学易金卷：八年级数学下学期期末模拟卷【贵州专用，测试范围：新教材北师大版八下全部】

**基本信息** 北师大版八年级下册期末模拟卷，覆盖几何（中心对称、平行四边形）与代数（分式方程、不等式）核心知识，以光伏治沙应用题、智慧数探究题等设计，体现数学眼光、思维与语言，梯度适配期末测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|中心对称、不等式性质、因式分解|基础概念辨析，如第7题平面镶嵌结合生活情境| |填空题|4/16|分式意义、正多边形外角、四边形面积|第16题“相伴方程”创新定义，考查方程与不等式联系| |解答题|9/98|分式方程求解、平行四边形证明、动态几何探究|23题光伏治沙采购问题体现应用意识；24题“智慧数”推理考查代数思维；25题等边三角形动态问题发展空间观念|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是中心对称图形，故选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故选项不符合题意； C、不是中心对称图形，故选项不符合题意； D、是中心对称图形，故选项符合题意． 2．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 利用不等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：若， A．两边同时除以得，则A符合题意， B．两边同时减去3得，则B不符合题意， C．两边同时乘以再同时加上5得，则C不符合题意， D．两边同时乘以2得，则D不符合题意， 故选：A． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解的定义，因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且等式必须成立． 根据因式分解的定义逐一判断即可． 【详解】解：选项A：是乘法运算，右边不是积的形式，不属于因式分解； 选项B：右边是和的形式，不是积的形式，不属于因式分解； 选项C：，右边是整式的积，且等式成立，属于因式分解； 选项D：，等式不成立，不属于因式分解； 故选：C． 4．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到．若点落在线段的延长线上，且，则大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后两图形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转一个角度得到，， ∴； 故选B． 5．如图，已知在中，对角线相交于点，若，则的周长为（   ）    A．13 B． C．14 D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质得到，由此求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，，， ∴， ∴的周长为：． 6．如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， A．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； B．无法判断四边形为平行四边形； C．∵，∴，无法判断四边形为平行四边形； D．∵，∴，∴四边形为平行四边形． 7．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 【答案】D 【分析】平面镶嵌的条件是，拼接点处所有多边形的内角和为，设两种正多边形分别需要块块，判断是否存在正整数使内角和等于即可得到结果. 【详解】解：正三角形一个内角的度数为，正四边形一个内角的度数为，正五边形一个内角的度数为，正六边形一个内角的度数为，正十边形一个内角的度数为： A 、设需要正三角形瓷砖块，正四边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； B、 设需要正三角形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； C、 设需要正五边形瓷砖块，正十边形瓷砖块，可得方程，化简得，存在正整数解，可以平面镶嵌； D 、设需要正四边形瓷砖块，正六边形瓷砖块，可得方程，化简得，不存在正整数满足方程，因此不可以平面镶嵌； 8．解方程时，去分母后正确的结果是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了解一元一次方程，解方程去分母时注意方程两边都乘以各分母的最小公倍数． 方程两边同乘以，得出的结果，即可作出判断． 【详解】解：， 两边乘最小公倍数，得． 故选：B． 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线，则，可得．由题意得，，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． 故选：C． 10．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求的是速度，路程明显，一定是根据时间来列等量关系，本题的关键描述语是：甲比乙提前20分钟到达目的地．等量关系为：乙走10千米用的时间-甲走6千米用的时间=h，解题时注意单位换算． 【详解】解：设甲的速度为 ，则乙的速度为 ． 根据题意，得． 故选：D． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，然后观察函数图象得到在点的右边，直线都在直线的上方，据此求解． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ，解得， ∴， 观察图象知：关于的不等式的解集为． 12．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象分析、平行四边形性质、三角形面积计算及勾股定理应用等知识点，解题的关键在于通过函数图象确定点P运动的时间与路径，进而求得各边长，利用三角形面积公式反推出高，最后结合勾股定理计算对角线的长度。 【详解】解：由图象可知，， 四边形是平行四边形， ， 当点P在上运动时，， 设边上的高为h， ，即， 点P从A到D运动时间为， ，即， ， ， ． 如图， 过A作于E，则， 在中，， ， ． 故选：C． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．若分式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式的基本概念是解题关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，解不等式即可． 【详解】解：由分式有意义， 则分母， 解得． 故答案为：． 14．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 【答案】9 【分析】任意多边形的外角和恒为，正多边形的每个外角相等，通过外角和除以单个外角度数即可求得边数。 【详解】解：∵任意多边形的外角和为，该正多边形的一个外角为，且正多边形的每个外角相等， ∴这个正多边形的边数为， 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是__________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是根据等高得到边相等从而得到菱形． 根据等宽可得四边形是平行四边形，结合四边形面积即可得到，即可得到四边形是菱形，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 根据题意得：， ∴四边形是平行四边形， ∵两张等宽的纸条交叉叠放在一起， 可设两张等宽的纸条的宽为h，则， ∴， ∴四边形是菱形， ∴ 故答案为： 16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为_______． 【答案】2≤m＜4 【分析】解方程求出两个方程的解，再解不等式组得出m＜x≤m+3，根据x=4、x=5均是不等式组的解可得关于m的不等式组，解之可得． 【详解】解：解方程10-x=x，得：x=5， 解方程9+x=3x+1，得：x=4， 由x+m＜2x，得：x＞m， 由x-3≤m，得：x≤m+3， 不等式组的解集为：   ∵x=4、x=5均是不等式组的解， ∴m＜4且m+3≥5， ∴2≤m＜4， 故答案为：2≤m＜4． 【点睛】本题考查的是新定义问题，涉及解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题12分，18-22题每题10分，23-25题每题12分。 17．（1）解方程： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）（2）；数轴见解析 【详解】解：（1）解：， ， ， ， ， ． 检验：当时，， 所以是原分式方程的解． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将解集表示在数轴上，如图所示： 所以原不等式组的解集为． 18．先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，1 【分析】根据分式的运算法则化简式子，再根据分式有意义的条件，代入适合的数求值即可． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件可知且， 代入，原式． 19．如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）角平分线得到，利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴垂直平分． 20．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （）由旋转性质可得，，求得，然后证明，最后由全等三角形的性质即可求证； （）先由等腰三角形的性质得，又，则，最后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后，点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出； (3)已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为 ． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，平移作图，旋转作图，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先确定平移方式，再根据平移的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）根据旋转的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （3）先得出，结合点与点关于原点成中心对称，即可作答． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴图形是向右平移6个单位长度，向下平移3个单位长度， 则如图所示： （2）解：如图所示： （3）解：由（2）得出， ∵点与点关于原点成中心对称， 则点的坐标为， 故答案为：． 22．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）先，再通过勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 23．内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 【答案】(1)每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元 (2)14.4万元 【分析】本题考查分式方程和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程和函数关系式． （1）设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元，根据题意列分式方程解答即可； （2）设采购A型设备台，则B型设备台，根据题意列一元一次不等式组求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元． 根据题意得：， 解得 检验：当时，，所以是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴每台B型发酵设备的采购费用（万元） 答：每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元． （2）解：根据题意得：， 解得， 由实际意义设备数量为非负整数，即：， ∴， ∴的取值范围是：（为整数）， 由题意知：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 答：w的最大值为14.4万元． 24．代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． (1)求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； (2)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①是，理由见解析；②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差． （1）设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数，利用平方差公式整理得，则两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【详解】（1）解：设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数， 两个连续奇数的平方差为 ， ∵m为正整数， ∴能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除； （2）解：①∵，∴， ∴； ∴9是“智慧数”， 故答案为：是； ②设两个数分别为，k，其中，且k为整数． 则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数． 则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可得左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， ∵， ∴第2025个智慧数在（组），并且是第2个数，即． 将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703． 25．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到．若点落在线段的延长线上，且，则大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，对角线相交于点，若，则的周长为（   ）    A．13 B． C．14 D． 6．如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 7．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 8．解方程时，去分母后正确的结果是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．若分式有意义，则的取值范围是______． 14．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是__________． 16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为_______． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题12分，18-22题每题10分，23-25题每题12分。 17．（1）解方程： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 19．如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 20．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后，点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出； (3)已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为 ． 22．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 23．内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 24．代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． (1)求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； (2)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 25．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材北师大版八年级下册。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A．B． C． D． 2．若，则下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点逆时针旋转一个角度得到．若点落在线段的延长线上，且，则大小为（    ） A． B． C． D． 5．如图，已知在中，对角线相交于点，若，则的周长为（   ）    A．13 B． C．14 D． 6．如图，在中，E，F分别是，上的点，连接，，只添加一个条件，能判定四边形为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 7．在生活中，很多墙面与地面会用各种形状的瓷砖铺成，像这样用一些不重叠摆放的多边形将平面完全覆盖，叫做平面镶嵌，为了使镶嵌美丽多变，有时也可以用边长相同的两种正多边形进行镶嵌，下列不可以进行平面镶嵌的一组是（   ） A．正三角形、正四边形 B．正三角形、正六边形 C．正五边形、正十边形 D．正四边形、正六边形 8．解方程时，去分母后正确的结果是（   ）． A． B． C． D． 9．如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交于点，连接，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发．甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，求甲、乙的速度．若设甲的速度为3xkm/h，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 11．如图，直线与直线相交于点，则关于不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 12．如图①，在中，是对角线，动点P从点A出发，沿折线匀速运动至点D停止．若点P的运动速度为，设点P的运动时间为x（），的面积为，y与x的函数图象如图②所示．的长为（ ） A．cm B．3cm C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．若分式有意义，则的取值范围是______． 14．若正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是__________． 15．如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，若A，C两点间的距离是2，B，D两点间的距离是，则四边形的面积是__________． 16．定义：如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的相伴方程．若方程、都是关于的不等式组的相伴方程，则的取值范围为_______． 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题12分，18-22题每题10分，23-25题每题12分。 17．（1）解方程： （2）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 18．先化简，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 19．如图，为的角平分线，点E，F分别在，上，且，连接交于点O． (1)求证：． (2)求证：垂直平分． 20．如图，为内一点，，，将线段绕着点顺时针旋转能与线段重合，连接． (1)求证：； (2)若，求的度数． 21．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)将平移后，点的对应点的坐标为，点，的对应点分别为点，，画出； (2)将绕原点顺时针旋转得到，画出； (3)已知点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为 ． 22．如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求的长 23．内蒙古自治区依托“光伏治沙+草原特色产业”双轮驱动模式，推动乡村振兴．某光伏企业配套帮扶当地乳制品加工厂，计划采购一批自动化发酵设备用于提升乳制品产能．已知1台A型发酵设备的费用比1台B型发酵设备的费用少4万元，用36万元采购A型设备的数量与用48万元采购B型设备的数量相等． (1)求每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是多少万元？ (2)该乳制品加工厂计划用不超过136万元采购A、B两种型号的设备共10台，其中A型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.2万元；B型设备每台每月可为该乳制品加工厂创收利润1.8万元．设采购A型设备台，每月总获利为万元，求的最大值． 24．代数推理是通过观察数与数之间、数与式之间的内在联系，利用数学的基本性质和运算法则进行推理或证明的过程．代数推理包括演绎推理与合情推理，其中合情推理包括归纳推理与类比推理． (1)求证：两个连续奇数的平方差能被8整除； (2)如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”．如，，，，……，3，5，7，8就是“智慧数． ①9 “智慧数”（填“是”或“不是”），写出判断的理由； ②将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少？说明理由． 25．【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A C B D D D B C D C C 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．． 14．9 15． 16.2≤m＜4 三、解答题：本题共9小题，共98分。其中：17每题12分，18-22题每题10分，23-25题每题12分。 17． 【详解】解：（1）解：， ， ，（1分） ，（2分） ，（3分） ．（4分） 检验：当时，，（5分） 所以是原分式方程的解．（6分） （2）， 解不等式①得：，（2分） 解不等式②得：， （2分） 将解集表示在数轴上，如图所示： （5分） 所以原不等式组的解集为．（6分） 18． 【详解】解： （2分） （4分） ，（6分） 根据分式有意义的条件可知且，（8分） 代入，原式．（10分） 19． 【详解】（1）证明：∵为的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴；（5分） （2）证明：由（1）知：， ∴， ∴垂直平分．（10分） 20． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴，（4分） ∴；（5分） （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的度数为．（10分） 21． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴图形是向右平移6个单位长度，向下平移3个单位长度， 则如图所示：（4分） （2）解：如图所示：（8分） （3）解：由（2）得出， ∵点与点关于原点成中心对称， 则点的坐标为，（10分） 22． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形；（5分） （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ．（10分） 23． 【详解】（1）解：设每台A型发酵设备的采购费用为万元，则每台B型发酵设备的采购费用为万元． 根据题意得：，（2分） 解得（3分） 检验：当时，，所以是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴每台B型发酵设备的采购费用（万元） 答：每台A型和B型发酵设备的采购费用分别是12万元和16万元．（5分） （2）解：根据题意得：，（8分） 解得，（9分） 由实际意义设备数量为非负整数，即：， ∴， ∴的取值范围是：（为整数）， 由题意知：，（10分） ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，， 答：w的最大值为14.4万元．（12分） 24． 【详解】（1）解：设两个连续奇数分别为，，其中m为正整数， 两个连续奇数的平方差为 ， ∵m为正整数， ∴能被8整除， ∴两个连续奇数的平方差能被8整除；（3分） （2）解：①∵，∴， ∴； ∴9是“智慧数”， 故答案为：是；（6分） ②设两个数分别为，k，其中，且k为整数． 则． 设两个数分别为和，其中，且k为整数． 则，时，， ∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数． ∴（且k为整数）均为智慧数； 除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数； 这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下： ∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得， ∴， ∵和这两个数的奇偶性相同， ∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可得左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数． ∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数， ∵， ∴第2025个智慧数在（组），并且是第2个数，即． 将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是2703．（12分） 25． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ．（4分） （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ．（8分） （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8．（12分） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ ( 11 ) 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 ( 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 ．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 姓 名： __________________________ 准考证号： )答题卡 ( 一、 单项 选择题：本题共 1 2 小题，每小题 3 分，共 3 6 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 1 2 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、填空题：本题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分。 1 3 . _____________ 1 4 . ___________ 1 5 . _________________ 1 6 . __________________ 三 、解答题：本题共 9 小题，共 98 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 1 7 .（ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18 ．（ 10 分） 19 ．（ 10 分） 2 0 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ．（ 10 分） （ 1） 2 2 ．（ 10 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 3 ．（ 1 2 分） 2 4 ．（1 2 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 5 ．（ 1 2 分） （ 1） ) 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 =。===。=●一一==-===-====。一=-。=。= 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 11.[A][B][C][D] 4.A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 12.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13 15. 16 三、解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(12分) -4-3-2-1012345> 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(10分) 19. (10分) E B D 20.(10分) E D B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) (1) y不 5 4 B 2 -6-5-4=32-1 23456x 22.(10分) D B C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 24.(12分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25.(12分) A E B D CF B 图1 图2 图3 (1) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！