【北师大版】期末模拟卷（1）-2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》（原卷版+解析版）

**基本信息** 2025-2026学年高二下学期数学期末模拟卷，基于北师大版《数学 拓展模块一》第1-10单元，贴合职教高考题型，通过梯度化题型设计覆盖直线与方程、数列、立体几何等核心考点，助力学生巩固基础与提升综合应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|15/45|直线平行条件、等比数列前n项和、椭圆性质等|结合几何直观（如立体几何点到直线距离）考查抽象能力| |填空题|5/15|排列组合（甲乙相邻丙不相邻概率）、三角形内角计算等|通过实际情境（小球入盒）培养数据意识| |解答题|4/40|数列通项与求和、抛物线方程及直线相交、正方体线面证明等|注重推理能力（如立体几何证明）与模型意识（如抛物线问题），贴合职教高考综合题型|

编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 3．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 4．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 5．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 6．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 8．已知，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 9．已知，则等于（     ） A．64 B． C．32 D． 10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为（ ） A． B． C． D． 11．已知m，，向量，，，若，，则等于（     ） A．18 B． C．10 D． 12．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 13．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 14．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为243，则含项的系数为（   ） A．40 B．60 C．80 D．160 15．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 17．将红、黄、蓝3个小球放入编号为、、的3个盒子中，恰有一个空盒，不同的放法共有________种．（用数字作答） 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角________． 19．已知A、B、C三点共线，，，若C点的横坐标为6，则点C的纵坐标为______. 20．已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知数列的前n项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： (1)边a的值； (2)的值． 23．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为. (1)求抛物线的标准方程与准线方程； (2)若直线过焦点且与抛物线交于、两点，且，求直线的方程. 24．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》以《数学 拓展模块一》（北师大版）教材章节内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考题型，包括复习讲义和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期末复习解决方案。 2025-2026学年高二下学期《数学期末考点大串讲》 期末模拟卷（1） 考试时间：90分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 测试范围：《数学 拓展模块一》（北师大版）第1-10单元。 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1．“”是直线与直线平行的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行的等价条件求出a的值，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】当时， 直线为，即，其斜率为，在轴上的截距为， 直线为，即，其斜率为，在轴上的截距为0， 则两直线斜率相等，在轴上的截距不相等，所以两直线平行，故充分性成立； 若直线与直线平行， 则两直线系数需满足，且两直线不重合. 由前者解得或， 经检验，当或时，两直线均不重合，满足平行条件， 故直线与直线平行时，有或，故必要性不成立， 所以“”是直线与直线平行的充分不必要条件. 故选：A. 2．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理边角互化，再结合特殊角的三角函数值和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 即，解得：，， 所以的面积. 故选：C. 3．已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先由时，，得出，再由等比数列的通项公式求出，最后由求值即可. 【详解】已知的前n项和， 则， ， 所以公比，所以， 则，解得， 故选：B. 4．如图所示，在中，，若，，则等于（     ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用向量的加减法运算即可得解. 【详解】因为在中，， 所以，又，， 即. 故选：A. 5．已知点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，若，则的面积是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的方程和性质即可选出正确答案. 【详解】已知椭圆方程， 则， 则， 设， 根据椭圆的定义，， 因为， 根据勾股定理：， ， 则， 故选：B 6．若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个， 故选：A. 7．已知x轴上两点，，则平面内到这两点距离之和为8的动点的轨迹方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义判断出动点的轨迹形状，再结合条件即可求出椭圆的标准方程. 【详解】已知，，则， 又因为动点到两点距离之和为，且， 所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆. 因为焦点在轴上，设椭圆的标准方程为（）， 则，解得，椭圆的半焦距， 可得， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 8．已知，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的乘法、除法运算和复数的定义求解即可. 【详解】因为，所以 ， 所以复数的虚部是. 故选：D. 9．已知，则等于（     ） A．64 B． C．32 D． 【答案】B 【分析】通过赋值法，分别令代入计算即可. 【详解】令，可得， 令，可得， 两式相加可得，， 所以. 故选：B. 10．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由频率直方图的几何意义计算即可得出结果. 【详解】由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为： . 故选：A 11．已知m，，向量，，，若，，则等于（     ） A．18 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】根据平面向量平行和垂直的性质求出值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】已知m，，向量，，， 因为，则，解得； 因为，则，解得， 则，，， 则. 故选：. 12．椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于，两点，若的周长为8，且离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. 【详解】由题意可知， 所以的周长， 解得，又因为离心率，所以， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 13．如图所示，点P是平面α外的一点，平面α于点O，且，直线a在平面α内，点O到直线a的距离为3，则点P到直线a的距离是（　　） A．3 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】利用直线与平面垂直的判定与性质以及勾股定理求解. 【详解】在平面内作，垂足为，连接，则， 因为平面，直线在平面内，所以， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，那么，所以的长度就是点到直线的距离. 因为平面，在平面内，所以， 在中，，， 则， 即点到直线的距离是. 故选：D. 14．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为243，则含项的系数为（   ） A．40 B．60 C．80 D．160 【答案】A 【分析】令可得所有项的系数之和求出，再根据通项求解即可. 【详解】令可得所有项的系数之和为：，故， 中含项的系数为. 故选：A. 15．已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 16．5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 【答案】/0.2 【分析】先求出5个人站成一排的所有排列情况，再求出甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人站成一排的所有排列情况有种， 甲乙看作一个整体，考虑甲乙两人之间的排列顺序，有种情况， 除甲乙丙外的两个人排好，有种情况， 除甲乙丙外的两个人形成3个空位，将甲乙整体和丙插入这3个空位中，有种情况， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况共有（种）， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率. 故答案为：. 17．将红、黄、蓝3个小球放入编号为、、的3个盒子中，恰有一个空盒，不同的放法共有________种．（用数字作答） 【答案】 【分析】根据排列组合的应用，结合分步计数原理即可求解. 【详解】由题意得，首先从三个盒子中选一个为空盒，则有种选法， 其次先把三个小球分成两组，则有种分法， 再把这两组小球放入剩下的两个盒子有种分法，即有种放法， 所以总共有不同放法种. 故答案为：. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角________． 【答案】或 【分析】根据余弦定理与同角三角函数的基本关系， 【详解】在中，由余弦定理可得， 即， ∵， ∴， ∵且， ∴，可得， ∵， ∴角或． 故答案为：或． 19．已知A、B、C三点共线，，，若C点的横坐标为6，则点C的纵坐标为______. 【答案】 【分析】根据向量共线定理求解即可. 【详解】由题意设，，， 又因为A、B、C三点共线，所以有， 解得. 故答案为：. 20．已知点F为抛物线的焦点，点，若M是抛物线上的动点，则的最小值是______. 【答案】12 【分析】根据抛物线的定义，结合平面几何知识求出的最小值即可. 【详解】由抛物线可知其准线，点M到直线l的距离等于， 设抛物线上的点，当时，大于点P的纵坐标5， 所以过点P作l的垂线，必与抛物线相交， 当点M为此交点时，取得最小值， 此最小值为点P到准线l的垂线段长. 故答案为：12.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分） 21．已知数列的前n项的和为． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）根据与的关系求解即可； （2）先表示出数列的通项公式，再得到数列是等差数列，代入等差数列的前n项和公式求解即可． 【详解】（1）当时，； 当时，， 当时，， 所以数列的通项公式． （2）因为，所以由（1）知， ， 所以数列是等差数列，公差为，首项， 则 ． 22．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，求： (1)边a的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理求解； （2）先求出和的值，再利用二倍角公式求出和的值，最后利用两角差的正弦公式求出的值. 【详解】（1）已知，根据正弦定理可得， 因为，所以. （2）由（1）可知，，. 根据余弦定理得， 因为是三角形内角，所以， 可得：， 所以， ， 所以. 23．已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为. (1)求抛物线的标准方程与准线方程； (2)若直线过焦点且与抛物线交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)，准线：. (2)，. 【分析】（）根据题意结合焦半径公式求出值即可得解. （）分类讨论直线斜率不存在和存在的情况，联立方程组，结合韦达定理及焦点弦公式即可得解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为， 则，解得， 所以抛物线方程为，准线方程为. （2）抛物线方程为，所以焦点， 当直线的斜率不存在时，此时直线方程为， 将代入抛物线方程中得，解得或， 令，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 联立方程组 ， 设， 由韦达定理可知，， 由焦点弦的弦长公式可知，解得， 当时，直线的方程为，化为一般式方程为； 当时，直线的方程为，化为一般式方程为； 24．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $