专题05 概率 期末专题复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题05 概率 题型1 样本点与样本空间 题型2 随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件 题型3 事件的并事件(和事件) 题型4 事件的交事件(积事件) 题型5 事件的互斥(互不相容)及互斥事件 题型6 事件的互为对立及对立事件 题型7 概率及有包含关系的事件的概率 题型8 互斥事件的概率加法公式 题型9 对立事件的概率关系及计算 题型10 并事件积事件的概率关系及计算 题型11 概率的应用 题型12 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立 题型13 相互独立事件的概率乘法公式 题型14 频率及频率的稳定性 题型15 模拟方法估计概率 【知识点1 有限样本空间与事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点2 古典概型与概率的基本性质】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【知识点3 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【知识点4 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识点5 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 一．样本点与样本空间（共4小题） 1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 （多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　） A．1000名运动员是总体 B．每名运动员的年龄是个体 C．样本容量为100 D．所抽取的100名运动员的年龄是样本 4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数． （1）写出该试验的样本空间； （2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示． 二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题） 5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件 6．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　） A．A为必然事件 B．A＝B+C C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件 （多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　） A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 三．事件的并事件（和事件）（共2小题） （多选）8．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　） A．P（A）＝2P（B） B． C．事件C与D互斥 D． （多选）9．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　） A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件 四．事件的交事件（积事件）（共1小题） 10．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共2小题） 11．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 12．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 六．事件的互为对立及对立事件（共2小题） 13．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 14．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　） A．事件C与事件D互斥 B． C．事件A与事件B对立 D． 七．概率及有包含关系的事件的概率（共2小题） 15．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（　　） A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B） B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D．P（A）+P（B）≤1 16．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是（　　） ①A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件； ②A1+A2+A3是必然事件； ③P（A2+A3）＝0.8； ④P（A1+A2）≤0.5． A．0 B．1 C．2 D．3 八．互斥事件的概率加法公式（共2小题） 17．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　） A． B． C． D． 18．已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 九．对立事件的概率关系及计算（共2小题） 19．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　） A．事件A与事件B1是互斥事件 B．事件B1与事件B2是相互对立事件 C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2） D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2） 20．对于随机事件，下列说法错误的是（　　） A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B） B．如果事件A与事件B满足A⊆B，那么P（A）≤P（B） C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立 十．并事件积事件的概率关系及计算（共2小题） 21．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　） A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88 22．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． 十一．概率的应用（共3小题） 23．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 24．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　） A． B．P（A∪B）＝0.7 C． D． 25．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　） A．28% B．32% C．35% D．40% 十二．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性（共3小题） 26．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 27．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 28．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立 D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）且A，B，C两两相互独立 十三．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题） 29．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（　　） A． B． C． D． 30．甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（　　） A． B． C． D． 31．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　） A．事件A与B一定是对立事件 B．P（A∪B）＝1 C．P（AB）＝0.24 D．若事件A、B相互独立，则 十四．频率及频率的稳定性（共2小题） 32．下列说法错误的是（　　） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 33．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重（单位：克）的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78），[78，80），⋯，[84，86]．若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（　　） A．110 B．140 C．150 D．90 十五．模拟方法估计概率（共3小题） 34．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 35．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 36．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 概率 题型1 样本点与样本空间 题型2 随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件 题型3 事件的并事件(和事件) 题型4 事件的交事件(积事件) 题型5 事件的互斥(互不相容)及互斥事件 题型6 事件的互为对立及对立事件 题型7 概率及有包含关系的事件的概率 题型8 互斥事件的概率加法公式 题型9 对立事件的概率关系及计算 题型10 并事件积事件的概率关系及计算 题型11 概率的应用 题型12 由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立 题型13 相互独立事件的概率乘法公式 题型14 频率及频率的稳定性 题型15 模拟方法估计概率 【知识点1 有限样本空间与事件】 1．有限样本空间 (1)随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.我们感兴趣的是具 有以下特点的随机试验： ①试验可以在相同条件下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. (2)有限样本空间 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间. 一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果， 则称样本空间Ω={}为有限样本空间. 2．事件 (1)随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便，我们 将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.随机事件一般用大写字母A，B，C，···表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生. (2)必然事件 A作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件. (3)不可能事件 空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件. 3．事件的关系和运算 (1)两个事件的关系和运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含 A发生导致B发生 并事件 （和事件） A与B至少一个发生 或 交事件 （积事件） A与B同时发生 或 互斥 （互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， (2)多个事件的和事件、积事件 类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A，B，C，···，A∪B∪C∪··· (或 A+B+C+···)发生当且仅当A，B，C，···中至少一个发生，A∩B∩C∩··· (或ABC···)发生当且仅当A，B，C，···同时发生. 4．样本空间中样本点的求法 (1)列举法 列举法也称枚举法.对于一些情境比较简单，样本点个数不是很多的概率问题，计算时只需一一列举， 即可得出随机事件所包含的样本点.注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏. (2)列表法 对于样本点个数不是太多的情况，可以采用列表法.通常把对问题的思考分析归结为“有序实数对”，以 便更直接地得到样本点个数.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法. (3)树状图法 树状图法适用于按顺序排列的较复杂问题中样本点个数的求解，是一种常用的方法. 5．用集合观点看事件间的关系 符号 概率角度 集合角度 Ω 必然事件 全集 ∅ 不可能事件 空集 ω 试验的可能结果 Ω中的元素 A 事件 Ω的子集 的对立事件 A的补集 事件A包含于事件B 集合A是集合B的子集 事件A等于事件B 集合A等于集合B 或 事件A与事件B的并（和）事件 集合A与B的并集 或 事件A与事件B的交（积）事件 集合A与B的交集 事件A与事件B互斥 集合A与B的交集为空集 ，且 事件A与事件B对立 集合A与B互为补集 【知识点2 古典概型与概率的基本性质】 1．古典概型 (1)事件的概率 对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示. (2)古典概型的定义 我们将具有以下两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. (3)古典概型的判断标准 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性.并不是所 有的试验都是古典概型. 下列三类试验都不是古典概型： ①样本点(基本事件)个数有限，但非等可能; ②样本点(基本事件)个数无限，但等可能； ③样本点(基本事件)个数无限，也不等可能. 2．古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间A包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义 事件A的概率P(A)==，其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数. 3．求样本空间中样本点个数的方法 (1)枚举法：适合于给定的样本点个数较少且易一一列举出的问题. (2)树状图法：适合于较为复杂的问题，注意在确定样本点时(x, y)可看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同， 有时也可看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同. 4．概率的基本性质 性质1 对任意的事件A，都有P（A）≥0. 性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）= 1，P(∅)=0. 性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P（）=P（A）＋P（B）. 推广：如果事件A1，A2，···，Am．两两互斥，那么事件发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和，即P（）=P(A1)+P(A2)+···+P(Am). 性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）=P（A）， P(A)=P(B). 性质5 如果，那么P（A）≤P（B）. 性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P（）=P（A）＋P（B）. 【知识点3 事件的相互独立性】 1．事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈N*)个事件的相互独立性，即若事件A1，A2，···，An相互独立，则这n个事件同时发生的概率P(A1A2···An)=P(A1)P(A2)···P(An). 2．互斥事件与相互独立事件的辨析 (1)互斥事件与相互独立事件都描述的是两个事件间的关系，但互斥事件强调不可能同时发生，相互独立事件则强调一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.用表格表示如下： 相互独立事件 互斥事件 判断方法 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响. 两个事件不可能同时发生，即AB=∅. 概率公式 若事件A与B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B). 若事件A与B互斥，则P（A∪B）=P（A）+P（B），反之不成立. (2)已知事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率（A，B互斥） 概率（A，B相互独立） A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 或 P(A)+P(B) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 [P(A)+P(B)] A，B恰有一个发生 P(A)+P(B) A，B中至多有一个发生 1 P(A)P(B) 3．求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算. 【知识点4 频率的稳定性】 1．频率与概率 (1)频率与概率的区别 频率 本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率也可能会不同. 概率 本身是一个在[0,1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变. 举例辨析 例如，在相同条件下掷一枚质地均匀的硬币1000次，出现正面向上的次数是521，则正面向上的频率f1000（正面向上），而正面向上的概率P（正面向上），它是一个客观常数， (2)频率的特点 随机事件在一次试验中是否发生具有不确定性，但是，在相同条件下的大量重复试验中，它发生的频 率有以下特点. ①在某次随机试验中，事件A发生的频率是一个变量，事先是无法确定的.但在大量重复试验后，它又 具有稳定性，即频率在某个“常数”附近摆动，并且随着试验次数的增加，摆动的幅度具有越来越小的趋势. ②有时候试验也可能出现频率偏离“常数”较大的情况，但是随着试验次数的增加，频率偏离“常数”的可 能性会减小. ③个别随机事件在一次试验中可能出现也可能不出现，但在大量试验中，它出现的次数与总试验次数 之比常常是比较稳定的.这种现象称为频率的稳定性，是随机事件内在规律性的反映. (3)频率的稳定性(用频率估计概率) 大量试验表明，在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地，随着 试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率会逐渐稳定于事件A发生 的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此，我们可以用频率估计概率P(A). 2．生活中的概率 (1)游戏的公平性 在各类游戏中，如果每个游戏参与者获胜的概率相等，那么游戏是公平的.例如，在体育比赛中，裁判 员用抽签器决定两个运动员谁先发球，两个运动员获得发球权的概率均为0.5，所以这个规则是公平的. (2)天气预报的概率解释 天气预报是气象专家依据气象观测资料和气象学理论以及专家们的实际经验，经过分析推断得到的.天 气预报的概率属于主观概率，这是因为在现有的条件下，不能对“天气”做多次重复试验，进行规律的总结，因此，在天气预报中所提及的概率和我们前面通过频率稳定性来定义的概率并不一样. 另外，天气预报中降水概率的大小只能说明降水的可能性大小，概率值越大，表示降水的可能性越大.在一次试验中“降水”这个事件是否发生仍然是随机的.例如，天气预报说“明天降水的概率为90%”，尽管明天下雨的可能性很大，但由于“明天下雨”是随机事件，因此明天仍然有可能不下雨. 【知识点5 随机模拟】 1．随机数的产生 (1)随机数的定义 随机数就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会相等. (2)产生随机数的方法 ①利用抽签法产生随机数 要产生1n(n∈)之间的随机整数，把n个大小、形状相同的小球分别标上1，2，3，，n放入一 个袋中，把它们充分搅拌，然后从中摸出一个球，这个球上的数就称为随机数. ②利用计算机或计算器产生伪随机数 计算机或计算器产生的随机数是依照确定算法产生的数，具有周期性(周期很长)，它们具有类似随机数 的性质.因此，计算机或计算器产生的并不是真正的随机数，我们称它们为伪随机数. (3)用随机模拟法估计概率 ①随机模拟法产生的必要性 用频率估计概率时，需做大量的重复试验，费时费力，并且有些试验具有破坏性，有些试验无法进行， 因而随机模拟试验就成为一种重要的方法，它可以在短时间内多次重复. ②随机模拟法估计概率的思想 随机模拟法是通过将一次试验所有可能发生的结果数字化，用计算机或计算器产生的随机数来替代每 次试验的结果.其基本思想是，用产生整数值的随机数的频率估计事件发生的概率. ③随机模拟法的优点 不需要对试验进行具体操作，是一种简单、实用的科研方法，可以广泛地应用到生产生活的各个领域 中去. ④随机模拟法的步骤 建立概率模型；进行模拟试验(可用计算器或计算机进行)；统计试验结果. 一．样本点与样本空间（共4小题） 1．已知某同学预定的闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间一共（　　） A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 【答案】C 【解答】解：闹钟每20分钟响一次，且该闹钟早上6点钟第一次响铃开始到早上8点10分期间不关闭，则该闹钟在此期间有6：00，6：20，6：40，7：00，7：20，7：40，8：00共7次． 故选：C． 2．已知一个古典概型试验中，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则事件A发生的概率为（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【解答】解：根据题意，样本空间包含10个样本点，事件A包含3个样本点，则． 故选：C． （多选）3．为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析．就这个问题，下列说法中正确的有（　　） A．1000名运动员是总体 B．每名运动员的年龄是个体 C．样本容量为100 D．所抽取的100名运动员的年龄是样本 【答案】BCD 【解答】解：为了了解参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中随机抽取了100名运动员的年龄进行统计分析， 则总体是1000名运动员的年龄情况，故A错误； 个体是每名运动员的年龄，故B正确； 样本容量为100，故C正确； 样本是所抽取的100名运动员的年龄，故D正确． 故选：BCD． 4．同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数． （1）写出该试验的样本空间； （2）指出{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件； （3）写出“点数之和不超过5”这一事件的集合表示． 【答案】（1）样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}； （2）事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”； （3）集合{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}． 【解答】解：（1）同时掷红、蓝两颗质地均匀的正方体骰子，用（x，y）表示结果，其中x表示红色骰子向上一面的点数，y表示蓝色骰子向上一面的点数， 则样本空间Ω＝{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}； （2）由题意可知，{（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6）}所表示的事件为“掷红、蓝两颗骰子，掷出的点数相同”； （3）由题意可知，事件“点数之和不超过5”，即x+y≤5， 用集合表示为：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（4，1）}． 二．随机事件、基本事件及必然事件、不可能事件（共3小题） 5．抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”，则下列结论中正确的是（　　） A．M是不可能事件 B．N是必然事件 C．M∩N是不可能事件 D．M∪N是必然事件 【答案】D 【解答】解：抛掷一枚质地均匀的骰子，设事件M＝“点数不大于2”，事件N＝“点数大于1”， 事件M是点数为1或2，事件N是点数是2，3，4，5或6，它们都是随机事件， M∩N是点为2，是随机事件，是可能发生的， M∪N是点数为1，2，3，4，5或6，一定会发生，是必然事件． 故选：D． 6．随机投掷一个4个面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记“向下的一面上的数字是1～4中的一个”为事件A，“向下的一面上的数字是偶数”为事件B，“向下的一面上的数字是奇数”为事件C，则下列说法中错误的是（　　） A．A为必然事件 B．A＝B+C C．B，C为对立事件 D．A，C为互斥事件 【答案】D 【解答】解：由题意知事件A包括：向下的面为1，2，3，4． 事件B包括：向下的面为2，4， 事件C包括：向下的面为1，3， 故事件A为必然事件，事件B、C为可能事件，故A正确； A＝B+C，故B正确； B，C为对立事件，故C正确； A，C不为互斥事件，故D错误． 故选：D． （多选）7．某同学参加3次不同测试，用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”，则下列说法正确的是（　　） A．J1∪J2表示前两次测试成绩中有且仅有一次及格 B．表示后两次测试成绩均不及格 C．J1∩J2∩J3表示三次测试成绩均及格 D．表示三次测试成绩均不及格 【答案】BCD 【解答】解：∵某同学参加3次不同测试， 用事件Ji（i＝1，2，3）表示随机事件“第i（i＝1，2，3）次测试成绩及格”， 则J1∪J2表示前两次测试成绩中至少有一次及格，故A错误； ∵J2∪J3表示第二次和第三次测试成绩中至少有一次及格， ∴表示后两次测试成绩均不及格，故B正确； J1∩J2∩J3表示J1、J2、J3同时发生， 即表示三次测试成绩均及格，故C正确； 表示测试成绩均不及格， ∴表示三次测试成绩均不及格，故D正确． 故选：BCD． 三．事件的并事件（和事件）（共2小题） （多选）8．甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签；乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签．现从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1；事件B：从乙袋中抽取号签5；事件C：抽取的两个号签和为4；事件D：抽取的两个号签编号不同，则下列说法正确的是（　　） A．P（A）＝2P（B） B． C．事件C与D互斥 D． 【答案】ABD 【解答】解：根甲、乙两个口袋中装有除了编号不同外其余完全相同的号签．其中甲袋中有编号为1，2，3的三个号签， 乙袋中有编号为1，2，3，4，5，6的六个号签， 从甲、乙两袋中各随机抽取1个号签，记事件A；从甲袋中抽取号签1， 事件B：从乙袋中抽取号签5， 事件C：抽取的两个号签和为4， 事件D：抽取的两个号签编号不同， 据题意，样本点有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （3，5），（3，6），共有18种可能的结果， 则，∴P（A）＝2P（B），故A正确； 事件C包含的样本点有（1，3），（3，1），（2，2），共3种可能的结果， 则，故B正确； 事件D包含的样本点有： （1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3）， （2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5）， （3，6）（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1）， （3，2），（3，4），（3，5），（3，6），共15种可能的结果， ∴事件C与D不互斥，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD． （多选）9．将一枚质地均匀的骰子抛掷两次，记事件A＝“第一次出现奇数点”，事件B＝“两次点数之积为偶数”，事件C＝“两次点数之和为5”，则（　　） A．事件A∪B是必然事件 B．事件A与事件B是互斥事件 C．事件B包含事件C D．事件A与事件C是相互独立事件 【答案】ACD 【解答】解：事件A的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， 事件B的基本事件有：（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，2），（3，4），（3，6）（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）， 事件C的基本事件有：（1，4），（4，1），（2，3），（3，2）， 事件AC的基本事件有：（1，4），（3，2）， A：事件A∪B是必然事件，故正确； B：因为A∩B≠∅，所以事件A与事件B不是互斥事件，故错误； C．因为C⊆B，所以事件B包含事件C，故正确； D．因为，，，所以 P（A）•P（C）＝P（AC）， 所以事件A与事件C是相互独立事件，故正确； 故选：ACD． 四．事件的交事件（积事件）（共1小题） 10．在试验E“从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和”中，事件A表示“这2个数的和大于4”，事件B表示“这2个数的和为偶数”，则A∪B和A∩B中包含的样本点数分别为（　　） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【解答】解：试验E的样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）}， 其中事件A中所含的样本点为（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共4个， 事件B中所含的样本点为（1，3），（2，4），共2个， 所以事件A∪B中所含的样本点为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共5个， 事件A∩B中所含的样本点为（2，4），共1个． 故选：C． 五．事件的互斥（互不相容）及互斥事件（共2小题） 11．投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2；事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数．则下列关于事件描述正确的是（　　） A．A与B是互斥事件 B．A与B是对立事件 C．A与C是独立事件 D．B与C是独立事件 【答案】C 【解答】解：投掷一枚均匀的骰子，事件A：点数大于2； 事件B：点数小于4；事件C：点数为偶数， A和B有公共事件：点数为3， ∴A和不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误； 事件AC表示点数为4或6， ，，， ∴P（AC）＝P（A）P（C），∴A与C是独立事件，故C正确； 事件BC表示点数为2，则，，， ∴P（BC）≠P（B）P（C）， ∴B与C不是独立事件，故D错误． 故选：C． 12．已知随机事件A和B互斥，A和C对立，且P（C）＝0.8，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【解答】解：根据题意，由A和C对立，可得P（A）+P（C）＝1， 又由P（C）＝0.8，则P（A）＝0.2， 又由随机事件A和B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5． 故选：D． 六．事件的互为对立及对立事件（共2小题） 13．从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，观察所抽取的正品件数与次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（　　） A．恰好有一件次品与全是次品 B．至少有一件次品与全是次品 C．至少有一件次品与全是正品 D．至少有一件正品与至少有一件次品 【答案】C 【解答】解：根据题意，从一堆产品（其中正品与次品均多于两件）中任取两件，其可能结果为：全是正品、全是次品、一件正品一件次品； 依次分析选项： 对于A，恰好有一件次品即为一件正品一件次品，所以恰好有一件次品与全是次品是互斥但不对立事件，不符合题意； 对于B，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是次品不是对立事件，不符合题意； 对于C，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品，所以至少有一件次品与全是正品是对立事件，符合题意； 对于D，至少有一件正品包含：全是正品、一件正品一件次品，至少有一件次品包含：全是次品、一件正品一件次品， 所以至少有一件正品与至少有一件次品有交集，不是对立事件，不符合题意． 故选：C． 14．新高考选科要求3+1+2，语数外+（物理、历史）二选一+（政治、地理、化学、生物）四选二．针对高一某同学的选科组合有如下事件，事件A“选物理”，事件B“选历史”，事件C“选化学”，事件D“选政治”，则下列正确的是（　　） A．事件C与事件D互斥 B． C．事件A与事件B对立 D． 【答案】C 【解答】解：由题意，用p表示选择物理，用h表示选择历史，用数字1，2，3，（4分）别表示选择政治，地理，化学，生物， 则样本空间Ω＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34，h12，h13，h14，h23，h24，h34}， 共有12个样本点，即n（Ω）＝12，且每个样本点是等可能发生的， ∴这是一个古典概型， 对于A，事件C∩D＝{p13，p23，p34，h13，h23，h34}，∴n（C）＝6， 则P（C），故B错误； 对于C，A＝{p12，p13，p14，p23，p24，p34}，B＝{h12，h13，h14，h23，h24，h34}， 则A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，∴事件A与事件B对立，故C正确； 对于D，CD＝{p13，h13}，则n（CD）＝2， ∴P（CD），故D错误． 故选：C． 七．概率及有包含关系的事件的概率（共2小题） 15．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（　　） A．事件A⊆B，则P（A）＜P（B） B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立 C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 D．P（A）+P（B）≤1 【答案】C 【解答】解：若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误； 若事件A、B互斥，则P（AB）＝0， 若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确； 若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误． 故选：C． 16．在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的个数是（　　） ①A1+A2与A3是互斥事件，也是对立事件； ②A1+A2+A3是必然事件； ③P（A2+A3）＝0.8； ④P（A1+A2）≤0.5． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解答】解：三个事件A1、A2、A3不一定是互斥事件 故P（A1+A2）≤0.5，P（A2+A3）≤0.8，P（A1+A2+A3）≤1 A1+A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件； 故④正确； 故选：B． 八．互斥事件的概率加法公式（共2小题） 17．已知事件A，B互斥，，且P（A）＝2P（B），则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：已知事件A，B互斥，， 则P（A）+P（B）， 又P（A）＝2P（B）， 则P（B）， 1． 故选：D． 18．已知事件A，B互斥，且P（A）＝0.2，P（B）＝0.3，则P（A∪B）＝（　　） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.9 【答案】B 【解答】解：根据题意，事件A，B互斥，则P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.2+0.3＝0.5． 故选：B． 九．对立事件的概率关系及计算（共2小题） 19．连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件A＝“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件Bi＝“第i次抛掷的结果为正面向上”（其中i＝1，2），则有（　　） A．事件A与事件B1是互斥事件 B．事件B1与事件B2是相互对立事件 C．P（A∪B1）＞P（B1∪B2） D．P（A∩B1）＝P（B1∩B2） 【答案】D 【解答】解：根据题意，连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，设正面用1表示，反面用2表示， 其样本空间Ω＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）、（2，2）}，共4个基本事件， 依次分析选项： 对于A，AB1＝{（1，1）}，事件A与事件B1可以同时发生，不是互斥事件，A错误； 对于B，B1∩B2＝{（1，1）}，事件B1与事件B2可以同时发生，不是对立事件，B错误； 对于C，A∪B1＝{（1，1），（1，2）}，则P（A∪B1）， B1∪B2＝{（1，1）、（1，2）、（2，1）}，则P（B1∪B2）， 则P（A∪B1）＜P（B1∪B2），C错误； 对于D，A∩B1＝B1∩B2＝{（1，1）}，故P（A∩B1）＝P（B1∩B2），D正确． 故选：D． 20．对于随机事件，下列说法错误的是（　　） A．如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（A）＝1﹣P（B） B．如果事件A与事件B满足A⊆B，那么P（A）≤P（B） C．如果A，B是一个随机试验中的两个事件，那么P（A∪B）＝P（A）+P（B） D．对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），那么事件A与事件B相互独立 【答案】C 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，由对立事件的性质，有P（A）＝1﹣P（B），A正确； 对于B，若A⊆B，必有P（A）≤P（B），B正确； 对于C，当事件A，B不互斥时，P（AB）＞0， 此时P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＜P（A）+P（B），C错误； 对于D，对任意两个事件A与B，如果P（AB）＝P（A）P（B），由对立事件的定义，事件A与事件B相互独立，D正确． 故选：C． 十．并事件积事件的概率关系及计算（共2小题） 21．假设P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立，则P（A∪B）＝（　　） A．0.12 B．0.58 C．0.7 D．0.88 【答案】B 【解答】解：P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，且A与B相互独立， 则P（AB）＝P（A）P（B）＝0.12， 故P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.3+0.4﹣0.12＝0.58． 故选：B． 22．甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路，设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”，且，，则P（A∪B）＝（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：甲、乙两个元件互相不影响，且构成一个并联电路， 设事件A＝“甲元件故障”，事件B＝“乙元件故障”， ∴事件A与B是相互独立事件， ∵P（A），， ∴P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）． 故选：A． 十一．概率的应用（共3小题） 23．有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为2%，4%，5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件个数分别占总数的20%，20%，60%，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（　　） A．0.036 B．0.040 C．0.042 D．0.048 【答案】C 【解答】解：根据题意，设事件Ai＝“零件为第i（i＝1，2，3）台车床加工”，事件B＝“零件为次品”， 则P（A1）＝20%，P（A2）＝20%，P（A3）＝60%， P（B|A1）＝2%，P（B|A2）＝4%，P（B|A3）＝5%， 则P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝20%×2%+20%×4%+60%×5%＝0.042， 即任取一个零件是次品的概率为0.042． 故选：C． 24．已知P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2，则下列结果正确的是（　　） A． B．P（A∪B）＝0.7 C． D． 【答案】B 【解答】解：根据题意，P（A）＝0.5，P（B）＝0.4，P（A∩B）＝0.2， 则有P（A∩B）＝P（A）P（B），则事件A、B相互独立， 依次分析选项： 对于A，事件A、B相互独立，则、B也相互独立，则P（B）＝（1﹣0.5）×0.4＝0.2， P（∪B）＝P（）+P（B）﹣P（∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，A错误； 对于B，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（A∩B）＝0.5+0.4﹣0.2＝0.7，B正确； 对于C，事件A、B相互独立，则A、也相互独立，则P（A∩）＝0.5×（1﹣0.4）＝0.3，C错误； 对于D，事件A、B相互独立，则、也相互独立，则P（∩）＝（1﹣0.5）（1﹣0.4）＝0.3，D错误． 故选：B． 25．某网红奶茶店“ChillTea”在市中心有三个分店：A店、B店、C店．根据平台数据，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%．已知各分店高峰期制作时间超过15分钟的概率分别为：A店20%、B店40%、C店30%．若小明随机选择一个分店下单，他等待超过15分钟的概率是（　　） A．28% B．32% C．35% D．40% 【答案】B 【解答】解：根据题意，顾客选择A、B、C店的概率分别为30%、50%、20%，且等待超过15分钟的概率依次为：20%、40%、30%． 则选择A店并超时的概率为：30%×20%＝6%； 选择B店并超时的概率为：50%×40%＝20%； 选择C店并超时的概率为：20%×30%＝6%； 所以等待超过15分钟的概率为6%+20%+6%＝32%， 故选：B． 十二．由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性（共3小题） 26．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，A表示事件“第一次抛掷，骰子正面向上的点数是3”，B表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是4”，C表示事件“两次抛掷，骰子正面向上的点数之和是7”，则（　　） A．A与B互斥 B．B与C互为对立 C．A与B相互独立 D．A与C相互独立 【答案】D 【解答】解：根据题意，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，其中第一次在前，第二次在后， 样本空间Ω如下：{（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6）， （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6）， （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）}，共36个样本点； 依次分析选项： 对于A，AB＝{（3，1）}，事件A、B可以同时发生，即事件A、B不互斥，A错误； 对于B，事件B、B互斥但不对立，B错误； 对于C，A＝{（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6）} B＝{（1，3），（2，2），（3，1）}； P（A），P（B），P（AB），事件A、B不相互独立，C错误； 对于D，C＝{（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）}， AC＝{（3，4）}， P（A），P（C），P（AC）， 则A与C相互独立，D正确． 故选：D． 27．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（　　） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 【答案】B 【解答】解：由题意可知，两点数和为8的所有可能为：（2，6），（3，5），（4，4），（5，3），（6，2）， 两点数和为7的所有可能为（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）， P（甲），P（乙），P（丙），P（丁）， A：P（甲丙）＝0≠P（甲）P（丙）， B：P（甲丁）P（甲）P（丁）， C：P（乙丙）P（乙）P（丙）， D：P（丙丁）＝0≠P（丙）P（丁）， 故选：B． 28．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，记事件A＝“得到的点数为偶数”，记事件B＝“得到的点数不大于4”，记事件C＝“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（　　） A．事件B与C互斥，A与C相互对立 B． C．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）但不满足A，B，C两两独立 D．P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）且A，B，C两两相互独立 【答案】C 【解答】解：由题意可知，事件A所含的样本点为：{2，4，6，8}，事件B所含的样本点为：{1，2，3，4}，事件C所含的样本点为：{2，3，5，7}， 对于选项A，因为事件B，C都包含样本点2，3，所以B，C不互斥，故选项A错误； 对于选项B，因为A∪B所含的样本点为：{1，2，3，4，6，8}， 所以，故选项B错误； 对于选项C，D，因为ABC所含的样本点为：{2}， 所以，又， 所以P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）， 又事件AC所含的样本点为：{2}， 所以，又， 所以P（AC）≠P（A）P（C）， 所以事件A，C不独立，即A，B，C两两独立错误， 故选项C正确，选项D错误． 故选：C． 十三．相互独立事件的概率乘法公式（共3小题） 29．“五道方”是一种民间棋类游戏，甲，乙两人进行“五道方”比赛，约定连胜两场者赢得比赛．若每场比赛，甲胜的概率为，乙胜的概率为，则比赛6场后甲赢得比赛的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：因为约定连胜两场者赢得比赛， 所以比赛6场后甲赢得比赛的情况为：第一场甲胜，第二场乙胜，第三场甲胜，第四场乙胜，第五场甲胜，第六场甲胜， 所以所求概率为． 故选：C． 30．甲、乙两人独立破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则恰有一人成功破译的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：甲、乙两人独立破译一份密码，两人能破译的概率分别是，， ∴恰有一人成功破译的概率为． 故选：D． 31．已知随机事件A、B，表示事件B的对立事件，P（A）＝0.4，P（B）＝0.6，则下面结论正确的是（　　） A．事件A与B一定是对立事件 B．P（A∪B）＝1 C．P（AB）＝0.24 D．若事件A、B相互独立，则 【答案】D 【解答】解：根据题意，假设有5个小球，分别标有1、2、3、4、5个数字， 设A＝“取出标有数字1、2的小球”，B＝“取出标有数字1、2、3的小球”， 易得P（A）＝0.4，P（B）＝0.6， 依次分析选项： 对于A，A⊆B，事件A、B可以同时发生，即事件A与B不是对立事件，A错误； 对于B，P（A∪B）＝P（B）＝0.6，B错误； 对于C，P（AB）＝P（A）＝0.4，C错误； 对于D，P（B）＝0.6，则P（）＝0.4， 若事件A、B相互独立，则A与也相互独立，则有P（A）＝P（A）P（）＝0.16，D正确． 故选：D． 十四．频率及频率的稳定性（共2小题） 32．下列说法错误的是（　　） A．为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式 B．频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值 C．抽签法和随机数法是两种常用的简单随机抽样的方法 D．某种疾病的治愈率为10%，若前9个病人没有被治愈，则第10个病人一定被治愈 【答案】D 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，抽样调查适用于调查对象数量庞大，耗时耗力，我国中学生的数量庞大，全面调查不适用，故A正确； 对于B，根据频率与概率的关系，频率随试验次数增加趋于稳定，这个稳定值即为概率，故B正确； 对于C，抽签法和随机数法是简单随机抽样的两种基础方法，符合定义，故C正确； 对于D，由概率的定义，某种疾病的治愈率为10%，则第10个人的治愈率仍为10%，故D错误． 故选：D． 33．某厂对一批产品进行抽样检测，如图所示的是抽检产品净重（单位：克）的频率分布直方图，样本数据分组为[76，78），[78，80），⋯，[84，86]．若这批产品有200个，估计其中净重大于或等于80克的个数是（　　） A．110 B．140 C．150 D．90 【答案】B 【解答】解：根据题意，由频率分布直方图，净重大于或等于80克的频率为P＝（0.15+0.125+0.075）×2＝0.7， 若这批产品有200个，则净重大于或等于80克的个数为200×0.7＝140个． 故选：B． 十五．模拟方法估计概率（共3小题） 34．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1～5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下： 412 451 312 531 224 344 151 254 424 142 435 414 135 432 123 233 314 232 353 442 据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　） A．0.4 B．0.45 C．0.5 D．0.55 【答案】C 【解答】解：根据题意，在20组数据中，代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：224，344，254，424，435，432，233，232，353，442，共10组， 则一年内这3台设备都不需要维修的概率P． 故选：C． 35．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率．用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数： 341 332 341 144 221 132 243 331 112 342 241 244 342 142 431 233 214 344 由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件， 所以估计恰好抽取三次就停止的概率． 故选：D． 36．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为0.6．我们通过设计模拟实验的方法求概率，利用计算机产生1～5之间的随机数： 425 123 423 344 144 435 525 332 152 342 534 443 512 541 135 432 334 151 312 354 若用1，3，5表示下雨，用2，4表示不下雨，则这三天中至少有两天下雨的概率近似为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：设事件A＝“三天中至少有两天下雨”， 20个随机数中，至少有两天下雨有123，435，525，332，152，534，512，541，135，334，151，312，354，即事件A发生了13次，用频率估计事件A 的概率近似为． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $