专题3 转化与化归思想-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

专题三 转 一、理论指导 在解决数学问题时，常常把遇到的生疏的、复杂 的、未解决的数学问题转化为熟悉的、简单的、已解 决的数学问题，使问题得以解决.解决数学问题的过 程就是不断地把未知转化为已知的过程，这就是数 学的转化思想 二、典型例题 【例1】李老师开车从甲地到相距240千米的乙地， 如果油箱剩余油量y(升)与行驶里程x(千米)之间 是一次函数关系，其图象如图所示，那么到达乙地时 油箱剩余油量是 升 升 3 25 o 160240x/千米 【分析】本题主要考查一次函数图象及其应用. 【解】由给予的图象，设一次函数解析式为y=kx 十35，将(160,25)代入，得k=一16，再将x=240代 入y=一16x十35，得此时y=20,故答案为20. 【评注】利用待定系数法确定一次函数的解析式： 【例2】如图，分别以正方形ABCD的边AB,AD 为直径画半圆，若正方形的边长为a,求阴影部分的 面积. 【分析】从表面上看，图中的阴影部分是复杂的、分 散的图形，要设法通过变换将其转化为简单的、集中 的图形 【解】连接DB,AC,可知阴影部分的面积等于 △BCD的面积. 1 六S影=S△CD=2a 八年级数学 比与化归思想 【例3】如图，已知圆柱的高为80cm,底面半径为 10cm,轴截面上有两点P,Q,PA=40cm,B1Q= 30cm,则圆柱侧面上P,Q两点的最短距离是多少？ 4--. =5B 【分析】将圆柱侧面沿母线AA1展开，得到如下图 所示的矩形，从而将曲面上的问题转化成平面上的 问题，B,B1分别为中点，则P,Q两点间的最短距离 即为线段PQ的长. 【解】过点Q作QS⊥AA1于S,在Rt△PQS中， PS=AA-AP-AS=AA-AP-B Q=80 -40-30=10(cm), QS=BA=)·2元R=xR=10x(cm .PQ=√PS2+QS=√102+(10π)产= 10√/x+1(cm). 第 故P,Q两点间最短距离为10√π十1cm. A 分 整 B 【例4】如下图，在六边形ABCDEF中，若∠A= 合提 ∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB+BC=11, AF一CD=3,则BC十DE A 【分析】通过辅助线把不规则的图形化成规则的 图形. 【解】延长BA,EF,AB,DC, CD,FE分别交于G,H,R,将 原图形补成△GHR.易证△GHR, △GAF,△HCB,△RED均为 等边三角形，且设△GAF, △HCB,△RED的边长分别为 x,y,之.，GH=HR=GR,∴x+y+AB=y++ CD=x十x十EF. 又，AB+BC=11,AF-CD=3,.x+11=y 十x十CD. ∴.y+之=x+11-CD=x+11-(x-3)=14, 即BC+DE=14. 故答案为14. 暑假大串联 三、专项训练 1.直线y=3.x-1和直线y=x-k的交点在第 四象限，则k的取值范围是 2.不等式4x-a≤0的正整数解是1,2，则a的 取值范围是 3.如果不等式(a-1)x>a一1的解为x<1,则 a的取值范围是 ( A.a<0 B.a<1 C.a>1 D.a≤1 4.将五个边长都为2cm的正方形按如图所示 摆放，点A,B,C,D分别是四个正方形的中心，则图 中四块阴影面积的和为 A.2 cm B.4 cm 第 C.6 cm 部 D.8 cm 5.如图，汽车在东西向的公路！上行驶，途中 A,B,C,D四个十宇路口都有红绿灯，AB之间的距 整 离为800m,BC为1000m,CD为1400m,且l上各 路口的红绿灯设置为：同时亮红灯或同时亮绿灯，每 次亮红（绿）灯的时间相同，红灯亮的时间与绿灯亮 升 的时间也相同.若绿灯刚亮时，甲汽车从A路口以每 小时30千米的速度沿1向东行驶，同时乙汽车从D 潞口以相同的速度沿！向西行驶，这两辆汽车通过四 个路口时都没有遇到红灯，则每次绿灯亮的时间可 能设置为 A.50秒 B.45秒 C.40秒 D.35秒 6.第一节数学课后，老师布置了一道课后练习： 如图①，已知在Rt△ABC中，AB=BC,∠ABC= 90°，BO⊥AC于点O.点P,D分别在AO和BC上， PB=PD,DE⊥AC于点E. 求证：△BPO≌△PDE. (1)理清思路，完成解答 本题证明的思路可以用下列框图表示： PB-DP(已知) 要证 △BPO≌△PDE ∠BOP=∠PED BO⊥AC,DE⊥AC(已知) ∠3=∠4H∠3=∠PBD-∠I 已知条件 ∠4∠2-∠C 6 根据上述思路，请你完整地书写本题的证明 过程； (2)特殊位置，证明结论 图②（备用图），若BP平分∠ABO,其余条件不 变.求证：AP=CD; (3)知识迁移，探索新知 图③，若点P是一个动点，当点P运动到OC的 中点P'时，满足题中条件的点D也随之在直线BC 上运动到点D',请直接写出CD'与AP'的数量关系 (不必写解答过程) P(P') DD 图① 图② 图③200+400 (t+2)=400,解得t=0.5.即乙车休息了0.5h. 400 方法2：(400-200)÷ 5 -2=0.5(h),即乙车休息了0.5h. (2)设yz与x的函数解析式为yz=kx十b,把(2.5 2.5k+b=200, k=80, 解得 所以yz=80x(2.5≤x≤5). 5k+b=400, b=0, (3)相遇前：100x十80x十40=400，解得x=2; 相遇后：80x十200十80(x-2.5)=440,解得x=2.75. 综上可知，x=2或x=2.75. 7.解：(1)乙0.6 (2)13(1,100)(3,450) k+b= (3)设AB所在直线关系式为y=kx十b,依题意，得 3k+6 y-175.x-75.当y=800时，x=5.所以甲、乙两队同时到达终点. 专题三转化与化归思想 1合<k<12.8≤a<123B4B5.D 6.(1)证明：，PB=PD,.∠PBD=∠2， .AB=BC,∠ABC=90°，.∠C=45. ,B0⊥AC于点O,∴.∠1=45°，∴∠1=∠C=45°. :∠3=∠PBD-∠1，∠4=∠2-∠C,∴.∠3=∠4. 又，BO⊥AC,DE⊥AC,∴.∠BOP=∠PED=90. ,PB=DP,∴.△BPO≌△PDE; (2)证明：由(1)可得∠3=∠4，，BP平分∠AB0O, .∠ABP=∠3，.∠ABP=∠4. 又，∠A=∠C,PB=DP, ∴.△ABP≌△CPD,.AP=CD; ·20· 200),(5,400)代入，得 100,1k=175, 解得{ 所以 =450,b=-75, (3)CD'与AP'的数量关系：CD'= 3AP. 专题四方程与函数思想 1.C2.D3.B4.B5.23或32 6.解：(1)设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意，得 1+x+x(1+x)=64, 解之，得x1=7,x2=-9(不合题意，舍去). 答：每轮传染中平均一个人传染了？个人； (2)7×64=448(人). 答：第三轮将又有448人被传染. 专题五数学建模思想 1.解：(1)设种植草皮的面积为x亩，则种植树木的面积为(30一x)亩，则 fx≥10， 30-x≥10， 解得18≤x≤20.答：种植草皮的最小面积是18亩； 3 x≥2(30-x), (2)由题意，得y=8000x十12000(30-x)=360000-4000x,当x=20时，y有最小值 280000元. 2.长为13m,宽为10m. 3.每件应降价5元或11元 4.解：(1)甲的总分：66×10%十89×40%+86×20%+68×30%=79.8（分）； (2)设趣题巧解所占的百分比为x,数学应用所占的百分比为y /20+60x+80y=70, 由题意，得 20+80x+90y=80, x=0.3, 解得 y=0.4. .甲的总分：20+89×0.3+86×0.4=81.1>80. ·21