第三章　不等式的证明方法　指对放缩课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦指对函数放缩专题，依据高考评价体系梳理了切线放缩、曲线放缩等核心考点，明确指对共生式不等式证明、恒成立求参数范围等高频题型，通过常见放缩公式（如e^x≥x+1，lnx≤x-1）构建知识网络，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“公式应用+题型建模+素养落地”，以例1证明e^x>2x+lnx、跟踪训练1求参数范围为例，运用切线放缩和构造函数法，培养学生的抽象能力与推理意识，提供高考真题变式训练，帮助学生掌握放缩技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

指对放缩 切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放缩可以深入理解数学的本质. 重点解读 2 题型一　指对切线放缩 常见的指对切线放缩 例1　证明下列不等式： (1)ex>2x+ln x； 证明　方法一　易知ex≥ex， 要证ex>2x+ln x， 可证ex>2x+ln x， 设f(x)=ex-2x-ln x(x>0)， 则f'(x)=， 当0<x<时，f'(x)<0； 当x>时，f'(x)>0， 例1　证明下列不等式： (1)ex>2x+ln x； 证明　所以f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以f(x)min=f=1+ln(e-2)=ln[e( e-2)]>0， 所以f(x)>0，即 ex>2x+ln x， 故原不等式得证. 方法二　易知ln x≤x-1， 要证ex>2x+ln x， 即证ex-2x-ln x>0， 例1　证明下列不等式： (1)ex>2x+ln x； 证明　可证ex-2x-(x-1)>0， 即证ex-3x+1>0， 设f(x)=ex-3x+1(x>0)， 则f'(x)=ex-3， 当0<x<ln 3时，f'(x)<0； 当x>ln 3时，f'(x)>0， 所以f(x)在(0，ln 3)上单调递减，在(ln 3，+∞)上单调递增， 例1　证明下列不等式： (1)ex>2x+ln x； 证明　所以f(x)min=f(ln 3)=4-3ln 3=ln>0， 所以f(x)>0，即 ex-2x-(x-1)>0， 故原不等式得证. 方法三　易知ex≥ex，ln x≤， 要证ex>2x+ln x， 可证ex≥ex>2x+≥2x+ln x(x>0)， 即证ex>2x+(x>0)， 例1　证明下列不等式： (1)ex>2x+ln x； 证明　设f(x)=ex-，x>0， 则f(x)=x>0， 即ex>2x+(x>0)， 故原不等式得证. 例1　证明下列不等式： (2)ex-ln(x+2)>0. 证明　要证ex-ln(x+2)>0， 即证ex>ln(x+2)， 又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立， 令t=x+2，则ln(x+2)=ln t≤t-1=x+1， 即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立， 故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证. 当要证明的不等式中既含有ex，又含有ln x时，一般形象地称之为指对共生式，这类问题直接构造差函数进行研究可能会较为困难，突破这一困难一般采用指对放缩、分离双函数、同构等技巧. 思维升华 证明　要证当x>0时，ex2-xln x<xex+， 只需证ex-ln x<ex+. 下证-ln x≤，即证ln≤， 令t=(t>0)，即证ln t≤t. 显然成立，且等号成立的条件是t=e，即x=. 又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立， 由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立. 跟踪训练1　(1)当x>0时，证明：ex2-xln x<xex+. 解　由题意知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立， 即k≤恒成立， 设f(x)=(x>0)， 则f(x)=(x>0)， 由ex≥x+1(当且仅当x=0时等号成立)， 跟踪训练1　(2)已知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立，求实数k的取值范围. 解　易知e2x+ln x≥2x+ln x+1(当且仅当2x+ln x=0时等号成立)， 所以f(x)≥=2， 当且仅当2x+ln x=0时等号成立， 所以k≤2. 故实数k的取值范围为(-∞，2]. 跟踪训练1　(2)已知对任意的x>0，不等式xe2x-kx-ln x-1≥0恒成立，求实数k的取值范围. 题型二　指对增强放缩(曲线放缩) 1.与ex相关的增强放缩 (1)ex≥x+1 ex≥1+x+(x≥0) ex=1++++…++o(xn) (泰勒展开式). (2)ex≥ex ex≥ex+(x-1)2(x≥0). (3)通过变换得到的其他不等式 把ex≥x+1中的x换成ln x，可得ln x≤x-1. 把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex. 把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤(x<1). 把ex≥x+1中的x换成x+ln x，可得ex+ln x=xex≥x+ln x+1(朗博同构). 2.与ln x相关的增强放缩 (1)ln x≤x-1 ln(x+1)≤x ln x≥1- ln(x+1)=x-+- +…+(-1)n+o(xn+1)(泰勒展开式). (2)ln x≤. (3)飘带不等式：≤ln x≤，x≥1. (4)通过变换得到的其他不等式 把ln x≤x-1中的x换成ex，可得ex≥x+1. 把ln x≤x-1中的x换成，可得ln x≤. 把ln x≤x-1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x. 把ln(x+1)≤x中的x换成，可得ln(n+1)-ln n<. 把ln(x+1)≤x中的x换成-，可得ln(n+1)-ln n>. 例2　(1)证明：ex+≥2-ln x+x2+(e-2)x. 证明　由题意知x>0，因为ex≥ex+(x-1)2， 所以要证ex+≥2-ln x+x2+(e-2)x， 只需证ex+(x-1)2+≥2-ln x+x2+(e-2)x， 即证ln≤-1， 令t=(t>0)，即证ln t≤t-1，显然成立. 结论得证. 例2　(2)设函数f(x)=exln x+，证明：f(x)>1. 证明　方法一　f(x)>1等价于ex>1. 由于ln x≤(当且仅当x=e时等号成立)， 所以ln≤，即-ln x≤，即ln x≥-， 又ex≥ex(当且仅当x=1时等号成立)， 所以ex≥ex≥ex=1， 又因为等号成立的条件不一致，所以ex>1，所以f(x)>1. 例2　(2)设函数f(x)=exln x+，证明：f(x)>1. 证明　方法二　由题意知x>0， 所以f(x)>1等价于xexln x+2ex-1>x， 即xln x>xe-x-. 设函数g(x)=xln x(x>0)， 则g'(x)=1+ln x. 又当x∈时，g'(x)<0； 当x∈时，g'(x)>0， 例2　(2)设函数f(x)=exln x+，证明：f(x)>1. 证明　故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x) 在(0，+∞)上的最小值为g=-. 设函数h(x)=xe-x-(x>0)，则h'(x)=e-x(1-x)， 又当x∈(0，1)时，h'(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h'(x)<0，故h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，从而h(x)在(0，+∞)上的最大值为h(1)=-. 综上，当x>0时，g(x)>h(x)恒成立，即f(x)>1. 利用导数证明不等式时，曲线放缩是一种重要的技巧，它通过构造或选择已知的不等式(曲线函数)来逼近原函数，从而简化证明. 思维升华 跟踪训练2　(1)已知函数f(x)=xln x-ax+1.当x>0时f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为　　　 　　.  (-∞，1] 解析　由当x>0时，f(x)≥0恒成立，可得ln x≥a-恒成立， 又因为ln x≥1-， 当a≤1时，a-≤1-， 所以ln x≥a-恒成立， 当a>1时，取x=1，则ln 1≥a-，即a≤1，矛盾， 综上，实数a的取值范围为(-∞，1]. 跟踪训练2　(2)证明：对任意x>0，不等式ex+x2-(e+1)x+>2成立. 证明　因为ex≥ex，所以只需证ex+x2-(e+1)x+>2成立， 即证x2-x+>2成立， 即证x2-2x+1+x+-1>2成立， 即证(x-1)2+>3成立， 由基本不等式得x+≥2， 当且仅当x=时等号成立， 而2>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立， 结论得证. 微拓展 飘带不等式 在进行放缩的时候，转化的本质就是把曲线转化为直线进行简化运算，即用直线代替曲线，在切点处曲线可以近似地用直线代替，但是随着x的变化，直线与曲线的差距越来越大，放缩的精度越来越粗糙，所以有时采用曲线来代替直线. <ln x<(0<x<1)， <ln x<(x>1). 微拓展 典例　证明： (1)<ln x<(0<x<1)； (2)<ln x<(x>1). 证明　令g(x)=ln x-， 则g'(x)=-=-≤0， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减， 又g(1)=0， 所以当0<x<1时，g(x)>0， 微拓展 典例　证明： (1)<ln x<(0<x<1)； (2)<ln x<(x>1). 证明　即<ln x， 当x>1时，g(x)<0，ln x<； 令h(x)=ln x-， 则h'(x)=≥0， 微拓展 典例　证明： (1)<ln x<(0<x<1)； (2)<ln x<(x>1). 证明　所以h(x)在(0，+∞)上单调递增， 又h(1)=0， 所以当0<x<1时，h(x)<0， 即ln x<， 当x>1时，h(x)>0，<ln x， 微拓展 典例　证明： (1)<ln x<(0<x<1)； (2)<ln x<(x>1). 证明　综上可知，当0<x<1时， <ln x<； 当x>1时，<ln x<. 故(1)(2)结论得证. 答案 1 2 1. (1)解　由题意知，f'(x)=-(ex+xex)+a=-(x+1)ex+a≤0在[1，+∞)上恒成立， 所以a≤(x+1)ex-在[1，+∞)上恒成立. 令g(x)=(x+1)ex-(x≥1)， 则g'(x)=(x+2)ex+>0， 所以g(x)在[1，+∞)上单调递增， 所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a≤2e-1. 故实数a的取值范围为(-∞，2e-1]. 答案 1 2 1. (2)证明　方法一　当a=1时，f(x)=ln x-xex+x(x>0)， 所以f(x)=ln x+x-xex=ln x+x-eln xex=ln x+x-eln x+x， 因为ex≥x+1，所以eln x+x≥ln x+x+1， 所以f(x)=ln x+x-eln x+x≤ln x+x-(ln x+x+1)=-1， 当且仅当ln x+x=0时等号成立， 所以f(x)max=-1. 答案 1 2 1. 方法二　当a=1时，f(x)=ln x-xex+x(x>0)， 则f'(x)=-(x+1)ex+1=(x+1)， 令m(x)=-ex(x>0)， 则m'(x)=--ex<0， 所以m(x)在(0，+∞)上单调递减. 由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即=. 答案 1 2 1. 当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f'(x)>0； 当x∈(x0，+∞)时，m(x)<0，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减， 所以f(x)max=f(x0)=ln x0-x0+x0， 因为=，所以x0=-ln x0， 所以f(x0)=-x0-1+x0=-1， 所以f(x)max=-1. 答案 1 2 2. (1)解　由条件得f'(x)=ex-1-2ax， 令h(x)=ex-1-2ax，则h'(x)=ex-2a. ①当2a≤1，即a≤时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增， ∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0， ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)≥f(0)=0， ∴当a≤时满足条件； 2. ②当2a>1，即a>时，令h'(x)=0，解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减， ∴当x∈(0，ln 2a)时，有h(x)<h(0)=0， 即f'(x)<f'(0)=0， ∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减， ∴f(x)<f(0)=0，不符合题意. 综上，实数a的取值范围为. 答案 1 2 2. (2)证明　由(1)得，当a=，且x>0时，ex-1-x->0， 即ex-1>x+=， 要证(ex-1)ln(x+1)>x2(x>0)， 只需证明ex-1>(x>0)， 只需证明>(x>0)， 答案 1 2 2. 只需证ln(x+1)>(x>0)， 设F(x)=ln(x+1)-，则F'(x)=-=， ∴当x>0时，F'(x)>0恒成立，故F(x)在(0，+∞)上单调递增， 又F(0)=0， ∴当x>0时，F(x)>0恒成立. ∴原不等式成立. 答案 1 2 1.已知函数f(x)=ln x-xex+ax(a∈R). (1)若函数f(x)在[1，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围； 1 2 答案 解　由题意知，f'(x)=-(ex+xex)+a=-(x+1)ex+a≤0在[1，+∞)上恒成立， 所以a≤(x+1)ex-在[1，+∞)上恒成立. 令g(x)=(x+1)ex-(x≥1)， 则g'(x)=(x+2)ex+>0， 所以g(x)在[1，+∞)上单调递增， 所以g(x)min=g(1)=2e-1，所以a≤2e-1. 故实数a的取值范围为(-∞，2e-1]. 1.已知函数f(x)=ln x-xex+ax(a∈R). (2)证明：当a=1时，f(x)的最大值为-1. 1 2 答案 证明　方法一　当a=1时，f(x)=ln x-xex+x(x>0)， 所以f(x)=ln x+x-xex=ln x+x-eln xex=ln x+x-eln x+x， 因为ex≥x+1，所以eln x+x≥ln x+x+1， 所以f(x)=ln x+x-eln x+x≤ln x+x-(ln x+x+1)=-1， 当且仅当ln x+x=0时等号成立， 所以f(x)max=-1. 1.已知函数f(x)=ln x-xex+ax(a∈R). (2)证明：当a=1时，f(x)的最大值为-1. 1 2 答案 证明　方法二　当a=1时，f(x)=ln x-xex+x(x>0)， 则f'(x)=-(x+1)ex+1=(x+1)， 令m(x)=-ex(x>0)， 则m'(x)=--ex<0， 所以m(x)在(0，+∞)上单调递减. 1.已知函数f(x)=ln x-xex+ax(a∈R). (2)证明：当a=1时，f(x)的最大值为-1. 1 2 答案 证明　由于m>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即=. 当x∈(0，x0)时，m(x)>0，f'(x)>0； 当x∈(x0，+∞)时，m(x)<0，f'(x)<0， 所以f(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，+∞)上单调递减， 所以f(x)max=f(x0)=ln x0-x0+x0， 1.已知函数f(x)=ln x-xex+ax(a∈R). (2)证明：当a=1时，f(x)的最大值为-1. 1 2 答案 证明　因为=，所以x0=-ln x0， 所以f(x0)=-x0-1+x0=-1， 所以f(x)max=-1. 2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2. (1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； 解　由条件得f'(x)=ex-1-2ax， 令h(x)=ex-1-2ax，则h'(x)=ex-2a. ①当2a≤1，即a≤时，在[0，+∞)上，h'(x)≥0，h(x)单调递增， ∴h(x)≥h(0)，即f'(x)≥f'(0)=0， ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴f(x)≥f(0)=0， ∴当a≤时满足条件； 1 2 答案 2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2. (1)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围； 解　②当2a>1，即a>时，令h'(x)=0，解得x=ln 2a，在[0，ln 2a)上，h'(x)<0，h(x)单调递减， ∴当x∈(0，ln 2a)时，有h(x)<h(0)=0， 即f'(x)<f'(0)=0， ∴f(x)在(0，ln 2a)上单调递减， ∴f(x)<f(0)=0，不符合题意. 综上，实数a的取值范围为. 1 2 答案 2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2. (2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2. 证明　由(1)得，当a=，且x>0时，ex-1-x->0， 即ex-1>x+=， 要证(ex-1)ln(x+1)>x2(x>0)， 只需证明ex-1>(x>0)， 只需证明>(x>0)， 1 2 答案 2.已知函数f(x)=ex-1-x-ax2. (2)若x>0，证明：(ex-1)ln(x+1)>x2. 证明　只需证ln(x+1)>(x>0)， 设F(x)=ln(x+1)-，则F'(x)=-=， ∴当x>0时，F'(x)>0恒成立， 故F(x)在(0，+∞)上单调递增， 又F(0)=0，∴当x>0时，F(x)>0恒成立. ∴原不等式成立. 1 2 答案 $