精品解析：湖北武汉市新洲区第一中学2026届211（第六轮）高三数学试卷

新洲一中2026届211（第六轮）高三数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出集合的补集，化简集合，再根据交集的概念可求出结果. 【详解】因为，所以， 又, 所以. 故选：B 2. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，. 选项A，为上的奇函数，且，，符合题意； 选项B，是非奇非偶函数，不合题意； 选项C，是定义在上的偶函数，不合题意； 选项D，是定义在上的奇函数，， ，不合题意. 3. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 4. 函数的零点在下列区间内（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性，结合函数的零点存在定理判断即可． 【详解】函数在定义域上连续，且为增函数， 又， ， 故函数的零点在区间内. 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合平面向量数量积的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为,所以 所以在上的投影向量的坐标为： ， 故选 ：C. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质和等比数列的通项公式列方程求解的值，从而利用等比数列的求和公式计算可得结果. 【详解】设各项均为正数的等比数列的公比为， ∵，，成等差数列，∴， ∴，∴，，解得. 则. 7. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角恒等变换及同角三角函数关系得，结合角的范围判断三角函数值的大小，进而得参数大小关系. 【详解】， ， ， 又，则，且， 所以. 故选：C 8. 点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得各角的正弦值，根据正弦定理及比例的性质即可求得，即椭圆的离心率. 【详解】如图， 中，若 则， 所以. 因为 ，所以； 因为所以， 因为，所以. 由，得. 所以. 由正弦定理，得， 设椭圆的焦距为，则椭圆的离心率. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 B. 命题“，”的否定是， C. 线性回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件，满足，，，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A选项：由频率的稳定性知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故A正确； 对于B选项：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题“，”的否定是“， ”，故B正确； 对于C选项：线性回归直线不一定经过样本数据点中的任何一个点，故C错误； 对于D选项：因为，所以，故D正确． 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 【答案】BC 【解析】 【分析】利用赋值法可判断AC，利用导数可判断B，利用二项式系数的性质可判断D. 【详解】对于A，令，可得，令，可得， 所以，故A错误； 对于B，， 两边求导，可得， 令，可得，故B正确； 对于C，当时，，所以除以8的余数是1，故C正确； 对于D，展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项为第4项，故D错误. 故选：BC. 11. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，作辅助线通过证明线面垂直证明线线垂直；对于B选项，找出二面角的平面角，计算四面体体积与的关系来判断体积的最大值；对于C选项，通过取各边中点把截面作出来，结合A选项得到截面为矩形，再计算面积；对于D选项，时，四面体有两个平面互相垂直，属于垂面型外接球，找到球心，计算出半径即可. 【详解】对于A选项，取中点，连接 由于与是两个等腰三角形，， 沿着翻折到，所以，,点为中点， 所以， 故平面, ,所以A选项正确； 对于B选项，作于点，作 于点,连接,那么由可知 ,那么为二面角的平面角, 面, 所以，面,， ， 所以，四面体体积的最大值为1，故B选项正确； 对于C选项，分别取 的中点 ，连接 , 根据中位线的性质可知 ,且 所以， 且 ，四边形 为平行四边形， 所以，直线且与平行的平面截四面体的截面为.当时，由B选项可知为正三角形，, , 由可得，,为矩形， ，故C选项错误； 对于选项D，当时，平面平面,由B选项可知平面, 取的外心，取的外心，外接圆半径, 分别作平面的垂线，平面的垂线 交于一点,即四面体外接球球心，作于点 ，由于，所以为等腰直角三角形， 所以，, 所以，， ，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件易判断出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用，即可求出的通项公式. 【详解】由题意知，由可得，所以， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列，所以. 当且时，， 又不满足上式，所以. 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用直线与曲线相切找出间的关系，然后求出的最小值. 【详解】设切点为， ，故切线的斜率，， 所以切线方程为， 又，故切线方程为，即，， . 故当时，的最小值为. 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，得到，进而得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接，则， 又因为，所以，即， 即，即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 【答案】（1） ，单调递减区间为 （2） 6 【解析】 【分析】（1）根据图象求出、、的值确定解析式，再利用正弦函数的单调性求解； （2）由函数值求出角，结合余弦定理和基本不等式求得的最大值。 【小问1详解】 由图象可知，函数的最大值为1，最小值为，又，所以； 观察图象，函数的半个周期， 所以周期； 由且，解得，此时； 由图象可知，函数图象过点，且该点位于单调递增区间上， 所以，， 即，； 因为，令，解得， 所以函数的解析式为； 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为. 【小问2详解】 由知， 因为，所以，即，因为为三角形内角，所以， 由余弦定理，由基本不等式，设，则，当且仅当时等号成立，故 16. 随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准.已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y（）与尺寸x（）之间近似满足关系式（b，c为大于0的常数）.现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x（〕 38 48 58 68 78 88 质量y（〕 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 （1）根据所给统计数据，求y关于x的回归方程； （2）若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差满足，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545？ 附：①对于样本，i）（i=1，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.②，则 【答案】（1） （2）800 【解析】 【分析】（1）按照公式求出与，写出回归方程；（2）根据正态分布及所给数据得出不等关系，解出答案. 【小问1详解】 ，，所以，即，整理为：，所以y关于x的回归方程为 【小问2详解】 因为，，所以，要想使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545，则满足，解得：，即至少需要抽取800件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545. 17. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点． （1）求二面角的正弦值； （2）线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解； （2）设线段上存在，根据向量的距离公式，求得得到的坐标，进而的值． 【小问1详解】 解：由底面为直角梯形，其中，，且， 所以，又由平面， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则平面的法向量，且， 可得， 设平面的法向量，则， 取，可得，所以， 设二面角夹角为，则，则，所以二面角的正弦值为. 【小问2详解】 解：设线段上存在，使得它到平面的距离为， 由，可得到平面的距离， 解得或(舍去)，所以，则． 18. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据曲率公式求解即可； （2）根据曲率公式求解函数曲率的最大值； （3）根据不存在曲率为0的点，得到在无实数解，令，通过多次求导，求得函数的最小值,进而得到的取值范围. 【小问1详解】 因为，则，， 所以 【小问2详解】 因为，则，， 所以， 令 则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以，所以曲率最大值为. 【小问3详解】 ， ， 因为不存在曲率为0的点，所以在无实数解， 令， ， 令，求导得， 故函数在上单调递增， 而，则存在，使， 即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 由，得， 则， 所以的取值范围是. 19. 已知动点到点的距离与其到直线的距离相等，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作倾斜角为的直线交曲线于点（异于点），设为正整数，对于曲线上的点，存在常数，使得，且直线的斜率为0. （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）的面积是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的定义求解； （2）（i）设，由向量共线关系得直线与直线平行，进而得到直线的倾斜角为，利用两点斜率公式，结合在抛物线上，通过计算得到，由直线的斜率为0，从而得到的坐标，则，根据等差数列的定义得到数列是等差数列，利用等差数列的通项公式求出； （ii）由得到，从而得到，，求出直线的斜率，利用点斜式求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，利用两点间距离公式求出，从而得到的面积，计算得解. 【小问1详解】 动点到点的距离与其到直线的距离相等， 根据抛物线的定义可知动点的轨迹是以为焦点， 以直线为准线的抛物线，且其轨迹方程为， ，，动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 （i）设， 存在常数，使得，直线与直线平行， 直线与直线平行， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，， ， 在抛物线上，， ， 转化为， ，，， 直线的斜率为0，与的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ， ，， 设，则，即， 故数列是等差数列，公差为，首项为， 则； （ii）由（i）知，则，即，， 则直线的斜率， 故直线的方程为， 即， 点到直线的距离为 ， 线段， 所以的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新洲一中2026届211（第六轮）高三数学试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（ ） A. B. C. D. 3. “或”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 函数的零点在下列区间内（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，且满足，，成等差数列，则（ ） A. 15 B. 17 C. 80 D. 82 7. 已知，若，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 点在以为焦点的椭圆上，若，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率 B. 命题“，”的否定是， C. 线性回归直线至少经过其样本数据点中的一个点 D. 若事件，满足，，，则 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 当时，除以8的余数是1 D. 展开式中二项式系数最大项为第3项 11. 如图1，与是两个等腰三角形，，.将沿着翻折到，如图2，设二面角的平面角为，，分别为和的中点，则（ ） A. B. 四面体体积的最大值为1 C. 时，过直线且与平行的平面截四面体所得截面面积为 D. 时，四面体外接球表面积为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知数列的前项和为，且，，则______． 13. 若直线与曲线相切，则的最小值为________． 14. 已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 知函数的部分图象如图所示． （1）求函数的解析式和单调递减区间； （2）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值． 16. 随着全球经济一体化进程的不断加快，机械零件的加工质量决定了制造工厂的生存，零件加工精度逐渐成为供应商判断制造公司产品的标准.已知某公司生产不同规格的一种产品，根据检测精度的标准，其合格产品的质量y（）与尺寸x（）之间近似满足关系式（b，c为大于0的常数）.现随机从中抽取6件合格产品，测得数据如下： 尺寸x（〕 38 48 58 68 78 88 质量y（〕 16.8 18.8 20.7 22.4 24 25.5 根据测得数据作出如下处理：令，得相关统计量的值如下表： 75.3 24.6 18.3 101.4 （1）根据所给统计数据，求y关于x的回归方程； （2）若从一批该产品中抽取n件进行检测，已知检测结果的误差满足，求至少需要抽取多少件该产品，才能使误差在（-0.1，0.1）的概率不少于0.9545？ 附：①对于样本，i）（i=1，2，…，n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，.②，则 17. 如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点． （1）求二面角的正弦值； （2）线段上是否存在，使得它到平面的距离为? 若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在（0，1）的曲率； （2）求曲线曲率的最大值； （3）函数，若不存在曲率为0的点，求实数的取值范围. 19. 已知动点到点的距离与其到直线的距离相等，记动点的轨迹为. （1）求的方程； （2）过点作倾斜角为的直线交曲线于点（异于点），设为正整数，对于曲线上的点，存在常数，使得，且直线的斜率为0. （i）求点的横坐标（用表示）； （ii）的面积是否为定值?若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $