精品解析：湖南衡阳市衡阳县第四中学2025-2026学年下学期高二6月检测数学试卷

衡阳县四中2025-2026年下学期高二6月检测卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 2. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ） A. 1600 B. 1800 C. 2100 D. 2700 5. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 7. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 8. 函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（ ） A. 经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中 B. 对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位 C. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 D. 若相关系数，则与的相关程度很强 10. 已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 11. 已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列满足，，则通项公式为 _____. 13. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 17. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 18. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳县四中2025-2026年下学期高二6月检测卷 数学 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.每小题四个选项中只有一项符合题目要求. 1. 在等差数列中，为其前项的和，若，，则（ ） A. 36 B. 48 C. 72 D. 108 【答案】C 【解析】 【分析】由已知条件列出方程，求出首项和公差代入公式即可求解. 【详解】在等差数列中，， 依题意，，即，， 两式相减解得，代入得， 因此. 故选：C. 2. 随机变量的分布列如下表所示，若随机变量，则随机变量的数学期望（ ） 0 1 2 A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得，然后由期望公式、期望的性质计算即可求解. 【详解】由题意，故， 而，从而. 故选：A. 3. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，求导可得在上为减函数，可得结论. 【详解】.设，则， 当时，，所以在上为减函数，又， 所以，即. 故选：D. 4. 在某地区的高三第一次联考中，数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩高于120分的人数占总人数的，数学考试成绩在80分到100分（含80分和100分）之间的人数为900，则可以估计参加本次联考的总人数约为（ ） A. 1600 B. 1800 C. 2100 D. 2700 【答案】D 【解析】 【分析】应用正态分布性质及对应概率计算求解. 【详解】由题设，若X表示数学考试成绩，则，而， 所以，故参加本次联考的总人数约为． 故选:D． 5. 某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午去打球，则下午一定去游泳；若上午不去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式及贝叶斯公式计算求解. 【详解】设上午打球为事件A，下午游泳为事件B，易知，， 所以， 所以． 故选：A． 6. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 7. 已知在数列中，，，，则中的最大项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 记，整理得出的通项公式，分析当时和当时，即可得出中的最大项为. 【详解】记，由题意得， 整理可得， 得，即， 又，，所以，则是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 当时，，即， 当时，，即， 所以， 故中的最大项为. 故选：B 8. 函数在区间的值域为，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数单调性得函数值域，从而转化为有两个不等的实根，再由导数确定新函数的单调性确定函数的性质得结论． 【详解】易知在上是增函数， 所以数在区间的值域为， 又值域为，所以， 有两个不等的实根， 记（），则， 设，则，所以是增函数，又， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，而时，，时，， 所以， 故选：B． 二、选择题，本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列关于一元线性回归模型的叙述正确的有（ ） A. 经验回归直线经过样本中心点，点可以不在样本中 B. 对于经验回归直线，增加一个单位，平均增加个单位 C. 残差平方和越小，模型的拟合效果越差 D. 若相关系数，则与的相关程度很强 【答案】AB 【解析】 【分析】根据回归直线的相关性质判断AB选项，根据残差平方和的性质判断C选项，根据回归直线的性质判断D选项. 【详解】A选项，回归直线一定通过样本点的中心，但样本点的中心可以不在样本中，A选项正确； B选项，由及回归直线的性质，增加一个单位，平均增加个单位，B选项正确； C选项，残差的平方和越小，模型拟合效果越好，C选项错误； D选项，相关系数的绝对值接近时，才可以说与的相关程度很强， 但很明显和的偏差很大，因此与的相关程度不强，D选项错误. 故选：AB 10. 已知是函数的导函数，且的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 在上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】对函数求导后，由，得或或，然后分和结合导函数的图象分析判断即可. 【详解】由题意得． 由图可知有3个零点，则，令，得或或． 当时，，若，则，不符合题意． 当时，，则或时，， 当或时，符合题意，A，B正确． 由图可知，，得，C错误． 因为当时，，所以在上单调递减，D正确． 故选：ABD 11. 已知数列满足，，，设，记数列的前项和为，数列的前n项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，只需要依次赋值计算即得；对于B，先推理得到，由得，从而得数列为公差为1的等差数列，由通项公式计算即得；对于C，利用错位相减法求和即得；对于D，根据条件将分成奇数项和偶数项分别求和，利用C项结论和等比数列的求和公式计算即得. 【详解】对于A，由，因， 可得，，故A正确； 对于B，当，时， （*）， 因，则， 故由（*）可得，则， 即数列为公差为1的等差数列， 则有，可得，故B正确； 对于C，由， 可得， 上面两式相减可得， 可得，故C错误； 对于D，由，，可得：， 则 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列满足，，则通项公式为 _____. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 13. 设随机变量服从正态分布，且，若，则__________. 【答案】0.5## 【解析】 【分析】根据正态分布的性质，即正态分布曲线关于均值对称，结合已知条件求出的值. 【详解】已知随机变量服从正态分布，根据正态分布的性质可知，正态分布曲线关于均值对称.  因为，，且，根据正态分布曲线的对称性可知，3.5与关于对称轴对称.  已知3.5与关于对称，所以，可得：， 移项可得：.  故答案为：0.5. 14. 已知，若不等式恒成立，则a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】不等式同构变形为 ，分类讨论，在时，引入函数，确实单调性后转化为，，由导数求得的最大值，从而可得参数范围． 【详解】因为，，所以等价于. 若，则，，显然恒成立. 若，令，则在上恒成立，则在上单调递增， 由，得，则，则在上恒成立. 令，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则，从而，解得.综上所述，a的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：不等式同构变形：若不等式能变形为，而是单调的如递增，则转化为，经常用到的如对数与指数间的互化：，，，，等等． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和满足，数列是公差为的等差数列，. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）由即可求解的通项公式，又根据等差数列的通项公式即可求解数列的通项公式； （2）由，从而根据裂项相消求和法及分组求和法即可求解. 【小问1详解】 解：因为，所以， 当时，， 由于满足，所以的通项公式为， 因为数列是公差为的等差数列，， 所以，所以； 【小问2详解】 解：因为， 所以. 16. 已知函数，函数图像在点处的切线方程为，且当时，函数取得极值. （1）求函数的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义及其极值定义计算即可得解； （2）利用函数单调性与导函数的关系可得当时，，计算即可得解. 【小问1详解】 ，则有， 解得，即； 【小问2详解】 由，， 由在区间上单调递增，故当时，， 令，解得或， 故或， 对，该不等式组无解， 对，解得， 综上所述，. 17. 某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男 45 5 50 女 35 15 50 合计 80 20 100 （1）根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？ （2）为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 附：. 0.05 0.025 0.01 0.005 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可，（2）结合超几何分布求解即可. 【小问1详解】 零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为客户对该产品的评价结果与性别有关. 【小问2详解】 由题意得抽取的8人中，男性人数为， 女性人数为. 当3人中有2名女性和1名男性时，， 当3人全部为女性时，， 则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率. 18. 某学校工会组织趣味投篮比赛.每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种. 方式一：选手投篮次，每次投中可得分.未投中不得分，累计得分； 方式二：选手最多投次.如第1次投中可进行第次投篮，如第次投中可进行第次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中次可得分，未投中不得分，累计得分； 已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.假设甲，乙每次投中的概率均为.且每次投篮相互独立. （1）求甲得分不低于分的概率； （2）求乙得分的分布列及期望： （3）甲、乙谁胜出的可能性更大？说明理由. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望； （3）甲获胜的可能性更大，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）计算出及的概率，求和即可得； （2）写出的可能取值后计算对应的概率即可得分布列，借助分布列即可得期望； （3）分别计算出甲获胜的概率与乙获胜的概率，比较大小即可得解. 【小问1详解】 设甲选择方式一参加比赛的得分为， ， ， 设甲得分不低于分为事件， 则； 【小问2详解】 设乙选择方式二参加比赛得分为，的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 所以； 【小问3详解】 甲胜出的可能性更大，理由如下： 甲获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③甲分、乙分，④甲分、乙分， 所以甲获胜的概率为： ， 乙获胜的情况有： ①甲分、乙分，②甲分、乙分，③乙分，④乙分， 所以乙获胜的概率为， 因为， 所以甲获胜的可能性更大. 19. 定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”． （1）若是上的“好函数”，求的取值范围． （2）（i）证明：是上的“好函数”． （ii）设，证明：． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用给定定义得到，再结合求解参数范围即可. （2）（i）利用给定定义结合换元法并构造函数，利用导数判断其单调性，进而得到，最后再证明结论即可. （ii）利用已知得到，再利用裂项相消法证明结论即可. 【小问1详解】 由题可知任意， 且，，即，解得， 因为，所以解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 （i）设， 则． 令，且， 则，则在上单调递增， 得到，即， 故是上的“好函数”. （ii）由（i）可知，当时，， 令，则， 即， 故， 化简可得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $