命题大赛 四川泸州市2025-2026学年高一下学期数学期末模拟预测数学试题

**基本信息** 泸州市高一下期期末模拟数学试题，通过原创与改编题结合《九章算术》文化素材（圆锥与球表面积比）、空间几何（八面体体积与线面角）及函数综合应用，考查抽象能力、空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、三角函数图像、解三角形、立体几何（正三棱柱异面直线角）|第7题以《九章算术》为背景，融合几何体表面积计算，体现文化传承| |填空题|3题/15分|三角恒等变换、函数周期性与奇偶性、解三角形（三等分点最值）|原创题（12、13题）考查运算能力与抽象思维，如周期奇函数求值| |解答题|5题/77分|三角函数性质、立体几何（面面垂直证明、线面平行找点）、函数中心对称|18题分层设计证明、找点、求线面角，19题结合中心对称证明与存在性问题，梯度分明|

泸州市高2025级高一下期期末模拟预测试题 数学参考答案 一.单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D B A D C C 二多选题 题号 9 10 11 答案 ACD AB BCD 三.填空题 2号 1a.日 14.s 3 14题详解一：设AC=x,则AB=2x,在△4BC中，BC=3,则2x+x>3且2x-x<3,1<x<3, 由D为BC边上靠近B的三等分点，BC=3,得BD=L,DC=2, 在△ABD中，由余弦定理得coS∠ADB=4D+1-(2, 2AD 在eACD申，由余弦定理得cos乙ADC0→而乙4ADB+∠ADC= 则4D+1-4批+4D+4-C-0,解得AD=3r-2, 2AD 4AD 于是cs∠ADC-3r-2+4-x2.2+1 4V3x2-22V3(x2+1)-5 ,1<x<3, 令x2+1=1∈(2,10)，cos∠ADC= t-1.3t-5)+5、12V3-5)-5V5 2√3t-56V3t-56V31-5 3 当且仅当1-5=5，即1=号时取等号，所以c0s∠40C的最小值为5故答案为：5 5.解：D2r3x+≤+2kr空3红≤6+}akZ0 42 …5分 (2)由题设得：sin(a+)=4coe 4=scos(g+)Cos2a,············. ……7分 4 即sina+cosa=4(cosa--sinaYcosa--sina)(sina+cosa）,.… …9分 5 若sina+cosa=0,则cosa-sina=-√2… …12分 若sna+cosa0,则1-（cosa-sina)P→cose-sna=- 0…15分 2 16.解：1)由题可知P为A8C的重心，则D-号-B+C… …2分 3 所以-a+C-正+2c+c）9+18+1回-9 …5分 1 所以al=59 ………6分 3 (2)因为N为AC的中点，所以BN=AN-AB=AC-AB.… …7分 又丽=6+4C, 所以.BN-6+4C)4C-6 ……………8分 4cc6-6 =x12-x9-9 32 、 2 ……9分 AC-AB =5 0……11分 5 所以cos(AP,BN)= AP.BN 2 5V13 AP·BN、 26 …13分 3 又LMPN与(AP,BN)的夹角相等， 所以cos∠MPV=-5,所以∠MPN的余弦值为.5色 …15分 26 26 17.解：(1)根据正弦定理，设0=6=c =2r(2红>0).…2分 sin A sin B sinC 则a=2 rsinA,b=2 rsinB,c=2 rsin C.… …3分 代入osA,osB_smC中变形可得： a sin Asin B=sinAcos B+cos Asin B=sin(A+B).……………5 分 在△ABC中，由A+B+C=元，有sin(A+B)=sin(元-C)="sin"C…6分 所以sin Asin B=SinC.……………7分 (2)由已知，b2+c2-a-bc,根据余弦定理，有cosA-+c-心-3 5 2be 分 所以sinA=-cos2A 4 ……1门分 由(1)，sin Asin B="sin"Acos B+cos Asin B,所以sinB= 5 cos B+ 功B…132 故tanB=nb=4.…. …15分 cos B 18.()证明：由题意得：4D∥BC ·BC文平面PAD,ADS平面PAD BC∥平面PD…2分 又：平面PAD∩平面PBC=I 1∥BC…4分 (2)在梯形ABCD中，AB与CD不平行. 延长AB,DC,相交于点M(M∈平面PAB),点M即为所求的一个点.·6分 理由如下：由己知，BCED,且BC=ED 所以四边形BCDE是平行四边形 从而CMEB. M 又EBc平面PBE,CM4平面PBE, B -C 所以CM平面PBE.… …9分 (3)方法一：由己知，CDLPA,CDLAD,PAO AD=A,所以CDL平面PAD.·10分 因为PA=AD所以∠PDA=45°.…11分 设BC=1,则在Rt△PAD中，PA=AD=2. 过点A作AHLCE,交CE的延长线于点H,连接PH. 易知PA⊥平面ABCD,从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH M 所以平面PCE⊥平面PAH. C D 过A作AQ⊥PH于Q,则AQ⊥平面PCE. H 所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.… ……14分 在Rt△AEH中，∠AEH=45,AE-=1,所以AH=V2 …………15分 在R△PAH中，PH-VPA+AH=35,所以sim∠APH=- …17分 2 PH 3 解法二：等体积法：设点A到平面PCE的距离为d,则： 设BC=CD=0,则：CE=V2a,PE=5a,PC=310分 oPCCPC0PEC ………12分 2ECEP 10 10 SAPEC= 1EP.EC sin ZPEC 3………13分 2 由Vn-ACE=VA-PEc可得：SAACE·PA=SAPEC·d …14分 .d-SacE -PA_2xx1x2 1 2 3 ……16分 SAPEC 3 ∴.sin0= …17分 19.解：1)由题意可得2+>0，即2+2->0，即-2<x<2,… ……1分 2-x -+f=r+1-2++1-h-2-经 ………3分 2+x 2-x 故∫x)关于(0,1中心对称；…………………4分 2+x-X-2+4=4-10,1,…6分 (2)当-2<x<0时，2-x2-x2-x 则f对-1=ax-n2+=x-1n2+x>x-lnl=ar>0,…8分 2-x 2-x 故当-2<x<0时，∫(x>1;…………9分 (3)当x∈(0,1时，y=ax单调递减，y 2+x=-2+44-1单调递增…10分 2-x2-x2-x 则f(x单调递减，又f(x关于(0，中心对称，故f(x)在[-1,1上单调递减…11分 则f(xx=f(-l=-a+l-l 2-=1+ln3-a… 2+1 …12分 当x∈-l,1,令1=2∈ 则gy=2°+2+2a=1++2a, 由对勾函数性质可得弱数y=1+在上单调递诚，在，2上单谓遍增…14分 又当1-，=2兮当1=2时，-238-42a…15阶 有1+n3-a+2a恒成立，即a2如3，最3于 数h3_≤a<0.…17分 泸州市高2025级高一下期期末模拟预测 数学试题考点细目表 各题考查的知识点及分值 题号 知识点 题型 分值 难度系数 难度层次 1 集合的交集运算 单选题 5 0.90 基础题 2 复数的运算 单选题 5 0.90 基础题 3 三角函数图像平移 单选题 5 0.90 基础题 4 余弦定理 单选题 5 0.80 基础题 5 直线与直线，直线与平面位置关系 单选题 5 0.80 基础题 6 异面直线所成角 单选题 5 0.70 中档题 7 简单几何体的体积 单选题 5 0.70 中档题 8 正弦函数图像综合 单选题 5 0.40 较难题 9 平面向量的基础知识 多选题 6 0.75 基础题 10 正弦定理与余弦定理 多选题 6 0.60 中档题 11 多面体的综合题 多选题 6 0.35 难题 12 正切函数诱导公式与余弦函数二倍角公式 填空题 5 0.80 基础题 13 函数的奇偶性与周期性 填空题 5 0.60 中档题 14 解三角形的综合题 填空题 5 0.20 难题 15 三角函数单调性与三角恒等变形 解答题 13 0.65 中档题 16 平面向量在平面几何中应用 解答题 15 0.60 中档题 17 正弦定理余弦定理和三角形面积 解答题 15 0.58 中档题 18 立体几何综合题，主要考察线面平行性质定理，判定定理和线面角的计算。 解答题 17 0.42 较难题 19 函数对称性探究，复合函数单调性探究，存在性问题与恒成立问题的探究 解答题 17 0.30 难题 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 泸州市高2025级高一下期期末模拟预测试题 数 学 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，集合为整数集，则 A． B． C． D． 2．设复数，则 A． B． C． D． 3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点6题图 A．向右平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向左平行移动个单位长度 4．在中，角，，的对边分别为，，.若，，，则为 A．1 B．2 C．3 D．1或2 5．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 6．如图所示，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为 A． B． C． D． 7．据《九章算术》记载，我国匠人常需计算不同几何体表面积或体积的比例以优化用料，例如，制作圆锥形与球形装饰物时，需比较两者的表面积以确定所需涂漆或覆盖材料的用量．若圆锥的底面直径和母线都等于球的直径，则圆锥与球的表面积之比为 A． B． C． D． 8．（改编）设函数在区间恰有三个最值点、两个零点，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（原创）下列关于向量的命题，错误的是 A． B．在边长为1的等边中， C．若，则 D．若，则向量的夹角是锐角 10．的内角的对边分别为，，，已知，，则 A． B． C．为锐角三角形 D．的最大值为 11．如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且四个顶点，，，在同一个平面内，若四边形 是边长为2的正方形，则 A．该八面体的表面积是 B．该八面体的体积是 C．直线与平面所成角为 D．动点在该八面体的外接球面上，且，则点的轨迹的周长为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（原创）已知，则__________. 13．（原创）设是定义在R上的周期为2的奇函数，当时，，则__________. 14．在中，，，为边上靠近的三等分点，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）若是第二象限角，，求的值. 16．如图，在中，已知，，，且，边上的两条中线，相交于点.  (1)求；(2)求的余弦值. 17．在△ABC中，角，，所对的边分别是，，，且. （1）证明：； （2）若，求. 18．（改编）如图，在四棱锥中，，，．为棱的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°. (1)平面平面，求证：； (2)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由； (3)若，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 19．已知函数，其中. (1)（改编）证明：函数的图象关于点成中心对称图形； (2)设，证明：； (3)令，若，使得，求的取值范围. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $