微突破　空间几何体的截面与交线问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“空间几何体的截面与交线”核心考点，依据高考评价体系明确直观想象、逻辑推理等素养要求，梳理出找交线三方法、作截面三类型（直接法、平行线法、延长线法）等高频考点，通过真题分析归纳出截面形状判断、交线长度计算等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“方法归纳+真题演练+素养提升”策略，如以正方体截面问题为例，详解延长线法作正六边形截面的步骤，培养学生直观想象与逻辑推理素养。强化训练涵盖球与多面体交线长、截面面积计算等高考热点，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

微突破　空间几何体的截面与交线问题 几何体中找交线的常用方法 1. 利用相交平面有且只有一条过交点的直线寻找交线，即只需找相交平面 的两个公共点，两点连线就是交线. 2. 利用线面平行与面面平行的判定定理寻找线面平行及面面平行，再利用 性质作出交线. 3. 对于球与多面体的交线长问题，根据交线的不同有两种计算方法：一是 利用弧长公式计算，只需找出弧所对的圆心角即可；二是转化为截面小圆 计算，只需找到小圆半径即可. 高中总复习·数学（创新版） 正三棱台ABC-A1B1C1中，A1B1＝1，AB＝AA1＝2，点E，F分别为 棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作截面，则截面与上底面A1B1C1 的交线长为 ⁠. 　 高中总复习·数学（创新版） 解析：如图，将正三棱台ABC-A1B1C1补为正三棱锥D-ABC， 连接AF并延长交CD于点M，连接ME交B1C1于点N，连接 FN，则FN即为过点A，E，F的截面与上底面A1B1C1的交 线，因为FC1∥AC，所以 ＝ ＝ ＝ ，所以MC1＝ CC1＝ ，过点E作BC的平行线交CC1于点H，易知HE＝ （BC＋B1C1）＝ （HE为梯形BCC1B1的中位线）. ＝ ＝ ＝ ，所以C1N＝ HE＝ ，在△C1FN中，由余弦定理得FN＝ ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 处理两面交线问题的方法 　　一要明确两面的类型，是平面还是曲面；二要判断哪些面之间相 交，交线是直线还是曲线.若截面与多面体相交，可用线面交点法找棱线 与截面的交点，再作连接两交点的线段；若截面与旋转体相交，则可用 面面交线法找相交的曲线段.其中曲线段的端点一定是某一母线与截面的 交点，曲线段为圆锥曲线的一部分. 高中总复习·数学（创新版） 作空间多面体截面的三种方法 1. 正方体中的基本斜截面 高中总复习·数学（创新版） 2. 多面体中作截面的三种方法 （1）直接法：有两点在多面体的同一个面上，连接这两点即为多面体与 截面的交线，找截面实际就是找交线的过程； （2）延长线法：若直线相交，但在多面体中未体现，可以通过作延长线 的方法找到交点，然后借助交点找到交线； （3）平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所 在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到多面体与截面的交线. 高中总复习·数学（创新版） 角度1　直接法作截面 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，C1，P三 点的截面. 解：因为此三点在几何体的棱上，且两两在一个平面内，直接连接A1P， A1C1，C1P就得到截面A1C1P. 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　若截面上的点都在几何体的棱上，且两两在同一个平面内，可借助 基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内”，直接连线作截面. 高中总复习·数学（创新版） 角度2　平行线法作截面 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为BB1的中点，画出过A1，D1，P三 点的截面，若AB＝2，试求所画截面的面积. 解：连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由于A1，D1，P在 一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1BCC1平行，只需过P作A1D1的平行 线即可.设CC1的中点为Q，连接PQ和D1Q，即可得到截面A1D1QP. 又由AB＝2，得A1D1＝2，A1P＝ ，易知截面A1D1QP为矩形，故 ＝2 . 解：连接A1P，其余面上的交线根据平面的性质寻找，由 于A1，D1，P在一个平面内，且两个平面A1ADD1和B1 BCC1平行，只需过P作A1D1的平行线即可.设CC1的中点 为Q，连接PQ和D1Q，即可得到截面A1D1QP. 又由AB＝2，得A1D1＝2，A1P＝ ，易知截面A1D1QP 为矩形，故 ＝2 . 高中总复习·数学（创新版） 变式 （2025·甘肃兰州模拟）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1， 点M在棱A1D1上，A1M＝2MD1，过M的平面α与平面A1BC1平行，且与正 方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为 ⁠. 3 　 高中总复习·数学（创新版） 解析：在平面A1D1DA中寻找与平面A1BC1平行的直线 时，只需要ME∥BC1，如图所示，因为A1M＝2MD1， 故该截面与正方体的交点位于靠近D1，A，C的三等分 点处，故可得截面为MIHGFE，设正方体的棱长为3a， 则ME＝2 a，MI＝ a，IH＝2 a，HG＝ a，FG＝2 a，EF＝ a，所以截面MIHGFE的周长为ME＋EF＋FG＋GH＋HI＋IM＝9 a，又因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，即3a＝1，故截面多边形的周长为3 . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　若截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几 何体的某一个面平行，可以借助于两个性质： （1）如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相 交，那么这条直线就和交线平行； （2）如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行. 利用平行线法作截面. 高中总复习·数学（创新版） 角度3　延长线法作截面 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，Q分别为AB，BC，AA1的中 点，若AB＝2，画出过E，F，Q的截面，并求所得截面图形的周长. 解：连接EF，得到平面EFQ和平面ABCD的交线，其余面 由正方体的性质和平面的性质来判断，延长FE，EF，分别 交DA，DC的延长线于G，H，则G，Q都在平面AA1D1D 内，连接GQ并延长交A1D1于点P，交DD1的延长线于点S， 则S，H都在平面DD1C1C内，连接SH交D1C1于点M，交 CC1于点N，连接QE，NF，PM，就得到截面EFNMPQ. 易知截面EFNMPQ为正六边形，又AB＝2，可得QE＝ ，故截面EFNMPQ的周 长为6 . 高中总复习·数学（创新版） 规律方法 　　若截面上的点中至少有两个点在几何体的一个表面上，可以借助于 基本事实“如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这 个平面内”，利用延长线法作截面. 高中总复习·数学（创新版） 1. 下列判断正确的是（　　） A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 解析：　选项A、B、D中的截面边界中，可能有曲线，故选C. √ 高中总复习·数学（创新版） 2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，E为棱BB1的中点，则平面 AED1截正方体ABCD-A1B1C1D1的截面面积为（　　） A. B. C. 4 D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　取B1C1的中点为M，连接EM，MD1，BC1，则 EM∥BC1，且EM＝ BC1，则EM∥AD1，且EM＝ AD1. 又AB＝2，所以MD1＝AE＝ ＝ ，BC1＝AD1＝ 2 ，因此EM＝ ，所以平面AED1截正方体ABCD- A1B1C1D1所得的截面为等腰梯形EMD1A. 因此该等腰梯形的高h＝ ＝ ＝ ，所以该截面的面积S＝ （AD1＋EM）·h＝ . 高中总复习·数学（创新版） 3. 已知球O的半径为5，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面α被球 O所截的截面面积的最小值是（　　） A. 9π B. 12π C. 16π D. 20π 解析：　由点A到球心O的距离为3，得球心O到过点A的平面α距离的最 大值为3，因此过点A的平面α被球O所截的截面圆半径最小值为 ＝4，所以过点A的平面α被球O所截的截面面积的最小值是π×42＝16π.故 选C. √ 高中总复习·数学（创新版） 4. 已知过BD1的平面与正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1分别交于点 M，N，则下列关于截面BMD1N的说法中，不正确的是（　　） A. 截面BMD1N可能是矩形 B. 截面BMD1N可能是菱形 C. 截面BMD1N可能是梯形 D. 截面BMD1N不可能是正方形 √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　如图1，当点M，N分别与顶点重合时，显然截面BMD1N是矩 形；如图2，当M，N为棱AA1，CC1的中点时，显然截面BMD1N是菱 形，由正方体的性质及勾股定理易知截面BMD1N不可能为正方形；根据 对称性，其他情况下截面BMD1N为平行四边形.故选C. 　 高中总复习·数学（创新版） 5. 已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD＝60°.以D1为球 心， 为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学（创新版） 解析：　如图，连接B1D1，易知△B1C1D1为正三角 形，所以B1D1＝C1D1＝2.分别取B1C1，BB1，CC1的 中点M，G，H，连接D1M，D1G，D1H，则易得 D1G＝D1H＝ ＝ ，D1M⊥B1C1，且D1M ＝ .由题意知G，H分别是BB1，CC1与球面的交点. 在侧面BCC1B1内任取一点P，使MP＝ ，连接D1P，则D1P＝ ＝ ＝ ，连接MG，MH，易得MG＝MH＝ ，故可知以M为圆心， 为半径的圆弧GH为球面与侧面BCC1B1的交线.由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以 的长为 ×2π× ＝ . 高中总复习·数学（创新版） 6. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段 CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下 列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）. ①②③　 ①当0＜CQ＜ 时，S为四边形； ②当CQ＝ 时，S为等腰梯形； ③当CQ＝ 时，S与C1D1的交点R满足C1R＝ ； ④当 ＜CQ＜1时，S为六边形. 高中总复习·数学（创新版） 解析：当CQ＝ 时，截面为等腰梯形APQD1，所以①② 都正确；当CQ＝ 时，设截面S和正方体的棱A1D1交于 点M. ∠MAD＝∠QPC，而tan∠QPC＝ ，所以A1M＝ ＝ ，即D1M＝ .因为tan∠D1MR＝tan∠APB＝2，所以D1R＝D1M·tan∠D1MR＝ ，所以C1R＝ ，所以③正确；当 ＜CQ＜1时，S为五边形，所以④错误. 高中总复习·数学（创新版） THANKS 演示完毕 感谢观看 $