1.8三角函数的简单应用课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦三角函数的简单应用，从周期现象导入，通过水车、摩天轮等实例构建\(y = A\sin(\omega x + \varphi) + b\)模型，结合同步练习形成从实际问题到数学建模的学习支架。 其亮点是以生活实例（如单摆、海浪）为载体，引导学生用数学眼光抽象周期规律，用数学思维分析参数意义（如转速影响\(\omega\)），培养模型意识和应用能力。学生能直观理解三角函数价值，教师可借助实例提升教学效果。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 三角函数 第8节 三角函数的简单应用 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解三角函数是研究周期现象最重要的模型. 2、初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 1、初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题. 1、实际问题转化为三角函数问题. 2 新 知 引 入 周期现象是自然界中最常见的现象之一，三角函数是研究周期现象最重要的数学模型． 面对实际问题建立数学模型y＝Asin(ωx＋φ)＋b 是一项重要的基本技能． 典 例 引 路 例1、水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.设水车(即圆周)的直径为3m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一圈的时间是 min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位：m). (1)求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式. (2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？ 解:设点P在水面时高度h为0，当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度为负值. (1)过点P向水面作垂线，交水面于点M，PM的长度为点P的高度h， 过水车中心O，作PM的垂线,交PM于点N，设Q为水车与水面交点,△QON=φ. 由已知，水车的半径R=1.5m,水车中心到水面的距离b=1.2m,水车 旋转一圈所需的时间为T= min=80s，转速为ω= = rads. 典 例 引 路 例1、水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.设水车(即圆周)的直径为3m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一圈的时间是 min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位：m). (1)求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象. (2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？ 不妨从水车与水面交点Q时开始计时(t=0)，旋转ts水车转动的角的大小为α， 即 从图中不难看出：h = PM = PN+NM = Rsin(α-φ)+b① 因为 所以φ≈53.1°=0.295πrad. 因此 ② 这就是点P距水面的高度h关于时间t的函数解析式. 典 例 引 路 例1、水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图.设水车(即圆周)的直径为3m，其中心(即圆心)O到水面的距离b=1.2m，逆时针匀速旋转一圈的时间是 min，水车边缘上一点P距水面的高度为h(单位：m). (1)求h与旋转时间t(单位：s)的函数解析式，并画出这个函数的图象. (2)当雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化？若水车转速加快或减慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？ 解：⑵雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心O与水面距离的改变，导致函数解析式中的参数b发生变化，水面上涨时参数b减小；水面回落时参数b增大. 如果水车转速加快，将使周期T减小，转速减慢时周期T增大. 同 步 练 习 练1、如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面 40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随 时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解：由已知可设y=40.5 - 40cosωt,t≥0, 由周期为12分钟可知，当=6时，摩天轮第1次到达最 高点，即此函数第1次取得最大值， 所以 6ω=π，即ω= . 所以 y = 40.5 - 40cost (t≥0) 同 步 练 习 练1、如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面 40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随 时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 解：（2）设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米， 由60.5=40.5 - 40cost0 ,得 cost0=- , 所以 t0 = 或 t0 = ，解得 t0=4 或 t0=8 所以t=8(分钟）时，第2次距地面60.5米， 故第4次距地面60.5米时，用了12+8=20（分钟） 典 例 引 路 例2、如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时 间t(s)的函数关系式为： 则单摆来回摆动一从所 需的时间为（ ） A.2πs B.π C.0.5s D.1s 解：∵来回摆动一次所需时间即为一个周期 ∴ T = = 1 D 同 步 练 习 练2、一根长a cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位 置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是 。其中g是重力加 速度，当小球摆动的周期是1s时，线长a等于( ) 解：∵ T = = 1 ∴ = 2π ∴ a = D 典 例 引 路 例3、已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acosωt+b. (1)根据以上数据,求函数y=Acosωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动. t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 解：（1）由题意知T=12, ∴ω = = = 由t=0,y=1.5得A+b=1.5 ; 由t=3,y=1.0得b=1.0 ∴ A=0.5 , b=1 ∴ y = cost+1,t∈[0,24] 典 例 引 路 例3、已知某海滨浴场海浪的高度y(m)是时间t(0≤t≤24,单位:h)的函数,记作y=f(t).下表是某日各时的浪高数据: 经长期观测,y=f(t)的曲线可近似地看成是函数y=Acos ωt+b. (1)根据以上数据,求函数y=Acos ωt+b的最小正周期T,振幅A及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于1.25 m时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内有多少时间可供冲浪者进行运动. t(h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(m) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 解：（2）依题意得 cost+1＞1.25 即cost＞ ∴ 2kπ- ＜t＜2kπ+ ,k∈Z ∴12k-2＜t＜12k+2,k∈Z ∵ 0≤t≤24 ∴ 0≤t＜2 或 10＜t＜14 或 22＜t≤24 ∴ 有8个小时的时间可供冲浪运动。 同 步 练 习 练3、如图所示,某海湾相对于平均海平面的水面高度h(单位:米)在某天24时内的变 化情况,则水面高度h关于从夜间零时开始的时间t的函数关系式为　 .  解：设h=Asin(ωx+ φ)(A＞0,ω＞0) 由图像知A=6,T=12= ,则ω= 又因为点（6,0）为图形上的一点.故 ×6+φ=0,解得φ=-π 所以 h = 6sin(t-π) = -6sint (0≤t≤24) 典 例 引 路 例4、电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin(100πt+),则当t=时， 电流I为（ ） A. 5 B. C. 2 D. -5 解：I = 5sin(100π×+ ) = 5sin( + ) = 5cos = B 同 步 练 习 练4、交流电的电压E（单位：伏）与时间t（单位：秒）的关系可用 E=220sin(100πt+)来表示，则在_______秒时，电压第一次获得最大值。 解：依题意得 100πt + = , ∴ t = 典 例 引 路 例5、右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图象近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的一个函数解析式; (3)请预测16时的温度. 解：（1）由图可知，这段时间的最大温差是30-10=20（℃） （2）图中从6时到14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b(A＞0,ω＞0) 的半个周期的图像。 ∴A=×(30-10)=10 , b=(30+10)=20 ,T=2×(14-6)=16 ,ω= = 此时y=10sin(x+φ)+20, 将（6,10）与（10,20）代入上式得 典 例 引 路 例5、右图为某地一天从6时到14时的温度变化曲线,其图象近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0). (1)求这段时间的最大温差; (2)写出这段曲线的一个函数解析式; (3)请预测16时的温度. ,可取φ= 综上，所求函数的解析式可以为y=10sin(x+ )+20(x∈[6,14]) （3）根据（2）中得出的解析式知， 当x=16时，y=20+5≈27,即16时的温度约为27℃. 同 步 练 习 练5、已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数 y=10sin(x-)+20,x∈[4,16]. （1）求该地区这一段时间内温度的最大温差； （2）若一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么这段时间内，该细菌能生 存多长时间。 解：（1）由函数可知，当x=14时，函数取得最大值即最高温度为30℃； 当x=6时，函数取得最小值即最低温度为10℃， 所以最大温差为30-10=20℃。 （2）令10sin(x- )+20=15,可得sin(x- )= - ,而x∈[4,16],所以 x = 令10sin(x- )+20=15,可得sin(x- )= ,而x∈[4,16],所以 x = 故该细菌的存活时间为 - = 8（小时）. 典 例 引 路 例6、如图，弹簧挂着的小球做上、下震动，时间t(s)与小球相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度h(cm)之间的函数关系式是h=2sin(t+),t∈[0,+∞),以t为横坐标，h为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间上的简图，并回答下列问题： (1)小球开始振动(即t＝0)时的位置在哪里？ (2)小球最高、最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (3)经过多少时间小球往复振动一次(即周期是什么)? (4)小球每1s能往复振动多少次？ 典 例 引 路 解：（1）当t=0时，h=2sin(0+ )=cm 即小球开始振动时的位置在离平衡位置cm处. （2）当sin(t+ )=1时，hmax=2 ； 当sin(t+ )=-1时，hmin=-2 即小球最高点、最低点与平衡位置的距离都是2cm. （3）由T = 得T=2π,即经过2πs,小球往复振动一次. （4）f = = ,即小球每1s往复振动次. 同 步 练 习 练6、下图是一弹簧振子做简谐振动的图像，横轴表示振动时间，纵轴表示振 子的位移，则这个振子振动的函数解析式为__________． 解：易知在y=Asin(ωx+φ)中， A=2 , T=2×0.4=0.8 ∴ =0.8 ∴ ω= 又点（0.1,2）在图像上，代入可得φ = ∴ 解析式为y=2sin(t+ ). 同 步 练 习 全 课 总 结 一、利用三角函数研究简单的实际问题. THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $