重庆市第八中学校2025-2026学年高二下学期阶段性检测（二）数学试题

重庆八中高2027级高二（下）阶段性检测（二） 数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的． 1．随机变量，则等于 A．3 B．5 C．12 D．15 2．已知某厂甲、乙两车间生产同一批商品，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的70%，30%，甲、乙车间的优品率分别为90%，85%．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为 A．86.5% B．88.5% C．90% D．93% 3．对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是 A． B． C． D． 4．利用独立性检验的方法调查某校高中生的性别与爱好数学是否相关，通过随机调查3000名高中生，并利用2×2列联表，计算可得，参照临界值表：下列叙述正确的是 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A．某学生是该校女生，那么她有0.05%的可能爱好数学 B．某学生是该校男生，那么他有99.5%的可能爱好数学 C．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别无关” D．在犯错概率不超过0.01的前提下，认为“该校学生爱好数学与性别有关” 5．空间中有三组平行平面，第一组有3个，第二组有2个，第三组有4个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行，则这些平面可以构成平行六面体的个数为 A．12 B．18 C．24 D．30 6．已知曲线在点处的切线与曲线只有一个公共点，则 A．0或 B．0或 C．或 D．0 7．甲、乙、丙三人练习传球，每次传球时，持球者会等可能地传给另外两人中的任意一位，若第一次由甲开始传球，则经过四次传球后，球回到甲手中的概率为 A． B． C． D． 8．在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的3个小球，并将它们编号为1，2，3，每次从口袋中随机抽取一个小球，记录编号后将球放回，重复操作直至取遍所有小球后立刻停止摸球，则“经过3次摸球未能停止摸球”的条件下，经过5次摸球停止摸球的概率是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是 A．事件A与事件B互为对立事件 B．若，则 C．若，则 D．若，则事件A与B相互独立 10．已知函数（）有两个极值点，，则下列说法正确的是 A．a的取值范围是 B． C．的取值范围是 D．的取值范围是 11．将一颗质地均匀的骰子（点数为1~6）连续抛掷3次，记录向上的点数，则 A．三个点数之积大于150的概率为 B．三个点数之和大于10的概率为 C．若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D．若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，且，则展开式中各项系数之和为________． 13．已知实数、、、、满足，则、、、、的方差的最大值为________． 14．已知函数．若函数（）（e为自然对数的底数）恰有4个零点，则k的取值范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）如图，在直三棱柱中，，，，，M、N分别是、的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值． 16．（15分）2026年春节期间，电影《飞驰人生3》、《镖人》持续火爆，现对电影《镖人》从正月初一到正月初六的单日票房统计如下表：（由于统计原因，本题的数据与实际情形可能存在误差，以题目给出的数据为准）． 日期 初一 初二 初三 初四 初五 初六 上映第x天 1 2 3 4 5 6 票房y（单位：亿元） 0.9 1.2 1.3 1.5 1.3 1.6 （1）根据数据建立单日票房y关于上映天数x的线性回归方程，并预测第七日的票房收入（计算结果均保留一位小数）； （2）在某天放映结束后，随机抽取6名观众，发现其中有4人看过《镖人》，3人看过《飞驰人生3》，只有1人两部电影均没看过，现从这6人中随机抽取3人，记X为抽取的3人中两部电影都看过的人数，求X的分布列及方差，参考数据及公式如下： 参考数据：，，，． 参考公式：，． 17．（15分）已知双曲线C：（），焦距为，点，分别为双曲线的左右焦点． （1）求双曲线C的标准方程与渐近线方程； （2）过点作斜率为k的直线l，与双曲线C交于M，N两点，是否存在实数k使得？若存在，请求出k的值；若不存在说明理由； （3）点Q为双曲线右支上的动点，求的最小值． 18．（17分）已知函数（）． （1）设函数，求的最小值； （2）对任意，都有，求k的取值范围； （3）对任意，直线与曲线有且仅有一个公共点，求m取值范围． 19．（17分）2026年马年春晚《武BOT》节目中，宇树科技的人形机器人与塔沟武校的少年武者进行了一场人机武术对抗赛．假设每局比赛中，机器人获胜的概率为0.6，少年武者获胜的概率为0.4，且每局胜负相互独立．比赛采用局胜制（即先赢得局者获胜）． （1）当时，记结束比赛时的局数为X，求X的分布列和数学期望; （2）设在该赛制下机器人获胜的概率为． ①求和的值，并比较它们的大小，据此说明和哪种赛制对机器人更有利； ②随着k的增大，机器人获胜的可能性如何变化？证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司 $