安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高一下学期5月月考数学试题

**基本信息** 以“赵爽弦图”文化传承与湖泊测量现实应用为情境，梯度设计复数、向量、解三角形试题，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数（1）、向量（2,3）、解三角形（8）|第6题赵爽弦图渗透数学文化| |多选|3/18|向量（9）、解三角形（10,11）|第11题结合不等式考查取值范围| |填空|3/15|复数（12）、向量（13）、解三角形（14）|基础运算与性质应用| |解答|5/77|复数（15）、向量（16）、解三角形（17,18,19）|第19题湖泊测量建模，综合考查正弦定理与最值|

定远育才学校2025-2026学年高一（下）月考 数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若复数满足则对应的点位于复平面的（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设向量则是的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知非零向量与满足，且，则为（ ） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 4.若，，则（ ） A. B. C. D. 5.在平行四边形中为的中点，则( ) A.2 B. C.1 D. 6.我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知，则（） A. B. C. D. 7.已知向量，将向量绕原点O沿逆时针方向旋转到的位置，则点的横坐标为(    ) A. B. C.0 D.1 8.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则 A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量则下列结论正确的是（） A. B. C.与的夹角为 D.在上的投影向量为 10.在中，．则下列结论正确的有（） A. B. C.的面积为3 D.的外接圆半径为 11.在中，内角所对的边分别为则下列说法正确的是( ) A.若则 B.当时最小值为 C.当有两个解时的取值范围是 D.当为锐角三角形时的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知复数，则                  ． 13.已知向量，若，则的值为       . 14.设的内角的对边分别为，且，，，则                  . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.（13分）已知在复平面内，复数对应的点分别为A，B，C. (1)求 (2) 已知四点A、B、C、D组成平行四边形求D点坐标以及的值. 16. （15分）如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. （15分）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且. (1) 求A的大小； (2) 若a＝7，且顶点A到边BC的距离等于，求b和c的长. 18. （17分）在中，角，，所对的边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，，求及的面积． 19. （17分）某高中高一学生成立了课外实践数学小组，计划通过数学建模的方法来测量某人工圆形湖泊的直径，如图为该人工湖泊的大致俯视图，该小组成员首先在湖泊边缘处点处固定一旗帜，然后从点沿逆时针方向绕着湖泊边缘走到点处固定一旗帜，并在红外线角度测量仪的帮助下从点逆时针走至点处，此时测得且测得米米． (1) 求该人工圆形湖泊的直径； (2)若为人工圆形湖泊优弧上一动点（异于两点），求四边形周长的取值范围． 答案 1.C 2.A 3.A 4.B 5.B 6.A 7.C 8.B 9.CD 10.BD 11.BD 12. 13. 14. 15.解：(1)由得对应点 对应点 对应点. 故则. (2)因为四边形为平行四边形，故. 由得. 设则故解得即. 由得. 故. 16.（1）解：， 因为，所以， 则；， 则. （2）证明：， ， 而， 所以与共线，且有公共点，故，，三点共线. 17.解：(1)因为， 由正弦定理为外接圆半径)， 代入得， 两边乘得， 展开右边得， 两边除以2得.由余弦定理， 将代入得，又， 故. (2)因为，所以.顶点到的距离为， 故面积.又， 所以， 解得. 联立与，得， 而， 故， 因此、为3和5， 即或. 18.解：(1) 在△ABC中,由及正弦定理得. 因为,所以. 故. 又,则. (2)由(1)知,且,,由正弦定理得. 由,,得. 因为,所以,故. 在△ABC中,. 则. 由三角恒等变换得... 故△ABC的面积. 19.解：(1)在中，由余弦定理得. 即故. 设该人工圆形湖泊的半径为 由正弦定理得. 因为 所以则 故该人工圆形湖泊的直径为. (2)因为四点共圆 所以. 在中，由余弦定理得. 因为 所以即. 故. 因为 所以. 即 故 当且仅当时取等号. 又在中 则. 因为四边形的周长为 所以四边形周长的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $