精品解析：天津市滨海新区塘沽第一中学2026届高三下学期考前自测数学试题

塘沽一中2026届高三毕业班第三次模拟考试数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，则， 所以. 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数的单调性及分式不等式的解法解不等式，再结集合间的关系判断求解. 【详解】因为，， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件. 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性和复合函数的单调性求解. 【详解】从图像上看，的图像不关于轴对称， 选项A，是奇函数，对称轴为， 所以对称轴为， ，为单调递增函数，为单调递增函数， 则在上是单调递增函数，符合题意，故A正确； 选项B，，关于轴对称，不满足题意，故B错误； 选项C，，为单调递增函数，为单调递减函数， 则在上是单调递减函数，不符合题意，故C错误； 选项D，，不满足题意，故D错误； 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C. 已知，则 D. 根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 【答案】C 【解析】 【分析】逐一验证各选项对应的统计概念，找出计算或表述错误的选项． 【详解】对于A，该组数据共个，下四分位数即第25百分位数，位置为整数， 所以下四分位数为第2项与第3项的平均值，即，A正确． 对于B，残差公式为，代入观测值，预测值， 得残差为，B正确； 对于C，，由二项分布概率公式， 代入得，C错误。 对于D：由独立性检验原理，对应， 即推断两个分类变量有关联的犯错概率不大于，D正确． 5. 已知实数满足，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 6. 已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥，利用体积公式，求得，在利用球的截面圆的性质，求得，结合体积公式，求得外接球的体积为，进而得到答案. 【详解】由多面体可以看成是以为顶点，以为底面的四棱锥， 其中为矩形，且， 因为面，且平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面，即三棱锥的高为， 在直角中，因为，可得， 所以多面体的体积为， 因为平面，且四边形是矩形，所以平面，且， 所以和是垂直于底面的两条平行线段， 该几何体的外接球球心底面上的射影是的外心， 球心到底面的距离等于和长度平均值的一半， 因为，所以， 在直角中，斜边为，所以外心是斜边的中点， 底面外接圆半径为， 设外接球的半径为，可得， 所以外接球的体积为， 所以多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为. 7. 设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据等差数列的通项公式求出的通项，得到与的递推关系，再利用推导数列的通项公式，最后逐一验证各选项即可. 【详解】∵ ，∴ ，可得的首项为. 又∵ 是公差为的等差数列， ∴ ，即 ①. 当时， ②. ①-②得，， 移项整理得，即. ∴ 当时，. 当时，满足上式，故. 对各选项逐一判断： 对于A选项，，故A错误. 对于B选项，由等差数列前项和公式得，而，显然，故B错误. 对于C选项，，故C正确. 对于D选项，∵ ， ∴ ，故D错误. 8. 若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正弦函数的性质结合题设条件列出关于的方程组，求解并利用单调性确定的值，再根据各选项要求，利用函数奇偶性定义，函数与方程思想等判断即得. 【详解】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线准线过双曲线左焦点得出与的关系，再利用向量关系得到线段长度关系，结合双曲线的性质求出方程即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意得抛物线的准线方程为， 双曲线的左焦点（其中）， 抛物线的准线经过双曲线的左焦点，故，即， 已知，移项可得，即， 即，则， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离 在中，， 由勾股定理可得， 过作轴于点，则， 由相似三角形的性质可得， 即，所以， 则点的横坐标为，纵坐标的绝对值为， 因为点在抛物线上，且， 所以，即， 整理得，因此，则， 在本题中，，则，， 则双曲线方程为，故D正确. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算复数的模、化简分母，再通过分母有理化求得，进而得到其共轭复数，最终确定共轭复数的虚部 【详解】； 又，因此； 则  因此； 故的虚部为. 11. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为_____________． 【答案】 60 【解析】 【详解】由题意得，解得. . 令，解得， 因此系数为. 12. 已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出切线方程，再将切线方程与抛物线联立求出点M的坐标，进而可以得到的值，从而能够得到焦点的坐标. 【详解】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为 设过原点的直线方程为，该直线与圆相切，即圆心到直线的距离等于半径 ，解得，. 所以直线方程为 将直线方程与抛物线方程联立有， 所以由抛物线定义可知， 解得，. 所以焦点的坐标为. 13. 已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一问考查条件概率的计算，可先分别计算“2人至少有1名男生”的概率和“2人为1男1女”的概率，再代入条件概率公式求解. 第二问考查全概率公式的应用，需先对从甲社团选出的2人的性别构成进行分类，分别计算每类情况对应的概率及后续从乙社团选到男生的概率，再求和得到最终结果. 【详解】(1) 记事件为“从甲社团选出的2人中至少有1名男生”，事件为“从甲社团选出的2人为1男1女”，所求概率为. 甲社团共6人，从6人中任选2人的总选法有种. ∵ 2人全为女生的选法有种， ∴ . ∵ 2人为1男1女的选法有种， ∴ . 由条件概率公式得 . (2) 设从甲社团选出的2人中男生人数为，的可能取值为0,1,2. ∵ ，此时乙社团有男生3人，总人数人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为； ，此时乙社团有男生人，总人数7人，从乙选到男生的概率为. 由全概率公式得，最终选到男生的概率 . 14. 已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】取定平面向量的一个基底，利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】在中，由， 得， 设，则， 得到， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 则，如图，作出符合题意的图形， 设，， 且得到， ， 当且仅当时取等号，所以的取值范围为. 15. 已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，同角三角函数的关系，及两角和的正弦公式即可求解； （2）（ⅰ）结合（1）及正弦定理得到的值，再结合题意及余弦定理得到的值，进而根据三角形的面积公式即可求解； （ⅱ）结合（ⅰ）及题意即可得到，的值，再根据正弦定理即可得到，从而得到，再根据二倍角公式得到，，进而根据两角和的正弦公式即可求解的值． 【小问1详解】 因为， 则由正弦定理有， 在中，有，且， 则，则， 即，即，解得． 【小问2详解】 （ⅰ）结合（1），由正弦定理有，即，解得， 又周长为，即，所以， 由余弦定理有， 即，解得， 所以的面积为． （ⅱ）由，结合（ⅰ），有，解得，或（舍去）， 结合（1），则由正弦定理有， 解得， 又在中，有，且，则， 则， ， 所以． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 【答案】（1）取的中点，连接，， 由条件可得为的中位线，即， 又平面，平面，故平面， 由题意可知四边形是直角梯形，且， 则，，即四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面，故平面， 而，平面，所以平面平面， 由平面，显然平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）构造面面平行即可证线面平行； （2）结合（1）找出直线与直线所成的角，再根据勾股定理，及余弦定理即可求解； （3）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用线面角的向量法即可确定的位置，进而根据等积法即可求出三棱锥的体积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，直线与直线所成角为， 又平面平面，平面平面，且，则平面， 又平面，则， 又，， 所以，，， 则在中，由余弦定理有， 所以直线与直线所成角的余弦值为． 【小问3详解】 连接，， 结合（1），（2）有是正方形，则，且， 又底面，则底面， 又，则，所以， 所以以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如下图空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 又线段上存在一点，则设， 则，所以， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，，即， 设直线与平面所成的角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以是线段的中点， 所以． 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； （3）过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）因为，设直线方程为，代入椭圆方程可得， 设，则，所以中点的纵坐标， 所以，即， 所以所在直线方程为，令，可得，即， 假设在轴上存在一定点满足题意，则， 所以恒成立，则需，解得， 即轴上存在定点，使得以为直径的圆恒过点. 【解析】 【分析】（1）根据离心率及通径长求出即可得解； （2）设，利用点到直线的距离求三角形面积，再由正弦型三角函数的性质求最值即可； （3）设直线方程为，求出点坐标，再由交点求出点坐标，假设存在满足题意，则恒成立，据此求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 由代入，可得，， 所以椭圆的通径长为，即， 由可得，解得， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， 直线所在直线方程为，即 设， 设点到直线的距离为，则， 所以， 当时，有最大值. 【小问3详解】 略 19. 已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； （3）若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出的公差，的公比，结合等差数列与等比数列性质计算即可得； （2）由题意计算可得，再利用分组求和思想与错位相减法，分奇偶讨论并计算即可得解； （3）由题意可得当时，，再结合（2）中所得即可得解. 【小问1详解】 设的公差为，的公比为， 则，又，解得， 故，； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 当时，， 故 ， 则 ， 令， 则， 故 ， 故， 当为奇数时，， 则； 当为偶数时，， 则； 综上可得：； 【小问3详解】 由，且， 故当时，，当时，， 又，故当时，，当时，， 当时，，，当时，，， 则 ， 由（2）得， 则， 即. 20. 已知，，，函数． （1）当，时，在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）当时，若函数在上的最大值为． （ⅰ）求的值，并证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 【答案】（1） （2）（ⅰ），证明当时，如下： 由，，则， 要证，只需证， 即只需证当时，， 令，则， 令，则在上恒成立， 故在上单调递增，又， 故在上恒成立，故在单调递增， 则，即在时恒成立，即得证； （ⅱ）由（ⅰ）得当时，， 故当，得，进而，依次得，， 要证，即证，即证， 下面先证关系，即证，， 即证，整理得即证：， 记，，得， 令，则， 所以在上单调递增，有， 所以在上单调递增，得， 故当，有，所以， 故， 又，得，所以，即得证． 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算可得，构造函数，结合导数计算可得其单调性即可得其最值，从而可解出； （2）（ⅰ）求导后，结合函数单调性与极值、最值的关系，分、、与进行讨论即可得的值；再利用的值及的值可将证明转化为证明，构造相应函数，并借助导数计算即可得证；（ⅱ）将证明转化为证明，先构造函数，利用导数结合题目所给条件证明，即可得，再利用，即可得证. 【小问1详解】 当，时，，则， 则，由在点处的切线与直线垂直， 则，即， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则； 【小问2详解】 （ⅰ）， 若，则恒成立，故在上单调递增， 则有， 与在上的最大值为矛盾，不符合题意； 若，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 若，即时，在上单调递减， 则在上的最大值为， 则，由，故不符合题意； 若，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则在上的最大值为， 即，由随的增大而增大， 则， 故无解，不符合题意； 若，即时，在上单调递增， 则在上的最大值为，解得； 综上所述：； 证明略； （ⅱ）略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽一中2026届高三毕业班第三次模拟考试数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至7页． 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分． 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：，：，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中不正确的是（ ） A. 一组数据的下四分位数为 B. 根据线性回归方程得到预测值为时的观测值为，则残差为 C. 已知，则 D. 根据列联表中的数据计算得出，而，则“两个分类变量有关联”此推断犯错误的概率不大于 5. 已知实数满足，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知多面体，面，四边形为矩形，，且，则多面体外接球的体积与此多面体的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项和，已知，是公差为的等差数列，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（ ） ①； ②； ③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 已知抛物线：的准线经过双曲线：（，）的左焦点，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为点，延长与抛物线相交于点，若（为坐标原点），则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分． 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10. 已知复数（是虚数单位），则复数的共轭复数的虚部为_____________． 11. 已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为_____________． 12. 已知圆：，过原点的一条直线与圆相切，且与焦点为的抛物线交于异于原点的点，若，则焦点的坐标为_____________． 13. 已知塘沽一中甲社团有4个男生和2个女生，乙社团有3个男生和2个女生，若从甲社团中任选2人，则这2人中有一个为男生的条件下，另一个为女生的概率_____________；若先从甲社团任选2人，加入乙社团，再从乙社团任选1人，则选出的这个人是男生的概率为_____________． 14. 已知平行四边形的两条对角线相交于，，，，点在线段上且满足，则_____________；若点是线段上的动点，的范围为_____________． 15. 已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角的大小； （2）若周长为，外接圆半径为． （ⅰ）求的面积； （ⅱ）若，求的值． 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，点为的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与直线所成角的余弦值； （3）若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积． 18. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，离心率为，左顶点为，下顶点为，过点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，且所得弦长为． （1）求椭圆的方程； （2）若点是椭圆上在第一象限内的一个动点，求三角形面积的最大值； （3）过且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，线段的中点为，连接并延长交直线于点．试探究：在轴上是否存在一定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知为等差数列，为公比不是1等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）设数列满足：当时，；当时，，其中．求数列的前项和； （3）若数列满足，且，定义，其中表示集合中最小的数．若，求． 20. 已知，，，函数． （1）当，时，在点处的切线与直线垂直，求的值； （2）当时，若函数在上的最大值为． （ⅰ）求的值，并证明：当时，； （ⅱ）若数列满足：，，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $