26.1 二次函数的概念 课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数的概念，通过喷泉水流、篮球入篮路线等情境导入，复习函数及一次函数知识，搭建从一次函数到二次函数的学习支架，帮助学生建立新旧知识联系。 其亮点在于以实际问题为载体，如矩形面积、球队比赛场次等，引导学生抽象数量关系培养数学眼光，通过对比归纳函数共同点发展推理意识，例题练习结合生活实例提升模型意识与应用能力，助力学生理解概念，教师教学更具针对性。

二次函数的概念 R·九年级上册 1 学习目标 1.会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系. 2.能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数. 情境导入 你是否注意过喷泉水流所经过的路线？ 你是否注意过篮球入篮的路线？ 它们会与某种函数有联系吗？ 什么是函数？ 1.什么是函数？ 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，我们就说x是自变量，y是x的函数. 2.目前，我们已经学习了哪些函数？ 一次函数 y=kx+b(k，b是常数，k≠0) 正比例函数 y=kx(k≠0) 用长为40m的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y(单位：m²)会随矩形一边长 x (单位：m)的变化而变化，y与x之间有什么关系? y=x(40÷2－x) 即 y= －x2+20x 不同于一次函数的新函数 问题1：n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 【分析】每支球队与其他_____支球队各比赛一场. n-1 m= n(n-1) m= n2- n 探索新知 问题2：某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的年产量y（单位：t）将由x的值确定，y与x之间的关系应怎样表示? 【分析】一年后的产量： 20(1+x) t 两年后的产量： 20(1+x)(1+x) t y=20(1+x)2 y=20x2+40x+20 y= -x2+20x 思 考 m= n2- n y=20x2+40x+20 这三个函数有什么共同点? 3.二次项系数不为0，即a≠0. 1.函数解析式是整式； 2.自变量的最高次数是2. 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 二次函数解析式必须同时满足的三个条件： 二次函数的一般形式： y=ax²+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的特殊形式： 当b=0，c=0时， y=ax2(a≠0) 当c=0时， y=ax2+bx(a≠0) 当b=0时， y=ax2+c(a≠0) 一次项系数、常数项可以为0. 1.判断下列函数中，哪些是二次函数?若是二次函数，分别指出二次项系数、一次项系数和常数项. (1)y=3(x-1)2+1 (2)y= (3)S=3-2t2 先整理化简 y=3x²-6x+4 二次项系数：3,一次项系数：-6,常数项：4 √ 不是整式 × √ =-2t2+3 二次项系数：-2,一次项系数：0,常数项：3 (4)y=(x+3)2-x2 先整理化简 y=6x+9 × (5)V=10πr2 √ 二次项系数：10π,一次项系数：0,常数项：0 (6)y=ax2 × a≠0才是二次函数 归纳：判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 2. (1)已知函数y=(k-2)x2-5x+3是二次函数，求k的取值范围. 一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0) 解：∵k-2≠0， ∴k≠2. (2)已知函数y=4xk-3+x-5是二次函数，求k的值. 解：∵k-3=2， ∴k=5. (3)y=(m-2) +4是二次函数，求m的取值范围和函数解析式. 解： m2-2=2， m-2≠0. 得 m=±2， m≠2. ∴m=-2. ∴此函数解析式为y=-4x2+4. 本题易忽略二次项系数a≠0这一限制条件，需要引起同学们的重视. 例 （1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. 【分析】 解：S=2πr2+2πr·r 即 S=4πr2. r r 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位：万件）关于x的函数解析式. 解：y = 8(1－x)2 即y = 8x2 － 16x+8. 练习 1.写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)y=8x²-16x+8; (2) y=x²; (3) y=-x2+5x; (4)y=2(x-1)²-5. 【教材P31练习 第1题】 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 8 -16 8 1 0 0 二次项系数: 一次项系数: 常数项: - 5 0 =2x2-4x-3 二次项系数: 一次项系数: 常数项: 2 -4 -3 练习 2.如图，矩形绿地的两边长各增加 x m，扩充后的绿地面积为y m2. 写出y关于x的函数解析式. 【教材P31练习 第2题】 y = (30+x)(20+x) 即y= x2+50x+600. 3.提出一个问题，使其中变量之间的关系可以用一个二次函数来表示. 练习 【教材P31练习 第3题】 随堂练习 1. 下列函数是二次函数的是（ ） A.y=2x+1 B.y=1 C.y=x2+2 D.y= 2. 二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A.1 B.-1 C.7 D.-6 3.已知函数y=(a-1)x2+3x-1，若y是x的二次函数，则a的取值范围是 . C B a≠1 4.某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，则经过两次降价后的价格y（单位：元）与每次降价的百分率x的函数关系式是 . 5.正方形的边长为10cm，在中间挖去一个边长为xcm的正方形，若剩余部分的面积为ycm2，则y与x的函数关系式是y=100-x2，x的取值范围为 . y=2(1-x)2 0≤x≤10 6.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，写出△PBQ的面积S与出发时间t（s）的函数关系式及t的取值范围. 解：依题意，得AP=2t, BQ=4t. ∵AB=12, ∴PB=12-2t, t的取值范围为0≤t≤6. 课堂小结 二次函数 定义 右边是整式； 自变量的最高次数是2； 二次项系数a≠0. 一般形式 y=ax2+bx+c(a≠0，a,b,c是常数) 特殊形式 y=ax2； y=ax2+bx； y=ax2+c (a≠0，a,b,c是常数). 课后作业 1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. $