精品解析：安徽合肥市庐江县2026年九年级下学期教学质量第二次抽测数学试题

安徽合肥市庐江县2026年九年级下学期教学质量第二次抽测数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，直接求解即可． 【详解】解：与只有符号不同的数为， 的相反数是． 2. 年全年，庐江县实现地区生产总值（）亿元，扣除物价涨跌因素后，实际比上年增长，其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把亿转化为，再根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】解： 亿 ． 3. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：解，得， 解集表示在数轴上为． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘法和除法运算法则，积的乘方运算法则，逐一判断选项即可． 【详解】解：与不是同类项，不能合并，故选项A，B错误； ，故选项C正确； ，故选项D错误． 5. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的主视图为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此求解即可． 【详解】解：根据主视图是从正面看到的图形，结合俯视图，可知C符合题意． 故选A． 6. 物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】将已知的下落高度和重力加速度代入公式，计算得到的表达式，再通过比较被开方数大小估算无理数的范围，即可得到结果． 【详解】解：∵ ，，代入公式 得， ， 又∵ ，即 ， ∴ 下落时间介于和之间． 7. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的、两点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由，，，得，，故，又，故，从而，由弧长公式得，． 【详解】解：如图连接， ，，， ，， ， 又， ， ， ． 8. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ） A. 若补充“”，则四边形是矩形 B. 若补充“”，则四边形是菱形 C. 若补充“”，则四边形是矩形 D. 若补充“”，则四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确；由，得垂直平分，当添加“”，则，因为，所以，故，故，从而，故四边形是菱形，故选项B正确；当添加“”，因为，所以四边形是平行四边形，又，故四边形是菱形，故选项C不正确；当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确． 【详解】解：当添加“”，无法证明四边形是矩形，故选项A不正确； ，， 垂直平分， 当添加“”，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 四边形是菱形，故选项B正确； 当添加“”， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故选项C不正确； 当添加“”，无法证明四边形是正方形，故选项D不正确． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象确定、、的符号，由它们的符号判定一次函数图象与反比例函数图象所经过的象限即可． 【详解】解：抛物线的开口方向向上， ， 对称轴在y轴的右侧，则a、b异号， ， 又因为抛物线与y轴的交点在x轴下方， ， ， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 由图象可知：当时，， 反比例函数经过第一、三象限， 综上所述，符合条件的图象是选项B， 故选：B． 【点睛】本题综合考查了一次函数、二次函数以及反比例函数的图象，熟练掌握图象与函数关系式中系数的关系是解题的关键． 10. 如图，在中，，，，点是的中点，过点作直线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，，过点B作，垂足为H，由点是的中点得，故，从而，则，当时，点A、点B到直线m距离之和达到最大值，过点A作，垂足为F，在中，，，故，从而，在中，，，故，从而，因此的最大值为． 【详解】解：在中，，， ， 如图，过点B作，垂足为H， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 对于过点D的任意直线m，点A、点B到直线m距离之和的最大值就等于线段的长度，即：当时，点A、点B到直线m距离之和达到最大值， 如图，过点A作，垂足为F， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 的最大值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 12. 从，，三个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足关于的方程有实数根的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】先列举出选取两个不同的数分别记为,的所有等可能结果，再根据一元二次方程根的判别式确定方程有实数根的条件，统计符合条件的结果数，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】解：从,,三个数中随机选取两个不同的数，分别记为,，所有等可能的结果为：,,,,,，共种， 对于一元二次方程，方程有实数根的条件为判别式 逐一验证可得，满足的结果有,,，共种， 根据概率公式，所求概率为． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为，为的中点，连接．若的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，那么，再由，即可求解． 【详解】解：设， 由题意得， ∵为的中点， ， ， ， ． 14. 如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿折叠得到，点的对应点为，延长交于点． （1）值为________； （2）的长为________． 【答案】 ①. 2 ②. 9 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形的内角和定理，以及平角的定义，进行求解即可； （2）作交于点，易得，设，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出，在中，利用求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可. 【详解】解：（1）∵矩形， ∴，， ∵折叠， ∴， 设， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点， 则， ∴设，则， ∵点是的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴. 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再用因式分解法求解． 【详解】解：， 移项得， 因式分解，得， ∴或， 解得：． 16. 在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点．的三个顶点均在格点处． （1）以为对称中心作出的中心对称图形； （2）仅用无刻度直尺，借助网格线和格点，过点作，垂足为．（保留必要的作图痕迹） 【答案】（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质，作图即可； （2）取格点，连接交于，则，得到，进而得到，即. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元．问每套光伏组件和每台并网逆变器的单价分别是多少万元？ 【答案】光伏组件每套单价为12万元，并网逆变器每台单价为3万元 【解析】 【分析】设光伏组件每套单价为x万元，并网逆变器每台单价为万元，根据“采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元”列方程组求解即可． 【详解】解：设光伏组件每套单价为x万元，并网逆变器每台单价为万元， 根据题意列得：， 解得， 答：光伏组件每套单价为12万元，并网逆变器每台单价为3万元． 18. 某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示： 数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 【答案】校徽的长度约为米． 【解析】 【分析】先证明四边形、是矩形，得到，，在中，，在中，，最后通过算得答案． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）， （米）， 答：校徽的长度约为米． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为普及环保知识，某校开展七年级垃圾分类知识竞赛，随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析．现随机抽取七年级部分参赛学生成绩进行统计并深度分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：：，：，：，：），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在等级中的具体分数为：，，，，，，，，，，，． 请根据上述信息解决下列问题： （1）本次调查中，所抽取学生成绩为等级的人数是多少？ （2）在扇形统计图中，等级所对应的圆心角度数是________；本次抽取的学生成绩的中位数是________分； （3）若全校七年级有名学生，请估计成绩在范围内的学生人数是多少？ 【答案】（1）所抽取学生成绩为等级的人数为15人 （2）21.6，85 （3）成绩在范围内的学生人数约640人 【解析】 【分析】（1）根据扇形统计图以及条形统计图可求得总人数，即可求解； （2）根据等级的人数除以总人数乘以360度即可求得圆心角度数，根据中位数的定义求解即可； （3）利用样本估计总体的思想即可求解． 【小问1详解】 由条形统计图可知：等级的人数有20人，由扇形统计图可知：等级的人数占抽查总人数的， ∴抽查总人数为：（人）， 等级的人数：（人）， 则所抽取学生成绩为等级的人数为15人； 【小问2详解】 等级所对应的圆心角度数是：； 抽取的学生成绩的中位数是分； 【小问3详解】 （人）， 即成绩在范围内的学生人数约640人． 20. 如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积为，求的半径． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形为的内接四边形得，又，故，由于，故，又，故，即平分； （2）过点作于点，由于，故为的垂直平分线，故点在上，又，故，因为，即，所以，设，则，在Rt中，由勾股定理得，即，解得，故的半径为． 【小问1详解】 证明：∵四边形为的内接四边形， ， 又， ， ， ， 又， ， 平分； 【小问2详解】 解：过点作于点， ， 为的垂直平分线， ∴点在上， 又∵， ， ，即， ，解得， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得， 的半径为． 六、（本题满分12分） 21. 【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（ ）2； ②猜想：（ ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 【答案】（1）①5；② （2）①6，30；② （3）还需要600块正三角形地砖 【解析】 【分析】（1）根据给出的等式进行推导即可得出结果； （2）观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形，据此进行求解即可； （3）根据（2）中规律进行作答即可. 【小问1详解】 解：①； ②； ③； ④； …， ∴；； 【小问2详解】 解：观察可知，每一层均有6块正方形，后一层比前一层多12块正三角形， ∴①第层中分别含有6块正方形和块正三角形； ②第层中分别含有6块正方形和块正三角形； 【小问3详解】 解：铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖．理由如下： （层）， 块正方形地板砖可以铺设这样的图案10层； ∵铺设层需要正三角形地板砖的数量为：， ∴当时，． 故铺设这样的图案，还需要600块正三角形地板砖． 七、（本题满分12分） 22. 正方形中，与交于点，的平分线交于点，过点作垂足为． （1）如图，求证：； （2）如图，连并延长，分别交、于点、． ①求证：； ②求的值． 【答案】（1）详见解析 （2）①详见解析；② 【解析】 【分析】（1）求角得到，推出，利用等腰直角三角形的性质即可得到； （2）①证明，即可得到； ②设，则，证明，求得，再代入计算即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形， ， 又平分， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明：，又由（1）已证得， ， 又， ， 又，， ，， ， 又， ， 又， ， ； ②解：由（2）已证得，， ， ， 设，则， ，，， ， ， ，即， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过和两点，为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）为该抛物线上异于点的一动点，过点作对称轴的垂线，垂足为，若的值为，求的值； （3）在（2）的条件下，抛物线上另有一动点，，当时，均有，求的最大值． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点 （2） （3）的最大值为2 【解析】 【分析】（1）由抛物线经过和两点得其对称轴为直线，即，故当时，，从而顶点坐标为； （2）由题意可知，故，，从而，又，故，从而，因为在抛物线上，，所以，化简得，又，故； （3）由（1）、（2）可知抛物线解析式是，抛物线的对称轴是直线，由于当时，函数值的范围是，、在的图象上，故，将、两点坐标分别代入得：，解得：，故，解得，故的最大值为2． 【小问1详解】 解：抛物线经过和两点， 对称轴为直线，即， 当时，， 顶点坐标为； 【小问2详解】 解：由题意可知， ，， ， ， ， ， 在抛物线上，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：由（1）、（2）可知抛物线解析式是，抛物线的对称轴是直线， ∵当时，函数值的范围是，、在的图象上， ， 将、两点坐标分别代入得： ， 化简得：，， 解得：， ， ，即， 的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽合肥市庐江县2026年九年级下学期教学质量第二次抽测数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 的相反数是（    ） A. B. C. D. 2. 年全年，庐江县实现地区生产总值（）亿元，扣除物价涨跌因素后，实际比上年增长，其中数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 铜砝码作为古代计量工具，见证历史的变迁和计量技术的发展．如图是一个清代铜砝码的示意图及其俯视图，则它的主视图为（　　） A. B. C. D. 6. 物理学中，自由落体运动是指物体由静止开始，只受重力作用的下落运动（无空气阻力）．某实验小组利用真空管道装置模拟自由落体运动实验，测得物体自由下落的高度（单位：）与时间（单位：）满足关系式，其中，若物体从的高处自由下落，则下落的时间介于（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 7. 如图，直线，直线分别交、于点、，以为圆心，长为半径画弧，分别交、于直线同侧的、两点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四边形中，，，对角线与相交于点．若再补充一个条件，可判定该四边形为一种特殊的平行四边形，则以下说法正确的是（ ） A. 若补充“”，则四边形是矩形 B. 若补充“”，则四边形是菱形 C. 若补充“”，则四边形是矩形 D. 若补充“”，则四边形是正方形 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点是的中点，过点作直线，过点作，垂足为，过点作，垂足为，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 若分式有意义，则的取值范围是_____． 12. 从，，三个数中随机选取两个不同的数，分别记为，，则满足关于的方程有实数根的概率为________． 13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点、，过点作轴，垂足为，为的中点，连接．若的面积为，则的值为________． 14. 如图，在矩形中，，，点是的中点，将沿折叠得到，点的对应点为，延长交于点． （1）值为________； （2）的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程：． 16. 在如图所示的方格中，每个小正方形的顶点都叫做格点．的三个顶点均在格点处． （1）以为对称中心作出的中心对称图形； （2）仅用无刻度直尺，借助网格线和格点，过点作，垂足为．（保留必要的作图痕迹） 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 某企业为推进自身绿色低碳转型，计划在厂房屋顶建设分布式光伏电站．已知采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元；采购套单晶硅光伏组件和台组串式并网逆变器，共需设备款万元．问每套光伏组件和每台并网逆变器的单价分别是多少万元？ 18. 某综合实践小组围绕“校园内校徽高度的测量与计算”开展了项目式学习的实践活动，形成了如下实验报告． 项目主题 校徽高度的测量与计算 活动任务 如何测量校园内教学楼上方的校徽的高度 活动过程 方案说明 ．工具准备：测角仪、卷尺等． ．测量过程：如图，在教学楼正前方的水平地面上，有一棵大树（大树与教学楼均垂直于水平地面），大树底部为点，顶端为点． （1）学生甲站在与教学楼底部、大树底部共线的水平地面处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽的顶部的点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽顶部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点与，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽顶部的仰角； （2）学生甲沿直线向后退至点处时，视线恰能看到校徽的底部点，当学生甲的视线与大树顶端，校徽底部三点共线时，学生乙和丙同时测量，两点间的距离、学生甲的眼睛处看校徽底部的仰角． ．测量图示： 数据测量 ，，米，米，米，，，，均与地面垂直． 计算 … 请根据上述实验过程与测量数据，计算校徽的长度．（精确到米，参考数据：，，，，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 为普及环保知识，某校开展七年级垃圾分类知识竞赛，随机抽取部分学生的竞赛成绩进行统计分析．现随机抽取七年级部分参赛学生成绩进行统计并深度分析（测试满分100分且成绩均为整数，成绩用表示，分为四个等级：：，：，：，：），部分信息如下： 信息一： 信息二：被抽取的学生成绩在等级中的具体分数为：，，，，，，，，，，，． 请根据上述信息解决下列问题： （1）本次调查中，所抽取学生成绩为等级的人数是多少？ （2）在扇形统计图中，等级所对应的圆心角度数是________；本次抽取的学生成绩的中位数是________分； （3）若全校七年级有名学生，请估计成绩在范围内的学生人数是多少？ 20. 如图，内接于，且，点是劣弧上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点．连接． （1）求证：平分； （2）若，的面积为，求的半径． 六、（本题满分12分） 21. 【规律探究】数形结合是一种重要的数学思想，观察下列图形，探究其中的数学规律并解决问题． （1）探究一：点阵等式规律 观察下面的点阵（图）和相应的等式： ①； ②； ③； ④；… ①填空：（ ）2； ②猜想：（ ）2（是正整数）． （2）探究二：平面密铺规律 如图，此图案由边长相等的正六边形、正方形、正三角形无重叠、无缝隙密铺而成．图案的几何中心为块正六边形，从内向外逐层环绕正方形与正三角形：第一层有块正方形、块正三角形；第二层有块正方形、块正三角形；以此类推． ①第层中分别含有________块正方形和________块正三角形； ②第层中分别含有________块正方形和________块正三角形（用含的代数式表示）． （3）【应用拓展】 某市打算在一个新建广场中央，采用如图的样式铺设地面，现有块正六边形地砖和块正方形地砖，若正方形地砖全部用完，且恰好铺满完整的层数，按上述规律铺设，还需要多少块正三角形地砖？请写出计算过程． 七、（本题满分12分） 22. 正方形中，与交于点，的平分线交于点，过点作垂足为． （1）如图，求证：； （2）如图，连并延长，分别交、于点、． ①求证：； ②求的值． 八、（本题满分14分） 23. 已知抛物线经过和两点，为抛物线的顶点． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）为该抛物线上异于点的一动点，过点作对称轴的垂线，垂足为，若的值为，求的值； （3）在（2）的条件下，抛物线上另有一动点，，当时，均有，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $