专题4 方程与函数思想-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

八年级数学 专题四 方程与函数思想 一、理论指导 【例2】甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠， 方程思想是指在解决问题时，通过等量关系将 所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系 已知与未知联系起来，建立方程或方程组，然后运用 如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题： 方程的知识使问题得以解决的方法.函数描述了自 ym 然界中量与量之间的依存关系.函数思想的实质是 6 0 剔除问题的非本质特征，用联系和变化的观点研究 30 问题，将问题中的量转化为函数关系去解决. 2 二、典型例题 6 x/h 【例1】如图是在同一坐标系内作出的一次函数y1: (1)乙队开挖到30m时，用了 h,开挖 6h时，甲队比乙队多挖了 y2的图象l1,l2,设y1=k1x十b1y2=k2x十b2,则 m; (2)请你求出： {y1=k1x十b1, 方程组 的解是 y2=k2x+b2 ①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函 数关系式； ②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函 数关系式； (3)当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所 5 挖河渠的长度相等？ 第 【分析】写出实际问题中的函数关系解析式是中考 部 考查的重要内容之一，要学会从图表所提供的信息 分 中，分析其数量关系.特别是这种折线段，要善于在 B.=-2, 整 A. x=-2, 自变量x的各个区段中识别其函数关系， y=2 y=3 【解】(1)210 提 x=-3, x=-3, (2)①设甲队在0≤x≤6时段内y与x之间的 C. D. y=3 y=4 函数关系式为y=k1x,由图象过点(6,60)，6k1 【分析】由函数图象上点的坐标，利用待定系数法 60,k1=10,∴.y=10x； 确定函数解析式，然后联立两函数关系式，再解方程 ②设乙队在2≤x≤6时段内y与x之间的函数 组求解. 关系式为y=k2x十b,由图象过点(2,30)，(6,50)得 【解】在11上找两点(1,2)和(4,1)，求出过这两点 12k十b=30·解得 k2=5, ..y=5x+20(2x 3 的L的一次函数为y=一】 3;在12上找两点 6k2+b=50, b=20, 6)； (一1,0)和(0，一3)，求出过这两点的12的一次函数 (3)由题意得，10x=5x+20, 为y=-3x-3. 解得x=4, 1 7 解方程组 y=- 3x十3'得 x=-2, 故应 所以当x为4时，甲、乙两队所挖的河渠长度 y=-3x-3, y=3, 相等 选B. 【例3】为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个 【评注】用一次函数图象求二元一次方程组的解的 卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运 步骤是：①将二元一次方程组中的两个方程转化为 12趟可完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单 一次函数表达式；②在同一坐标系中，作出这两个一 独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车 次函数的图象；③两图象（两直线）的交点坐标即为 每趟运费比甲车少200元. 所求方程组的解. (1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多 63 暑假大串联 少趟； 观察图1可以得出：直线x=1与直线y=2x十 (2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 1的交点P的坐标(1,3)就是方程组 【分析】本题综合考查了有关工程问题的分式方程 x=1, 的应用、一元一次方程的应用、方案决策问题，解决 2x-y+1= 的解，所以这个方程组的解为下=1， y=3. 此问题的关键是弄清题意，找出题目中的等量关系， 在直角坐标系中，x≤1表示一个平面区域，即直 列出方程求出所需的量，再进行计算比较. 线x=1以及它左侧的部分，如图2；y≤2.x十1也表 【解】(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙 示一个平面区域，即直线y=2x十1以及它下方的部 车单独运完此堆垃圾需2x趟，依题意得 1212 分，如图3. x 2x 根据以上内容，回答下列问题： 解得：x=18 (1)在直角坐标系（图4）中，用作图象的方法求 经检验x=18是原方程的解 .2x=36 x=-2, 出方程组 的解； y=-2x+2 答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需 36趟： x≥-2， (2)设甲车每趟需运费a元，则乙车每趟需运费 (2)用阴影表示y≤-2x十2，所围成的区域 (a-200)元，依题意得： y≥0 12a+12(a-200)=4800 【分析】本题是一道集阅读理解与解答于一体的综 解得：a=300 合型创新考题，要注意在阅读的过程中理解用函数 第 .a-200=100 图象解方程组及不等式组的方法， ∴.单独租用甲车的费用=300X18=5400(元) 第(1)小题画直线x=-2和y=-2x十2，根据 分 单独租用乙车的费用=100×36=3600（元） 这两条直线的交点可确定方程组的解。 5400>3600 第(2)小题在直角坐标系中，x≥一2表示直线x 整 单独租用乙车合算 =一2以及它右侧的部分；y≤-2x十2表示直线y 【评注】在列方程解决实际问题时，我们一是要注 =-2x十2以及它下方的部分；y≥0表示直线y=0 升 意审题，找到题目中的相等关系；二是设未知数，注 以及它上方的部分.这三部分的公共部分就是所围 意选择和题目中各个量关系都密切的量，注意根据 成的区域 问题情况灵活选择设法，如直接设、间接设、设多元 【解】(1)如图，在直角坐标系内分别作直线x=一2 等；三是求分式方程的解，验根应从两个方面出发： 和直线y=一2.x十2，观察图象可知这两条直线的交 一方面是方程的本身，另一方面是实际问题，根既要 x=一2， 使方程的本身有意义，又要符合实际意义；四是合算 点为P(一2,6)，所以方程组 的解 y=-2.x+2 的问题就是方案选择问题，也就是比较谁少的问题， x=-2, 一定要把方案选择转化为求哪几个量，再进行计算 为 (y=6; 比较 x≥-2， 【例4】我们知道，在数轴上，x=1表示一个点，而 (2)如图所示的阴影部分即为y≤一2x十2，所 在平面直角坐标系中，x=1表示一条直线；我们还知 y≥0 道，以二元一次方程2x一y十1=0的所有解为坐标 围成的区域. 的点组成的图形就是一次函数y=2x十1的图象，它 也是一条直线，如图1. 和青 64 八年级数学 三、专项训练 5.一个两位数，十位数字与个位数字之和是5， 1.已知一个多边形的内角和为540°，则这个多把这个数的十位数字与个位数字对调后，所得的新 边形为 () 两位数与原两位数的乘积是736，求原来的两位数. A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 2.如图，把直线y=一2x向上平移到直线AB, 直线AB经过点(m,n),且2m十n=6,则直线AB 的表达式是 A.y=-2.x-3 B.y=-2x-6 C.y=-2x+3 D.y=-2x+6 3.如图，一次函数的图象过点A,且与正比例函 第二部 数y=一x的图象交于点B,则该一次函数的表达 6.有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人 式为 () 患了流感. 整 (1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人： (2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被 合提 传染？ A.y=-x+2 B.y=x+2 C.y=x-2 D.y=-x-2 4.一次函数y1=k.x十b与y2=x十a的图象如 图所示，则下面结论：①k<0;②a>0;③当x<3时， y1<y2.正确的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 用 65(3)CD'与AP'的数量关系CD'= 3AP 专题四方程与函数思想 1.C2.D3.B4.B5.23或32 6.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得 1+x+x(1+x)=64, 解之，得x1=7,x2=-9(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了7个人； (2)7×64=448(人). 答：第三轮将又有448人被传染. 专题五数学建模思想 1.解：(1)设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为(30一x）亩，则 fx≥10， 30-x≥10， 解得18≤x≤20.答：种植草皮的最小面积是18亩； x≥230-x), (2)由题意，得y=8000x十12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时，y有最小值 280000元. 2.长为13m,宽为10m. 3.每件应降价5元或11元 4.解：(1)甲的总分：66×10%+89×40%+86×20%+68×30%=79.8（分）； (2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y /20+60x+80y=70, 由题意，得 20+80x+90y=80, x=0.3, 解得 y=0.4. .甲的总分：20+89×0.3+86×0.4=81.1>80. ·21