暑假作业01 正弦、余弦、正切、余切（6种题型，巩固培优）高一数学沪教版

**基本信息** 以三角函数概念体系为核心，通过“概念-公式-应用”三层架构系统整合任意角、弧度制、同角关系及诱导公式，提炼“知一求二”“奇变偶不变”等可迁移方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|6个核心知识点|终边相同角集合表示、扇形公式应用、三角函数定义（坐标法/单位圆法）、同角关系“知一求二”、诱导公式“奇变偶不变”口诀|从角的概念（任意角、弧度制）到几何模型（单位圆），再到三角函数定义、关系（同角、诱导），形成“概念生成-公式推导-应用拓展”逻辑链| |题型|6类基础题型+综合题|象限角判断、扇形弧长面积计算、三角函数定义应用、同角关系化简求值、诱导公式转化|基础题型对应单一知识点（如终边相同角），综合题型融合多方法（如诱导公式+同角关系），典例覆盖核心考法与易错点|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 正弦、余弦、正切、余切 【知识点1 任意角与弧度制】 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2.终边相同的角：所有与角终边相同的角连同角在内,可构成一个集合. 3.象限角：角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下： （1）第一象限的角： （2）第二象限的角： （3）第三象限的角： （4）第四象限的角： 4.弧度制 （1）定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作弧度的角,记作,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角的弧度数公式： (弧长用表示)． （3）角度与弧度的换算：①；②． 【知识点2 扇形弧长与面积】 1.设扇形的半径为，弧长为，或为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： （1）扇形的弧长：； （2）扇形的面积：. 【知识点3 单位圆】 半径为、圆心在坐标原点的圆称为单位圆。常用来定义三角函数、推导三角公式、判断三角函数符号与取值范围。 【知识点4 正弦、余弦、正切、余切的定义】 1. 在平面直角坐标系中的定义：设角终边上任意一点（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为，。 则正弦，余弦，正切，余切． 2. 在单位圆中的定义：设角终边与单位圆相交于点， 则正弦，余弦，正切，余切． 3.符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 【知识点5 同角三角关系】 1.两个同角关系： （1） （2） 2.同角关系的应用：、、知一求二 ①. ②. 3.同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. 4.同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 【知识点6 诱导公式】 1. 口诀：奇变偶不变，符号看象限。 1. 含义： · 偶不变： 加，为偶数，函数名不变； · 奇变：为奇数，正弦、余弦互变，正切、余切互变； · 符号看象限：将看作锐角，判断原角所在象限，确定函数正负。 1. 作用：把任意角三角函数转化为锐角三角函数求值、化简。 【题型1 任意角与弧度的有关概念】 1．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 3．角度与弧度之间的转化_______，_______，_______，_______，_______． 4．将角化为弧度：______． 【题型2 扇形弧长公式与面积公式的应用】 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 2．公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 3．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 4．已知一个扇形的圆心角为2弧度，且所对应的弧长为1，则该扇形的面积为__________． 【题型3 任意角的正弦、余弦、正切、余切】 1．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 2．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 3．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 4．角与单位圆的交点坐标为_________. 【题型4 利用同角三角基本关系化简求值】 1．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 2．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 3．（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 4．（1）已知，求的值. （2）证明：. 【题型5 利用诱导公式化简求值】 1．求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 2．已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 3．化简 4．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【题型6 利用诱导公式与同角三角关系求值】 1．平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 3．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 4．已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 4．如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 5．若集合，，且，则的取值范围是________. 6．如图，已知矩形ABCD截圆A所得的劣弧（弧长小于半圆的弧）BE的长为，，则矩形在圆外部分的面积为________． 7．某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 8．如图，，是两条互相平行的直线，点M，N分别在，上，，点P在线段上，且．点A，B分别在，上，且，设． (1)若为等腰直角三角形，求的值． (2)设的面积为S． （i）求S关于的函数解析式； （ii）求S的最小值，并求S取得最小值时的值． 1．古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 2．已知，给出以下两个命题，则（   ） ①对任意，都有；②存在，使得． A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 3．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 4．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.射线交正方形的边于点，连接，若，则用含的式子表示的值是___________． 6．已知且，若，则________． 7．设常数、，关于的方程的两个实数根是、. (1)若，，求和的值； (2)若，，分别求和的值． 8．已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业01 正弦、余弦、正切、余切 【知识点1 任意角与弧度制】 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角． 2.终边相同的角：所有与角终边相同的角连同角在内,可构成一个集合. 3.象限角：角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,那么角的终边在第几象限,就认为这个角是第几象限角．具体表示如下： （1）第一象限的角： （2）第二象限的角： （3）第三象限的角： （4）第四象限的角： 4.弧度制 （1）定义：把长度等于半径的弧所对的圆心角叫作弧度的角,记作,这种用弧度作单位来度量角的单位制叫作弧度制． （2）角的弧度数公式： (弧长用表示)． （3）角度与弧度的换算：①；②． 【知识点2 扇形弧长与面积】 1.设扇形的半径为，弧长为，或为其圆心角，则弧长公式与扇形面积公式如下： （1）扇形的弧长：； （2）扇形的面积：. 【知识点3 单位圆】 半径为、圆心在坐标原点的圆称为单位圆。常用来定义三角函数、推导三角公式、判断三角函数符号与取值范围。 【知识点4 正弦、余弦、正切、余切的定义】 1. 在平面直角坐标系中的定义：设角终边上任意一点（原点除外）的坐标为，它与原点的距离为，。 则正弦，余弦，正切，余切． 2. 在单位圆中的定义：设角终边与单位圆相交于点， 则正弦，余弦，正切，余切． 3.符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦。 【知识点5 同角三角关系】 1.两个同角关系： （1） （2） 2.同角关系的应用：、、知一求二 ①. ②. 3.同角关系的应用：商数关系 ①. ②. ③. ④. 4.同角关系的应用：完全平方关系 ①. ②. ③. 【知识点6 诱导公式】 1. 口诀：奇变偶不变，符号看象限。 1. 含义： · 偶不变： 加，为偶数，函数名不变； · 奇变：为奇数，正弦、余弦互变，正切、余切互变； · 符号看象限：将看作锐角，判断原角所在象限，确定函数正负。 1. 作用：把任意角三角函数转化为锐角三角函数求值、化简。 【题型1 任意角与弧度的有关概念】 1．与角终边相同的角可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角与角的终边相同可确定正确的表示方法. 【详解】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为. 2．下列说法正确的是（     ） A．第一象限角都比第二象限角小 B．小于的角是锐角 C．终边相同的角一定相等 D．终边在轴非负半轴上的角的集合是 【答案】D 【详解】选项A.是第一象限角，是第二象限角，但是，错误. 选项B.，但它不是锐角，错误. 选项C.终边相同的角相差的整数倍，不一定相等，错误. 选项D.终边在轴非负半轴上的角，就是加上的整数倍，集合表示为，正确. 3．角度与弧度之间的转化_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 【详解】； ； ； ； ． 4．将角化为弧度：______． 【答案】8π 【详解】由题意得. 【题型2 扇形弧长公式与面积公式的应用】 1．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 2．公元3世纪，刘徽提出“割圆术”，用圆内接正多边形的周长逼近圆周长来求圆周率的近似值.设圆的半径为，圆内接正边形的周长为，下列说法错误的是（   ） A．圆内接正边形的边长为 B．用近似圆周长时， C．当时，的近似值为3 D．边数越大，的值越小于 【答案】D 【分析】根据“割圆术”思想，结合等腰三角形性质及近似圆周长分析判断即可. 【详解】对于A：圆内接正边形的中心角为，用正边形的一边与圆心构成等腰三角形， 则边长为，A正确. 对于B：正边形的周长，圆周长为， 用近似圆周长时，，即，B正确. 对于C：当时，圆内接正六边形的边长等于半径，周长， 近似圆周长，得，C正确. 对于D：边数越大，正边形的周长越接近圆周长，会越来越接近，而不是“越小于”，D错误. 3．已知一个扇形的弧所对的圆心角为，半径，则该扇形的弧长为___________（结果保留） 【答案】 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，半径， 则该扇形的弧长为 4．已知一个扇形的圆心角为2弧度，且所对应的弧长为1，则该扇形的面积为__________． 【答案】 【详解】已知圆心角弧度，弧长，设半径为，则，解得， 扇形面积． 【题型3 任意角的正弦、余弦、正切、余切】 1．若点为角终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由三角函数的定义可得. 【详解】因为点为角终边上一点，所以. 由任意角的三角函数定义得：. 2．若角的终边上有一点，且，则（   ） A．1 B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】由题意得：， 所以，解得. 3．已知角终边上一点，若，则实数的值为______ 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用正弦函数定义列式求解. 【详解】依题意，，则的终边落在第一或第二象限， 又因为，则点在第一或第四象限，综上可得角在第一象限，所以， 即，解得. 4．角与单位圆的交点坐标为_________. 【答案】 【分析】根据三角函数的定义结合任意角的定义分析求解. 【详解】因为，可知角与角的终边相同， 且，， 所以角与单位圆的交点坐标为. 故答案为：. 【题型4 利用同角三角基本关系化简求值】 1．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据给定条件，利用正余弦齐次式法计算得解. 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 2．已知，求下列各式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由同角的三角函数关系式可得； （2）根据关系可得. 【详解】（1）由，两边平方可得：， 解得：； （2）由， 因，且，故，则， 故. 3．（1）若角的终边经过点，求的值； （2）已知，且为第二象限角，分别求和的值． 【答案】（1）；（2），. 【详解】（1）由角的终边经过点，得． 所以． 所以． （2）因为，所以． 又，所以，所以． 由，解得或， 因为是第二象限角，所以，所以， 所以． 4．（1）已知，求的值. （2）证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用齐次式“弦化切”的方法求解； （2）利用同角三角函数的基本关系对等式左侧进行化简证明. 【详解】（1）已知， 所以. （2）证明：. 【题型5 利用诱导公式化简求值】 1．求下列三角函数值： (1)cos390°； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）. 2．已知 (1)化简； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式逐项化简再约分即可； （2）由计算得的值，结合 知 ，故结果取负数. 【详解】（1） . （2）因为 ，所以， 因此. 又，，即， 因此. 3．化简 【答案】 【分析】利用诱导公式和同角三角函数的关系化简即可． 【详解】． 4．已知角以轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角α终边上点的坐标，结合任意角三角函数定义求出、，代入目标式计算即可； （2）利用三角函数诱导公式化简原式为，再结合终边上点的坐标求的值. 【详解】（1）点到坐标原点的距离， 根据任意角三角函数的定义： ，， 代入得； （2）利用诱导公式化简原式： 分子部分：，， ，， 因此分子， 分母部分：，，， 因此分母， 约分化简得原式， 根据定义. 【题型6 利用诱导公式与同角三角关系求值】 1．平面直角坐标系中，若角的始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线上． (1)求和的值； (2)若，化简并求值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据任意角三角函数值的定义分析求解即可； （2）利用诱导公式化简，并结合齐次式问题分析求解. 【详解】（1）由题意，角的终边在射线上，可取角的终边上一点为， 则，. （2）由， 由（1）可知：， 所以. 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式将已知条件化简为​​，再对等式两边平方，结合同角三角函数的平方关系，直接求出； （2）由（1）的结果，先通过求出的值，再联立方程组解出和，最后将其代入目标式计算出结果． 【详解】（1）因为， 且，， 所以， 所以，即， 所以，解得； （2）由（1）得 ， 又因为，所以，，所以， 所以， 由，解得， 所以． 3．在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中. (1)求实数的值 (2)求的值. (3)记点的横坐标为，若，求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用单位圆即可求解； （2）利用诱导公式先化简，再利用三角函数的定义即可求解； （3）由已知得，又，进而得，利用同角三角函数得，进而求解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，则，又是锐角，可得； （2）由（1）得，， 所以 ； （3）由（1）可知，且为锐角，可得， 根据三角函数定义可得：， 因为， 由， 所以. 4．已知角 的终边经过点 (1)求 的值； (2)求 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）已知角 的终边经过点 ，点到原点的距离， 根据三角函数定义： ． （2），， ，， 代入原式： ， 由点 可知： ，所以． 1．函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，得到，分情况讨论，即可得出结果. 【详解】因为， 当为第一象限角时，； 当为第三象限角时，； 当为第二、四象限角时，. 2．已知，则“存在使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由三角函数的诱导公式可判断充分性，通过特殊值可判断必要性. 【详解】存在使得， 则， 则，充分性成立， 取，满足， 此时无论取何值，，，必要性不成立. 3．已知，当时，中的一个元素与角终边相同，若取最小正值为，最大负值为，则（    ） A．－12 B．－10 C．－4 D．4 【答案】C 【分析】求出与角终边相同的角的集合，根据题意得到，结合特殊值法求解即可. 【详解】与终边相同的角的集合为， 由题意知，，，解得，， 当时，，故的最小整数值为1，此时的最小正值为. 当时，，故的最大整数值为0，此时的最大负值为. 所以. 4．如下图，已知是圆心角为的扇形，是扇形弧上的点，四边形是扇形的内接矩形，其中，，则扇形的面积为______． 【答案】 【分析】先根据正切函数的定义求出，再根据勾股定理求出扇形半径，进而根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】在矩形中，有，，且， 则在中，，所以，解得， 所以在中，，所以， 即扇形半径的平方为， 所以扇形的面积为． 5．若集合，，且，则的取值范围是________. 【答案】或 【分析】由交集为空集得出，解之可得． 【详解】因为，所以， 所以； 又，即，所以； 即的范围是或． 6．如图，已知矩形ABCD截圆A所得的劣弧（弧长小于半圆的弧）BE的长为，，则矩形在圆外部分的面积为________． 【答案】 【分析】由弧长公式求出，再由矩形面积减去扇形面积即可. 【详解】依题意，所以，又，, 所以，所以， 所以矩形在圆外部分的面积. 7．某企业计划制作一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由扇形挖去扇形后构成）．已知弧的长度为厘米，弧的长度为厘米，，且该铭牌截面的面积为900平方厘米． (1)若厘米，求的值； (2)求该铭牌截面的周长的最小值． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】（1）根据弧长公式及扇形的面积公式求解即可； （2）根据已知条件得到扇形圆心角与之间的关系式，进而根据弧长公式可得到该铭牌截面的周长的表达式，结合基本不等式可得结果. 【详解】（1）设该扇形的圆心角为，因为厘米，， 所以厘米，所以厘米， 所以该铭牌截面的面积为，解得， 所以厘米. （2）设该扇形的圆心角为，因为， 所以， 所以该铭牌截面的面积为，解得. 所以该铭牌截面的周长为， 将代入得， 当且仅当，即厘米，时等号成立， 所以该铭牌截面的周长的最小值为厘米． 8．如图，，是两条互相平行的直线，点M，N分别在，上，，点P在线段上，且．点A，B分别在，上，且，设． (1)若为等腰直角三角形，求的值． (2)设的面积为S． （i）求S关于的函数解析式； （ii）求S的最小值，并求S取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）最小值为4，． 【分析】（1）过点B作，垂足为C，则，再利用三角函数表示出，结合，可得，进而可得； （2）（i）由（1）可知，，再根据即可求解； （ii）根据基本不等式可得即可得到S的最小值，再结合取等条件即可． 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，所以． 过点B作，垂足为C，则． 因为，所以，． 由，得，则； （2）（i）因为，所以． 由（1）可知，，则． （ii）因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则， 由，，可得， 故S的最小值为4，此时． 1．古希腊地理学家埃拉托色尼用下面的方法估算地球周长（即赤道周长）.他从书中得知，位于尼罗河第一瀑布的赛伊尼（现在的阿斯旺，在北回归线上），夏至那天正午立杆无影，同样在夏至那天，他所在的城市——古埃及北部的亚历山大城，立杆测得日影角大约为7°，（如图），埃拉托色尼猜想因为地球是圆的，太阳距离地球很遥远，因此相当于太阳光平行照射在地球上.根据平面几何知识，平行线内错角相等，因此日影角与两地对应的地心角相等，已知埃拉托色尼估算两地距离大约800km，那么以下数据与他估算得出的地球周长最接近的为（   ） A．40000km B．41000km C．42000km D．43000km 【答案】B 【分析】根据整个圆周为，利用两地的弧长占地球周长的比例求解即可. 【详解】由平行线内错角相等，得， 由题意可知，两地距离大约800km则弧长， 所以圆周长， 所以估算得出的地球周长最接近的为41000km． 2．已知，给出以下两个命题，则（   ） ①对任意，都有；②存在，使得． A．①②均为真命题 B．①②均为假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】A 【分析】利用分类讨论思想，数形结合思想来判断不等式成立，可判断①，利用赋值，即可判断②. 【详解】 命题①：如图，在单位圆中，令，根据正弦函数的定义有：， 根据弧长公式可得：弧长为，当时，由图可得弧长大于线段长， 即， 再根据正弦函数曲线，如图可知：当时，正弦曲线在线段的上方， 由于直线的方程为，则当时，有， 因为，所以有 当，时，， 根据正弦函数单调性可知： ， 又因为，所以，即满足， 当，时，， 同理根据正弦函数单调性可知： ， 又因为，所以，即满足， 当，时，， 所以有，即满足， 综上命题①是真命题； 命题②：当时，由，可得， 由， 构造函数，由，， 则根据零点存在性定理，可知在区间上有零点， 即存在，使得成立， 从而可证明：存在，使得， 故命题②是真命题； 故选：A 3．设，其中，若，则（    ） A．-5 B．7 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】，其中， 若，则， 故选：D 4．小明同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上.某斜面上有两根长为2米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为1.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为1.45米.则斜面的底角________.（结果用角度制表示，精确到0.01°） 【答案】 【分析】先根据在处的杆子算出阳光和水平面的夹角的正切值，然后结合处的杆子算出斜面的底角. 【详解】设阳光与水平面的夹角为，则， 设与斜面的接触点为的杆子为，为长度为1.45米的影子， 过点作于点，其中与水平面平行，设， 则，解得， 则. 5．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.射线交正方形的边于点，连接，若，则用含的式子表示的值是___________． 【答案】 【分析】过K作交于M，不妨设，小正方形边长为，根据，得到，，再利用得到即可求解． 【详解】过K作交于M， 易得，， 不妨设，小正方形边长为， 则，，， 又为等腰直角三角形， ， 又， ，即， 解得， ． 故答案为：． 6．已知且，若，则________． 【答案】 【分析】根据诱导公式化简得，再由角的范围即可确定，再用诱导公式化简求值即可. 【详解】， ， 因为，所以， 化简得，所以，即， 因为且，所以且， 所以且，所以， . 故答案为： 7．设常数、，关于的方程的两个实数根是、. (1)若，，求和的值； (2)若，，分别求和的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求出，最后根据韦达定理，计算即可. （2）利用，求出，再利用，以及，判断，，计算即可. 【详解】（1）， ， ， 又关于的方程的两个实数根是、， ，， ， . （2），，， ， ， 即， 解得：，此时, ， 即 ， ，， ，， ∴． 8．已知函数，其中，. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】小问1：由诱导公式化简出，得出，再将式子分子用代换，用同角三角函数关系计算即可； 小问2：将带入化简，得，两边平方得，用同角三角函数关系计算即可. 【详解】（1）因为 ， 由可知，所以， 又因为 . （2）因为， 所以， 即， 所以， 两边平方得， 即 即， 解得， 故. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $