精品解析：广东湛江市雷州八中（初中）教育集团2025-2026学年第二学期期中调研九年级数学卷

雷州八中（初中）教育集团2025-2026学年第二学期期中调研 九年级数学卷 时间：120分钟；满分：120分 说明： 1．全卷共8页，共23大题． 2．请考生把答案填写在答题卡指定区域． 一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 3. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 7. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A. 4， B. 3，π C. 2， D. 3，2π 10. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A. B. C. D. 2 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：________． 12. 计算：________． 13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 14. 计算的结果是______． 15. 如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是____． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： （1）善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． （2）判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 18. 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为． （1）风筝离地面多少m？ （2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 20. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有、、三种型号的纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的纯电动汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （1）【分析数据】 小明共调查了_____辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_____； 由上表填空：_____，_____． （2）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 21. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 在矩形中，已知E、F是边上的点，过点F作的垂线交边于点H． [发现]如图1，以为直径作，点A （填“在”或“不在”） 上；当时，的值是 ；当时，的值是 ； [论证]如图1，当时，求证：； [探究]如图2．当E、F是边的中点时，若，求的长； [拓展]如图3．将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，F是边上的动点，过点F在的右侧作的垂线，且有，当点G落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． （1）如图1，求的长． （2）点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； （3）约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雷州八中（初中）教育集团2025-2026学年第二学期期中调研 九年级数学卷 时间：120分钟；满分：120分 说明： 1．全卷共8页，共23大题． 2．请考生把答案填写在答题卡指定区域． 一、选择题：（本大题10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可． 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示， 亏损元应记作元， 故选：B． 2. 下面的图形是用数学家名字命名的，既是轴对称图形又是中心对称图形的（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 作为世界文化遗产的长城，其总长大约为．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的定义表示即可． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图，已知，于点，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在中，，， 则， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 5. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的一张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），则小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：由题意知，一共有4种等可能结果，其中小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的只有1种结果， 所以小乐抽到的邮票恰好是“立夏”的概率为， 故选：B． 【点睛】本题考查了根据概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． 6. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，应先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故选A． 7. 某校举行“预防溺水，从我做起”演讲比赛，7位评委给选手甲的评分如下：90，93，88，93，85，92，95，则这组数据的众数和中位数分别是（ ） A. 95，92 B. 93，93 C. 93，92 D. 95，93 【答案】C 【解析】 【分析】现将数列从小达到重新排列，再根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】数列从小达到重新排列如下： 85，88，90，92，93，93，95， 中位数为：92，众数为：93， 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数和众数的定义，理解中位数和众数的定义是解答本题的关键． 8. 对于抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的开口向下 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的图象与性质即可解答． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ∴A、C选项不符合题意，B选项符合题意； 因为当时，y随x的增大而减小，故D选项不符合题意． 故选：B． 9. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为（　　） A. 4， B. 3，π C. 2， D. 3，2π 【答案】D 【解析】 【分析】连接、，证出是等边三角形，根据勾股定理求出，再由弧长公式求出弧的长即可． 【详解】解：连接、， 六边形为正六边形， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 的长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理,熟练掌握正六边形的性质，由勾股定理求出是解决问题的关键． 10. 如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】直接套用平方差公式分解因式． 【详解】解：． 12. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】分别运用零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则和立方根的定义计算每一项，再合并计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 13. 若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程有两个相等的实数根判别式为零是解题的关键． 14. 计算的结果是______． 【答案】1 【解析】 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 15. 如图，菱形ABCD和菱形EFGH的面积分别为和，CD落在EF上，，若的面积为，则的面积是____． 【答案】8.5 【解析】 【分析】连接FH，菱形和菱形中，，可得，可得和同底等高，再根据，，计算即可得出答案. 【详解】解：连接FH，在菱形和菱形中，， ， ， ， 和同底等高， 菱形的面积为，， ， ， 故答案为：8.5. 【点睛】本题考查菱形的性质以及三角形面积的求法，关键在于识别出同底等高的三角形的面积相等. 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程①，得③． 将方程③代入②，得：， 解得． 把代入③，得． 方程组的解为 美美的做法： 由①，得③． 由②+③，得， 解得． 把代入①，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： （1）善善的消元方法是________；美美的消元方法是________． （2）判断________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】（1）代入消元法，加减消元法 （2）美美，正确解答如下： ， 由①，得③， 由②+③，得，解得， 把代入①，得， 原方程组的解为． 【解析】 【分析】（1）善善是利用代入进行的消元，美美是将②+③进行的消元． （2）根据美美在解答的过程中未在等式两边同时乘，导致计算错误，得到美美的解答过程有误，并根据加减消元法修改解题过程即可． 【小问1详解】 解：∵善善的做法由方程①转化为③，将方程③代入方程②消去，得，体现了代入消元的思想， ∴善善的做法是代入消元法， ∵美美的做法由①得到③，由②+③两式相加消去，体现了加减消元的思想， ∴美美的做法是加减消元法． 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，． （1）尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 【答案】（1）①见解析；②见解析 （2）四边形是菱形，见解析 【解析】 【分析】（1）①根据垂直平分线的画法作图；②以点O为圆心，为半径作圆，交于点E，连线即可； （2）根据菱形的判定定理证明即可． 【小问1详解】 ①如图：直线即为所求； ②如图，即为所求； ； 【小问2详解】 四边形是菱形，理由如下： ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了基本作图－线段垂直平分线，截取线段，菱形的判定定理，熟练掌握基本作图方法及菱形的判定定理是解题的关键． 18. 如图，小明同学在民族广场A处放风筝，风筝位于B处，风筝线AB长为，从A处看风筝的仰角为，小明的父母从C处看风筝的仰角为． （1）风筝离地面多少m？ （2）AC相距多少m？（结果保留小数点后一位，参考数据：，，，，，） 【答案】（1）50；（2）128.6 【解析】 【分析】（1）如图，过作，根据的正弦及的长即可求得即风筝的高度； （2）分别根据的余弦以及的正切求得，进而求得． 【详解】（1）如图，过作 m， 风筝离地面50m （2） 相距128.6m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题的关键． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． （1）求航空和航海模型的单价； （2）学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】（1）航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； 【小问2详解】 解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 20. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有、、三种型号的纯电动汽车，每天的租金分别为元辆，元辆，元辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的纯电动汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下： 【整理数据】 型号 平均里程 中位数 众数 （1）【分析数据】 小明共调查了_____辆型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图； 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_____； 由上表填空：_____，_____． （2）【判断决策】结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由． 【答案】（1）20，补全图形见详解72；430，450 （2）选择型号的纯电动汽车较为合适，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，众数和中位数的定义，样本估计总体，读懂图表，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）用“”的数量除以其占比可得型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可； 用乘续航里程为的占比即可得出对应的圆心角度数； 分别根据中位数和众数的定义解答即可； （2）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可． 【小问1详解】 解：（辆）， ∴小明共调查了20辆型纯电动汽车，“”的数量为：（辆）， 补全条形统计图如下： 在型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中， “”对应的圆心角度数为：， 由题意得：，， 【小问2详解】 解：小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为， ∵型号的平均数、中位数和众数均低于，不符合要求；，型号符合要求，但型号的租金比型号的租金优惠， ∴选择型号的纯电动汽车较为合适． 21. 启航中学八年级数学兴趣小组对“校门口车道拥堵”问题展开项目式学习． 【模型准备】 启航中学校门口呈东西方向共5条车道，路口无红绿灯．兴趣小组认为，某方向车道的拥堵程度可以用该方向的交通量（每分钟该方向通行的车辆数，单位：辆/分钟）与该方向车道数的比值来衡量．例如，自西向东方向的交通量为20，有2个车道，故拥堵度为10．拥堵度的数值越大，该方向越拥堵．记自东向西的拥堵度为，自西向东的拥堵度为． 【收集数据】 小组成员分工进行数据收集并整理如下： 时间 8时 11时 14时 17时 20时 自东向西交通量（辆/分钟） 32 26 20 14 8 自西向东交通量（辆/分钟） 11 14 17 20 23 【建立模型】 成员小明发现，时间与交通量的变化规律符合一次函数的特征，并由此得到与的函数关系式及与的函数关系式． 【模型应用】 兴趣小组希望根据两个方向的拥堵度来合理设置不同时段可变车道的方向．成员小敏认为，在没有可变车道的情况下，哪个方向的拥堵程度更高，可变车道就设置为该方向． 【问题求解】 （1）与的函数关系式为_____；与的函数关系式为_____．（不写自变量的取值范围） （2）在13时，如果可变车道为自东向西方向，通过计算及的值说明哪个方向更拥堵． （3）根据小敏的想法，在没有可变车道的情况下，若，求的值；并直接写出该路段8时至20时的可变车道设计方案． 【答案】（1） （2），，自西向东方向更拥堵 （3），在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求函数表达式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）由（1）得，，，当时，算出，． 根据可变车道为自东向西方向，得出自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2，即可求出，，即可判断； （3）在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，．当时，，则，解得，分为当时，，和当时，，求解即可； 【小问1详解】 解：设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 设为常数，且． 将和代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：，． 【小问2详解】 由（1）得，，， 当时，，， 可变车道为自东向西方向， 自东向西方向的车道数为3，自西向东方向的车道数为2， ，， ， 自西向东方向更拥堵． 【小问3详解】 在没有可变车道的情况下，两个方向的车道数均为2，即，， 当时，， ，解得， 经判断，在8时至15时，可变车道设置为自东向西方向；在15时至20时，可变车道设置为自西向东方向． 五、解答题（三）：本大题共2小题，22题13分，23题14分，共27分． 22. 在矩形中，已知E、F是边上的点，过点F作的垂线交边于点H． [发现]如图1，以为直径作，点A （填“在”或“不在”） 上；当时，的值是 ；当时，的值是 ； [论证]如图1，当时，求证：； [探究]如图2．当E、F是边的中点时，若，求的长； [拓展]如图3．将矩形换为平行四边形，在平行四边形中，，，F是边上的动点，过点F在的右侧作的垂线，且有，当点G落在平行四边形的边所在的直线上时，直接写出的长． 【答案】[发现]在，1， [论证]证明见解析 [探究] [拓展]当点落在平行四边形的边所在的直线上时，的长为或16或 【解析】 【分析】[发现]根据直径所对的圆周角为和矩形的性质可判断的位置，根据等弧所对的圆周角和弦长相等，以及圆周角定理，求解角的正切值即可； [论证]由题意知，，然后根据证明，则，．根据线段之间的数量关系可证； [探究]根据题意，证明，则．即，解得，，在中，由勾股定理求的值，在中，由勾股定理求的值，在中，由勾股定理得，，计算求解即可； [拓展]由题意知，分点落在、、边上，三种情况进行求解：①当点落在边上时，如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，则，，在中，由，设，则，由勾股定理得，则，求得，，，，由平行线的性质可得，即 ，设，则，，根据，即，求得，则，在中，由勾股定理得，求的值，根据求的值即可；②当点落在边的延长线上时，如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点，同①可得：，，，，过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，然后求解即可；③当点在上时，此时为等腰直角三角形，，根据求解的值即可． 【详解】[发现]解：由题意知，， ∵为直径， ∴点A在上； ∵， ∴， ∴， 如图1，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：在，1，； [论证]证明：由矩形的性质得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ， ∴． [探究]解：由矩形的性质得，由题意知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ．即， 解得，， 在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，． 在中，由勾股定理得，， ∴的长为3． [拓展]解：由题意知，分点落在、、边上，三种情况进行求解： ①当点落在边上时，如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在和中， ∵， ∴， ，， 在中， ， 设，则， 由勾股定理得， ， ， 解得． ，， ， ， ， ，即， 设，则，， ∵，即， 解得， ， 在中，由勾股定理得， ； ②当点落在边的延长线上时，如图3，过点作于点，过点作，交的延长线于点， 同①可得：，，，， 过点作于点， 为等腰直角三角形， ， ∵，，， ， ， ③当点在上时，此时为等腰直角三角形，， ， 综上，当点落在平行四边形的边所在的直线上时，的长为或16或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正切，等弧所对的圆心角相等，直径所对的圆周角为直角，圆周角定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用并分情况求解． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴相交于点，与轴相交于点，连接． （1）如图1，求的长． （2）点的坐标为，点在轴正半轴上，且．以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为． ①如图2，将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为，点在反比例函数的图象上．当时，求证：点在该反比例函数图象上； ②当线段与抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围； （3）约定：抛物线上，两点之间的图象（包括点，）的最高点与最低点纵坐标的差叫做这两点间的图象界差，记为．点都在抛物线上，它们的横坐标分别为，，其中；是否存在的值，使得?若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①见解析；②或； （3）当或时，使得． 【解析】 【分析】（1）先求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）①利用平移的性质求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式为，再求得，，连接，作轴于点，根据旋转的性质结合解直角三角形求得点，据此即可证明结论成立； ②先求得，同理求得，判断出点的运动轨迹为，联立，计算即可求解； （3）分情况讨论，根据题意列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：令，则， 解得，， ∴， ∴， 令，则， ∴， ∴， 在中，， ∴； 【小问2详解】 ①证明：∵将线段沿轴向上平移，平移后点与原点重合，点的对应点为， ∴，， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，点的坐标为， ∴， 在中，，， ∴， 连接，作轴于点， ∵以点为中心，把线段顺时针旋转得到线段，点的对应点为， ∴，， ∴， ∴， ∴点， ∵当时，， ∴点在该反比例函数图象上； ②∵线段与抛物线有公共点，点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， 由旋转的性质得， ∴点的运动轨迹为， 联立， 解得，， 即，， 解得，， 结合图象得或； 【小问3详解】 解：由题意，点，，，， 对于抛物线， 顶点坐标为，对称轴为直线， 对于点，， ∵， ∴， 当即时， ， 当即时，， 对于点，， 当点在点左侧时，，即， 当点在点右侧时，，即， 当时，， 当时，， 当时，若有， 则，解得； 当时，若有， 则， 整理得，，方程无解， ∴当时，不存在的值，使得； 当时，若有， 则， 解得（舍去），； 综上，当或时，使得． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数交点问题，一元二次方程的求解，旋转的性质等．分类讨论是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $