重庆市西南大学附属中学校2025-2026学年高二下学期6月定时检测数学试题

西南大学附中高2027届高二下6月定时检测 数学试题 (满分：150分；考试时间：120分钟) 2026年6月 注意事项： 1,答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂：答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写： 必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无放；保持答卷清洁、完整。 3、考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）。 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知命题P:x>2,x2-2x>0,则命题卫的否定为（) A.x≤2，x2-2x>0 B.x>2,x2-2x≤0 C.3x>2,x2-2x≤0 D.3x≤2，x2-2x≤0 2.若随机变量X~N(1,o2),且P(X≤0)=0.3，则P(1≤X≤2)=（) A.0.2 B.0.3 C.0.7 D.0.8 3.等比数列{a,}的公比9≠1，且2,4,4成等差数列，则十的值() 43+a2 A.-2 B.月 c. D.2 4.已知袋中有2个白球、2个红球，4个黑球，8个球除颜色外其余均相同，有放回地随机摸 球8次，记摸到白球的个数为随机变量X,则X的方差D(X)=() A.1 B.2 c D.2 5.“x>2”是“2=3>1”的() x-1 A.充要条件 B.必要不充分条件 C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在(x2-x-2°的展开式中x2项的系数是（() A.-48 B.-24 C.24 D.48 高二下6月定时检测数学第1页（共4页） 7.己知定义在(-∞，0)U(0,+∞)上的偶函数f(x)的导函数为f'(x),且f()=2,当x>0时， 寸()+2)>0，则使得了()>子成立的x的取值范围是() A.(1,+o0) B.（-1,0U(0,1) C.（-o,-1U(1,+o∞) D.（-o,-1U(0,1) 8、已知数列{a}的前n项和为Sn,且Sn=n2+3n,设b,= an√an+l+an+l√an ，Tn是数列{b} 的前”项和，若>店，则正整数的最小值为（ A.30 B.31 C.60 D.61 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下列命题中正确的是() A.决定系数2越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好 B若A,B两组成对数据的样本相关系数分别为r4=0.73,B=0.65,则B组数据比A 组数据的线性相关性强 C.在经验回归方程)=x+2中，若x=3,y=5,则变量x与y正相关 D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到x2=4.712，,根据小概率值c=0.05的 独立性检验(0s=3.841),可认为X与Y有关 10.己知函数f(x)=x3-3ax+2a(a>0),则下列结论正确的是（) A.函数f(x)有两个极值点 B.直线y=2a与y=f(x)的图象有且仅有两个公共点 C.若f(x)有三个零点，则a>1 D.若a∈(1，+o∞)，对x,2∈[-1，，都有f(x)-f(:<4 高二下6月定时检测数学第2页（共4页） 11.已知正实数a,b,c满足a+b=3,则下列结论正确的有() A.a2+b2的最小值为9 B.ab+2a+b的最大值为7 C. a+2b 的最大值为9-6√2 D. a+29+6+29+14的最小值为285-14 a+1b+1c+1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.设集合A={x≤2}，B={2x2-3x-9≤0，则AnB= 13.甲、乙、丙3位同学打算去北京、成都、贵阳、上海4个地方旅游，每位同学只去一个地 方，记旅游人数最多的地方的人数为X,则P(X>)= 14.设因血x-士+北+2ax+,若f)≥0恒成立，则f)的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB⊥BC,AB=BC=AA=2. (1)求证：AB⊥平面4BC; (2)求直线BC与平面4BC所成角的正弦值. 16.已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且满足2Sn=a所+a(neN,数列{bn}为等比数列， 且b=a2,b4=6a3-b. (1)求数列{an}和bn}的通项公式： an,n为奇数 (2)数列{c}满足cn= 6,n为偶数(ne),求{c,}的前n项和T. 高二下6月定时检测数学第3页（共4页) 【IU 1n.在平面直角坐标系0中，点4心引，日5号） 在椭圆C:mc2+y2=1(m>0,n>0)上. (1)求椭圆C的标准方程： ②)设直线1过点(5,0，且与椭圆C交于D,E两点，若点T,0)使得n+ke=0恒成 立，求t的值 18.在平面直角坐标系上的一只蚂蚁从原点出发，每次随机地问上下左右四个方向移动1个单 位长度，记蚂蚁所到达的点为P(x,y),且对任意的P(xy),均有-1≤x≤1，-1≤y≤1. 现规定只要蚂蚁到达的点P(x,y)满足+y=2,则称蚂蚁成功了一次，设蚂蚁第k次成 功时所移动的总步数为k,k∈NW. (1)求51=4的概率； (2)求随机变量5，的数学期望E(5): (3)求随机变量5n的数学期望E(5n); 参考公式：①若c>1,则当n→o时，m+b →0： ②对离散型随机变量X,Y,有：E(X+Y)=E(X)+E(Y)） 19.已知函数f(x)=l血(x+): ()若f(x)sx+a恒成立，求实数a的取值范围； (2)设g(x)=(x)+xe,若g(x)在(0，+∞)上存在零点. ①求实数入的取值范围： ②记g(x)的极值点为，求证：2x2>x. 高二下6月定时检测数学第4页（共4页）高二下6月定时检测数学参考答案 1-8.CABCCDCB 9ACD 10.AC 11.BCD 2[] 1号 14.[2n2+1,too) 8.B.解：当n=1时，a1=4:当n22时， an=Sn-Sn-=n2+3n-(m-102-3(n-1)=2n+2. 当n=1时满足an=2n+2,故数列{a}的通项公式为a.=2n+2. bn= 1 ,a+a石.aaa.+a】2m+22n+42m+2+2n+4 V2m+4-V2m+2_11-1 22m+2.V2n+4"2V2m+2V2m+4 1 1 V2mn+2V2m+4】 解得n>30,所以正整数n的最小值为31.故答案选：B. 11.解：对于A,因为 F+正2a也-号所以c+b≥号，当且仅当a=b=号 2 2 2 取等号，故A错误； 对于B,因为b=3-a,所以ab+2a+b=(3-a)a+2a+3-a =-(a-2)+7,当a=2时最大值为7，故B正确： ab 3ab 3ab 对于C,因为a+2ba+2ba+历a+3ab+25 1 3 s_3 +3+2白3+259-65 当且仅当 君=2名即g=6-3反，6=35-3取等号，放c正确 片台e÷+“当 a+1+b+1 c+15 证片28店4，当且仅当女号5-1取每号，散D正确 5 14.解：函数f(x)的定义域为(0,4o), a.=1+(n-1)×1=n. 令8)=血-1，则g()-+之>0，所以()在0，网单调递地， 因为6=0=2,6=6×3-2=16，则公比g3=8,q=2,所以6=2×2=2". (2)当n为偶数时，T,=(4+a+a+…+a)+(色+6，+6+…+b,) 当0<x<1时，g(x)<0,当x=1时，8gx)=0，当x>1时，g)>0,要使 =(1+3+5+…+n-1)+(22+2+2+…+2） f(x)20恒成立， 则二次函数y=x2+2ax+b,在0<x<1上y<0,在x>1上y>0, 2 1-4 4 3 所以x=1为该二次函数的一个零点，故b=-2a-1, 当为奇数时，=m-6=74-64=a++2”-4 4 3 则y=x2+2m-(2a+1)=(x-1[x+(2a+1],且开口向上， 只需-2a+≤0，即2a+1≥0，解得a2- [n2,2+2-4 4 3,为偶数 .T= 因为fQ)=0血2+24+4a+b)=m2+分X2a+3)之2n2+1,故/2的取值范 红+此+24 n为奇数. 4 3 围为[2n2+l,+o∞). 9 m+-n=1 m= 4 4 15.解：(1)证明：因为直三棱柱ABC-ABC,所以BB⊥平面ABC, 17.解：(1)由题意有 3解得 故椭圆C的标准方程为 3m+-n=1 n= BB⊥BC.因为AB⊥BC,AB∩BB=B,所以BC⊥平面ABB4,BC⊥AB.因为正 4 3 方形ABBA,所以AB⊥AB.因为BC∩AB=B,所以AB⊥平面ABC (2)解法一（等体积法：设点C到平面ABC的距离为h. 云+ 1 3 因为%-4c-写×hx及e×分x2x2后-.2， (2)若直线1斜率不为0，设直线1的方程为x=y+5,设D(),(,): 2 3 1 1 4 将直线1与椭圆C方程联立，得(3p2+4)y2+63y-3=0,显然△>0，于 -0g-写×4BxS.a0g-写x2×2×2x2=行· 2 是由韦达定理，得 由4e-网得2-学即A=5。 31 -3 h2 1 乃+h= D因购o0,甲产名0 3p2+4 所以直线BG,与平面4BC所成角正弦值为=BC2221 解法二：以B为原点，建立如图所示的空间 于是n(%2+5-)+2(%+5-0,2+(5-%+h)=0, 直角坐标系，因为B(0,0,0),A(2,0,0), B(0,0,2),C(0,2,2), 9 进而有-6p-655-小-64-V5网)=0.由p的年意性，得1=4 3, 所以B℃=(0,2,2)，AB=(-2,0,2).由(1)知 若直线I斜率为0，取：9此时。坛=0，也满足愿意故所求：- 3 AB=(-2,0,2)为平面4BC的一个法向量， 设直线BC,与平面ABC所成角为日，则 18.解：当点P(xy)满足引x+y上i时，记其为B,i=0,12. ao-(6c-haa2 （)蚂蚁奇数次移动后必然达到点月，之后有}的概率到达点只，有号的 所以直线BC与平面4BC所成角正弦值为 1 概率到达点乃，蚂蚁在B或？时，下一步必然到达日故 16.解：(1)因为2Sn=a2n+a①，n22时，2S=a2+a②.由①-②得 1x2-3 2a=a'n+as-an-an' 5=40=x号9 所以a2n-a2-(an+a)=0,则(a+ai)(a-a-1)=0.因为 2)解法一由题知，51可取2,4,68，…，2k…且P61=2)= a,>0,所以an-a-=1. 因为2a=a+a,4=1.则{口}为首项1，公差1的等差数列.所以 设8-229×号-2x号+4*号++2×号 于是=2x×号+4x× 2+6x3×号++2m×”× 3m3 1 4.4 1- 3可4n1 3 9 33 于是，得5=3-2+3列x分→B6)==B-2+3别×=3 解法二：蚂蚁在两次移动后，有的橱率经过日到达点局，有号的概率经 过日到达点月，于是B)-2x+2+B(5》xB6)=3. (3)解法一：则当n≥2时，蚂蚁第n次到达B所经历的步数可能为： 2n,2n+2,2n+4,,2n+2k,… 当蚂蚁通过2n+2k步第n次到达P2时，前面的2n+2k-2步中，在 奇数步中，必然到达P,偶数步中，有1次到达P2,对应的概率为 C孕，最后2步移动以子的概率回到P。 于是P6.-2m+2=cr×号Cr,故 aE)-艺e+2cr=29r2a+c] -2r2c]2r2c】 记]则-c] 是-]- 又]不-*9，质服 E(5.)=2n(台”×Tn=3n 又由B5)=3也符合上式知，对于一切neN,有E飞，)=3m 法二：设初始位置为B时第次到达乃时移动的总次数为X:，设初始位置 为乃时第n次到达乃时移动的总次数为'，由题，初始位置为B时第n次到 达B时移动的总次数为5n,则当n≥2时，有 E(传n)=E(Kn)+1 80x)-0+8g》+5+se》 E(K)=1+E(X) 即Ex)-子0+g-》+0+sc,》-号0+1+BX》+号0+B.》 即得3E(Xn)=5+2E(Xm)+E(5m),又由E(传)=E(Xn)+1有 3(E(飞n)-)=5+2(E(Em-)-10+E(5n) 即E(传n)=E(作m-)+3,又由E(传1)=3得E(传n)=3n. 解法三：由题，有 E,)=B5a+号+++B%,》 结合E51)=3知，EEn)=E(5m-)+3,于是E飞)=3+(m-1)×3=3n. 解法四：将每两次移动视为一次操作，易知1次操作中，必然有1次到达 A,有1次到达P或者P,即每次操作有号的概率发生“到达P,有的概 率不发生到达于是为使事件到达P及发生次，平均需要进行受次操 作，于是需要移动3n次，即E(飞)=3n. 19.解：(1)由己知a2n(x+1)-x,令m(x)=血(x+1)-xxe(-l,+o),则 a之（以因为克1帝令m创0，解得-1x<0:令 m'(x)<0,解得x>0所以m(x)在(-l,0)单调递增，在(0，+∞)单调递减，从而 m(x)x=m(0)=0,因此a20. (2)①g(x)=血(x+1)+xe,x∈(-1，+o),且g(0)=0,因为 g名++e,若20则对任意的x(-1+o,g倒>0， 于是g(x)在(-l,+)上单调递增，所以g(x)在(-1，∞)上最多一个零点， 而g(0)=0,不合题意： 若1ca记4合+，因+2g0, 所以g(x)在(-1+)上单调递增，注意到，x→-1时，g'(x)→-0： x-→+co时，g(x)→+0，所以存在唯一的x∈(-1，o),使得 g(x)=0,且g(x)在(-1，)上单调递减，在(x,+∞)上单调递增. 若x≤0，则g(x)在(0，+∞)上单调递增，而g(0)=0,显然不符合题意 若x>0,则g(x)在(0，)上单调递减，在(，+∞)上单调递增」 因此g(x)<g(0)=0,x→+∞时，g(x)>0,故存在唯-的 云∈(x0,+∞)，使得g()=0,符合题意：此时g(x)在(-1，)单调递减， 于是只斋g(O)=久+0即可，综上，所求入取值范围为(，月) ②由①可知x>为>0，且x2=,于是g(x)在(2，+∞)上单调递增，要 证2x2>元，只需证g(2x)>g(x)=0,即证x血(2x2+1)+2xe2->0, 又g6)+6+en0, 则入=-(x+1)2e1, 即证2x2e-(x2+12血(2x2+1)>0, 记h(x)=2xe-(x+1)2h(2x+1),x∈(0，+o),只需证h(x)>0在 x∈(0，+oo)时恒成立 则(=2(c+1)e2-2c+1h(2x+1)-2x+1 2x+1 =2e+-(2x+:记6--2+0- x∈(0，+o) -e品时诗国防w0,则 1 e*>1,0<_4x+1 <1 (2x+1)2 所以p(x)>0，故φ()在(0，+∞)上单调递增，于是p(x)>φ(0)=0， 而有 h(x)=2(x+1)p(x)>0,于是h(x)在(0，)上单调递增，r h(x)>h(0)=0,证毕.