13 2026年江西中考夺分训练 (五)（Word版）-【超级考卷】2026年中考数学模拟试题汇编（江西专用）

**基本信息** 聚焦圆的性质与切线性质的中考高频考点，通过日晷情境、“幸运角”新定义及一题多解设计，考查抽象能力、推理意识与应用意识，适配中考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |综合解答题|8题|垂径定理、圆周角定理、切线性质、阴影面积计算|日晷情境体现文化传承，“幸运角”新定义培养创新意识，一题多解发展推理能力，贴合中考5年高频考点|

13.2026年江西中考夺分训练（五） 类型一 与圆的性质有关的计算与证明（5年5考） 1. 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点，交于点，连接，． （1）写出图中一个度数为的角：_______，图中与全等的三角形是_______； （2）求证：； （3）连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 一题多解法 2. 已知，内接于，点D在上，连接DA，DB，DC，． （1）如图①，求证：． （2）如图②，过点A作于点E，求证：． 3. 日晷是我国古代使用的一种计时仪器，某日晷底座的正面与晷面在同一平面上．如图，表示日晷的晷面圆周，日晷底座的底边在水平线l上，为等边三角形，， 与分别交于P，Q两点．点C，D是上两点，，过O作于点E，交于点F，交于点M．已知，，． （1）求的半径； （2）求图中阴影部分的面积． 4. 如图1，是半圆上的两点，点是直径上一点，且满足，则称是弧的“幸运角”， （1）如图2，若弦，是弧上的一点，连接交于点，连接．求证：是弧的“幸运角”； （2）如图3，若直径，弦，弧的“幸运角”为，求的长． 类型二 与切线的性质有关的计算与证明（5年3考） 5. 如图，AB为的直径，C为上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D． （1）求证：AC平分． （2）若，求的直径． 6. 已知是的直径，是的弦，半径，与交于点． （1）如图①，若，求和的大小； （2）如图②，过点作的切线，与的延长线相交于点，与交点为．，．求的面积． 7. 如图，中，以为直径的交于点，是的切线，且，垂足为，延长交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 8. 如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． （1）写出图中任意一组相等的角：___________； （2）求证：； （3）若，求图中阴影部分的面积． 13.2026年江西中考夺分训练（五） 类型一 与圆的性质有关的计算与证明（5年5考） 【1题答案】 【答案】（1）、、、；； （2）证明见详解； （3）四边形是菱形； 【解析】 【分析】（1）根据外接圆得到是的角平分线，即可得到的角，根据垂径定理得到，即可得到答案； （2）根据（1）得到，根据垂径定理得到，即可得到证明； （3）连接，，结合得到 ，是等边三角形，从而得到，即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵是等边三角形的外接圆， ∴是的角平分线，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴的角有：、、、， ∵是的角平分线， ∴，， 在与中， ∵， ∴， 故答案为：、、、，； 【小问2详解】 证明：∵，， ∴； 【小问3详解】 解：连接，， ∵，， ∴ ，是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题考查垂径定理，菱形判定，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握垂径定理，从而得到相应角的等量关系． 一题多解法 【2题答案】 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定及性质，掌握相关的知识点是解题的关键． （1）由圆周角定理可得，进而根据三角形内角和定理可得，即可求证； （2）作的延长线于点F，先证，得，进而可证，得到，即可求证． 【小问1详解】 证明：， ． ， ， 即 【小问2详解】 证明：如图，作的延长线于点F， ． ， ， ． ， ． ， ， ， ． 【3题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的实际应用，与圆有关的阴影部分面积； （1）连接，先证明，再由垂径定理得到，然后设的半径，在中，利用勾股定理得到，列方程计算即可； （2）由，求出等边三角形的边长，再分别求出，，最后根据计算即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∴， ， ， 如图，连接， 设的半径， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， 即的半径为； 【小问2详解】 解∶∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得（负值舍去）， ， ， ． 【4题答案】 【答案】（1）见解析 （2）的长为 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理得到是等腰三角形，由等腰三角形的三线合一得到，由对顶角相等，则，结合“幸运角”的定义即可求解； （2）如图，连接，由弧的“幸运角”为得到，由圆周角定理，垂径定理得到，，由此得到，在中根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是直径，， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是弧的“幸运角”； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵弧的“幸运角”为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的长为． 【点睛】本题主要新定义，垂径定理，直线平分线的性质，圆周角定理，勾股定理等知识的综合运用，理解新定义的含义，掌握垂径定理，圆周角定理，勾股定理是解题的关键． 类型二 与切线的性质有关的计算与证明（5年3考） 【5题答案】 【答案】（1）见解析 （2）的直径为10 【解析】 【分析】（1）连接，如图，根据切线的性质得，则可得到即可求证； （2）由勾股定理求得长，再利用即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接OC． DC是的切线， ． ， ． ， ， ∴平分． 【小问2详解】 如图，连接BC． 在中，． 由勾股定理，得． AB为的直径， ， ． ， ， ， ， 的直径为． 【点睛】本题考查了切线性质、圆周角定理，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径． 【6题答案】 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理求出，根据圆心角与弧的关系得出，根据圆周角定理得出，根据三角形外角的性质求出即可； （2）根据为的切线，求出，根据勾股定理求出，求出，根据，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形面积计算，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 【7题答案】 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据已知可得，则，又，等量代换得出，即可证明； （2）连接，证明，在中，，求得，根据得出，进而可得，根据，即可求解． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， ∵以为直径的交于点，是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图， 则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 又∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直角，平行线分线段成比例，正切的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【8题答案】 【答案】（1）（答案不唯一） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 小问1详解】 解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． 【小问2详解】 证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $