】（1）由题得：， 则， ， ， 整理得：． （2）因为，则，所以． 因为圆的半径， 所以，即， 若，则； 若，则． 综上所述，点的坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $