专题5 数学建模思想-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

暑假大串联 专题五 数 一、理论指导 所谓数学建模，就是建立数学模型的过程.所谓 数学建模思想，就是将具有实际意义的应用问题，通 过数学思考的方法抽象、转化为数学模型，以达到解 决问题的目的，可以说，凡有数学及其应用就有数学 建模，其分析问题的过程就是数学建模的过程，分 析、解决问题的能力就是数学建模的能力. 二、典型例题 【例1】国庆长假期间，某旅行社接待1日游和3日 游的旅客共2200人，总收费200万元，其中1日游每 人收费200元，3日游每人收费1500元，则该旅行社 接待的1日游和3日游旅客各多少人？ 【分析】现在让我们共同应用建模思想方法一起研 究这个问题，首先我们构建等量关系式.问题中包括 两个相等关系，所以根据题意我们可以构建两个等 量关系式，即： 第 1日游旅客人数十3日游旅客人数=2200人； 所收的1日游费用十所收的3日游费用=200 万元. 分 然后我们用等量代换法将用普通语言表达的等 式代换为用数学符号表达的等式，于是这个实际问 整 题的数学模型就建立起来了，即 提 x+y=2200, 200.x+1500y=2000000. 最后求出这个二元一次方程组的解，使实际问 题得到解决 【解】设接待1日游旅客x人，3日游旅客y人，那 么1日游共收费200x元，3日游共收费1500y元，根 据题意，得7+y=2200, 200.x+1500y=2000000, 解这个方程纽，得口=1000， y=1200. 答：该旅行社接待的1日游旅客有1000人，3日 游旅客有1200人 【例2】“震灾无情人有情”.民政局将全市为四川受 灾地区捐赠的物资打包成件，其中帐篷和食品共320 件，帐篷比食品多80件. (1)求打包成件的帐篷和食品各多少件； (2)现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将 这批帐篷和食品全部运往受灾地区.已知甲种货车 最多可装帐篷40件和食品10件，乙种货车最多可装 帐篷和食品各20件.则民政局安排甲、乙两种货车时 有几种方案？请你帮助设计出来： 6 学建模思想 (3)在第(2)问的条件下，如果甲种货车每辆需 付运输费4000元，乙种货车每辆需付运输费3600 元.民政局应选择哪种方案可使运输费最少？最少 运输费是多少元？ 【分析】本题的这个实际问题转化为数学问题就是 要建立方程和不等式组的模型，列出方程（组）和不 等式组来解决问题. 【解】(1)解法1：设打包成件的帐篷有x件，则 x+(x-80)=320或x-(320-x)=80. 解得x=200,x-80=120. 解法2：设打包成件的帐篷有x件，食品有y件， (x+y=320 则 x-y=80 #好图 答：打包成件的帐篷和食品分别为200件和 120件： (2)设租用甲种货车x辆，则 40x+20(8-x)≥200， 解得2x4. 10x+20(8-x)≥120， ,x=2或3或4，民政局安排甲、乙两种货车时 有3种安排方案」 设计方案分别为 ①甲车2辆，乙车6辆； ②甲车3辆，乙车5辆； ③甲车4辆，乙车4辆. (3)3种方案的运费分别为 ①2×4000+6×3600=29600（元）； ②3×4000+5×3600=30000（元）； ③4×4000+4×3600=30400（元）. ∴.方案①运费最少，最少运费是29600元. 【例3】某单位计划10月份组织员工到H地旅游， 人数估计在10~25人之间.甲、乙两旅行社的服务质 量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元. 该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五 折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费 用，其余游客八折优惠.问：该单位应怎样选择，使其 支付的旅游总费用较少？ 【分析】本题贴近生活，背景新颖，建立一次函数和 一元一次不等式的模型. 【解】设该单位到H地旅游人数为x,选择甲旅行 社时，所需的费用为y1元；选择乙旅行社时，所需的 费用为y2元，则有： y1=200×0.75x,即y1=150x. y2=200×0.8(x-1),即y2=160x-160. (1)若y2=y1,解得x=16; (2)若y2>y1,解得x>16; (3)若y2<y1,解得x<16. 所以，当人数为16人时选择甲或乙旅行社支付 的总费用一样，即可任选其中一家；当人数在17~25 人之间时，选择甲旅行社支付的总费用较少；当人数 在10~15人之间时，选择乙旅行社支付的总费用 较少 三、专项训练 1.为了美化校园环境，建设绿色校园，某学校准 备对校园中30亩空地进行绿化.绿化采用种植草皮 与种植树木两种方式，要求种植草皮与种植树木的 面积都不少于10亩，并且种植草皮面积不少于种植 树木面积的号已知种植草皮与种植树木每亩的费 用分别为8000元与12000元. (1)种植草皮的最小面积是多少？ (2)种植草皮的面积为多少时绿化总费用最低？ 最低费用为多少？ 2.王大爷想以墙为一边，另三边用长为33m的 竹篱笆围成一个面积为130m的长方形花坛，已知 墙长为15m,求：花坛的长和宽各是多少时，才能使 竹篱笆正好合适？ 八年级数学 3.某种生活用品平均每天销售40件，每件盈利 20元，每件每降价1元，每天可多销售10件，如果想 每天盈利1350元，每件应降价多少元？ 4.某校举办八年级学生数学素养大赛.比赛共 设四个项目：七巧板拼图、趣题巧解、数学应用、魔方 复原，每个项目得分都按一定百分比折算后记入总 分.下表为甲、乙、丙三位同学的得分情况（单位： 第 分). 部 七巧板拼图趣题巧解数学应用魔方复原 甲 66 89 86 68 乙 66 60 80 68 丙 66 80 90 68 合提升 (1)比赛后，甲猜测七巧板拼图、趣题巧解、数学 应用、魔方复原这四项得分分别按10%，40%，20%， 30%折算记入总分，根据猜测，求出甲的总分； (2)本次大赛组委会最后决定，总分为80分以上 (包括80分)的学生获一等奖.现获悉乙、丙的总分 分别是70分，80分，甲的七巧板拼图、魔方复原两项 得分折算后的分数和是20分.问：甲能否获得这次 比赛一等奖？ 7(3)CD'与AP'的数量关系CD'= 3AP 专题四方程与函数思想 1.C2.D3.B4.B5.23或32 6.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得 1+x+x(1+x)=64, 解之，得x1=7,x2=-9(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； (2)7×64=448(人). 答：第三轮将又有448人被传染. 专题五数学建模思想 1.解：(1)设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为(30一x）亩，则 fx≥10， 30-x≥10， 解得18≤x≤20.答：种植草皮的最小面积是18亩； x≥230-x), (2)由题意，得y=8000x十12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时，y有最小值 280000元. 2.长为13m,宽为10m. 3.每件应降价5元或11元 4.解：(1)甲的总分：66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8（分）； (2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y /20+60x+80y=70, 由题意，得 20+80x+90y=80, x=0.3, 解得 y=0.4. .甲的总分：20+89×0.3+86×0.4=81.1>80. ·21 甲能获得一等奖。 专题六跨学科试题 1.(x+1,y+2)祝你成功 2.A 3.2小时或6小时 4.解：(1)设小货车原计划每辆每次运送帐篷x顶，则大货车原计划每辆每次运送帐篷 (x十200)顶，根据题意，得 2[8x+2(x+200)]=16800,解得x=800, x+200=800+200=1000. 答：大、小货车原计划每辆每次分别运送帐篷1000顶，800顶； (2)根据题意，得21000-200m)(1+2m)+8(800-300)(1+m)=14400, 化简为m2-23m+42=0,解得m1=2,m2=21. :1000-200m不能为负数，且2m为整数，m2=21不符合实际，舍去. 故m的值为2. 第三部分 探究先飞 九年级上册预习检测 一二次函数 -、1.yx+8x2.2或43.y=-gx24-1t55.-16.y=x-17.二 8.m≥-2 二、9.A10.C11.A12.B13.C14.C 三、15解y=一2+)°+开口向下，对称轴是直线x=一顶点坐标为，智》 16.(1)a=6(2)有最小值2. 17.解：(1)当x=0时，y=-2. .A(0,-2) ·22