专题2 数形结合思想-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

暑假大串联 专题二 数形结合思想 一、理论指导 C.S<1 数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直观，形少 D.由n决定，S与1大小关系不定 数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”可 【分析】本题用初中数学直接求解较难，但如果与 见数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，它 图形结合起来，直观易懂. 包含“以形取数”和“以数辅形”两个方面， 【解】解法一：如图(1)，在边长为1的正方形内，依 数是形的抽象概括，形是数的直观体现.在数学 次用线段把它一分为二.n次等分后，图中各矩形的 中，数和形是两个最重要的研究对象，它们之间有着 面积依次为，1.11 十分密切的联系.在一定条件下，数和形之间相互转 248…2 化、相互渗透.根据具体情形，把图形的性质问题转 化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图 显然，最后两个矩移西积均为是，这时首面”个 形性质问题，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体 1,1,1 1 矩形的面积之和为S= 2+4+8+…+2=1-2 化，化难为易，获得简单易行的解决方案， 二、典型例题 <1,故选C.类似地用图(2)，(3)也可得出结论， 【例1】小芳的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步 行走到离家较远的公园，打了一会儿太极拳，然后沿 原路跑步到家里，下面能够反映当天小芳爷爷离家 第 的距离y(米)与时间x(分钟)之间的关系的大致图 2 象是 解法二：利用数轴，我们可以把数轴上的一个长度 部 "米 y/米 单位1按照上面的方法进行n次等分，n次等分后，对 应的各点表示的数从右到左很饮为宁官…方 Ox/份钟 0 x份钟 合提 B +片+1 显然S= y/米 y/米 【例3】A,B两点在一次函数图象上的位置如图所 示，两点的坐标分别为A(x十a,y十b),B(x,y),下 Ox/份钟 份師 列结论正确的是 () 0 【分析】本题考查了函数图象的表示方法，正确理 解题意是解题的关键 【解】小芳爷爷离家外出进行体育锻炼，开始慢步 行走，说明离家的距离逐步变大；但行至公园时，打 了一会儿太极拳，这时离家的距离是不变的，故可排 A.a>0 B.a<0 C.b=0 D.ab<o 除选项A,D;返回时，沿原路跑步到家里，离家的距 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，函数图 离逐渐变小，直至为0，说明返回比开始出来的速度 象问题一直是中考考查的重要内容 要快，故可排除选项B.所以本题选C. 【评注】以实际问题为背景找相应的函数图象，先 【解】由图象可知x十a<x,y十b<y,所以a<0, b<0,因此本题选B. 要弄清题意所反映的问题可分为几段，以及在这个 过程中变化的量及不变的量，再确定大致图象 【评注】 一次函数解析式中，b对一次函数图象的 影响： 【例2】设a为正空数5=十十日十那 ①当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时， 么S与1的大小关系是 y随x的增大而减小； A.S>1 ②k决定着一次函数图象的倾斜程度，|k|越 B.S=1 大，其图象与x轴的夹角就越大； 58 八年级数学 ③b决定着直线与y轴的交点，当b大于0时， (1)分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程 交点在y轴正半轴；当b小于0时，交点在y轴负 s(km)与时间t(h)的函数关系式（不要求写出自变量 半轴； t的取值范围)； ④直线y=kx十b可以看作由直线y=k.x平移 (2)当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A |b|个长度单位得到（当b>0时，向上平移；当b<0 处，求A点距山顶的距离； 时，向下平移) (3)在(2)的条件下，设乙同学从A处继续登山， ⑤直线y=k1x十b1y=k2x十b2的几种位置关 甲同学到达山顶后休息1h,沿原路下山，在B点处 系：平行：k1=k2,b1≠b2;重合：k1=k2,b1=b2;关于 与乙相遇，此时点B与山顶距离为1.5km,相遇后 y轴对称：k1十k2=0,b1=b2;关于x轴对称：k1十k2 甲、乙各自按原来的路线下山和上山，求乙到达山顶 =0,b1十b2=0;垂直：k1k2=-1. 时，甲离山脚的距离是多少千米， 【例4】如图，在平面直角坐标系中△ABC的两个【分析】根据图象理解横轴、纵轴表示的相应的量， 顶点A,B的坐标分别为(-2,0)，(-1,0)，BC⊥x 将本题转化为函数问题，利用函数的解析式解题 轴.将△ABC以y轴为对称轴对称变换，得到△A' 【解】(1)设甲、乙两同学登山过程中，路程s(km) B'C'(A和A',B和B',C和C'分别是对应顶点).直 与时间t(h)的函数关系式分别为s甲=k1t,s元=k2t 线y=x十b经过点A,C',则点C'的坐标是 由题意，得6=2k1,6=3k2,所以k1=3,k2=2. 所以关系式分别为5甲=3t,s乙=2t； (2)甲到达山顶时，由图象可知，当s甲=12，代入 s甲=3t,得t=4. 所以s2=2×4=8(km),所以12-8=4(km). 第 A BO B A 答：当甲到达山顶时，乙距山顶的距离为4km; 【分析】本题综合考查平面直角坐标系、一次函数、 (3)由图象知：甲到达山顶并休息1h后点D的 部 轴对称变换等知识，解题的关键是灵活利用轴对称 坐标为(5,12)，由题意，得点B的纵坐标为12二号 变换的坐标特点及一次函数图象上点的坐标与解析 整 式之间的关系解题. 2,代入s2=21,解得：1= 21 4 【解】因为点A(-2,0)在直线y=x十b上，则b= 合提 2,直线的解析式为y=x十2；由B和B'关于y轴 所以点B(21,21) 421 对称，则B'的坐标为(1,0)，当x=1时，y=1+2 设过B,D两，点的直线关系式为s=kt十b,由题 3,则点C的坐标为(1,3).故答案为(1,3) 【评注】平面直角坐标系中，关于x轴的对称点的意，得24 21=2k十b'解得三二6y b=42. 坐标特征是：横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y 12=5k+b, 轴的对称点的坐标特征是：纵坐标不变，横坐标互为 所以直线BD的关系式为s=一6t十42， 相反数.函数图象上点的坐标适合函数解析式 当乙到达山顶时，s乙=12，得t=6,把t=6代入 【例5】甲、乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲 s=-6t十42，得s=6. 同学和乙同学沿相同的路线同时从山脚出发到达山 答：乙到达山顶时，甲离山脚的距离为6km. 顶过程中，各自行进的路程随时间变化的图象，根据 三、专项训练 图象中的有关数据回答下列问题： 1.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是 s/km 由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺成的 甲 大正方形.若小正方形与大正方形的面积之比为1： 13,则直角三角形较短的直角边a与较长的直角边b 的比值为 t/h 1用 59 暑假大串联 2.正比例函数y=k.x(k≠0)的图象在第二、四 (2)求乙车与甲车相遇后y乙与x的函数解析 象限，则一次函数y=x十k的图象大致是 式，并写出自变量x的取值范围； 女 (3)当两车相距40km时，直接写出x的值， 3.在北京召开的国际数学家大会，会标取材于 我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个 全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大 正方形（如下图所示）.如果大正方形的面积是13，小 正方形的面积为1，直角三角形较短直角边为a,较长 直角边为b,那么(a十b)2的值为 () 7.第三届南宁国际龙舟赛在南湖举行，甲、乙两 队在比赛时，路程y(m)与时间x(min)的函数图象 A.13 B.19 如图所示，根据函数图象填空和解答问题： C.25 D.169 y/m (终点)800 为 第 4.已知两点A(3,2)与B(1,-1),点P在y轴 700 上且使PA十PB最短，则P的坐标是 () 600 部 500 A,》 B.(0,0) 300 整 co》 D.0,-) 200 合提 100 A 5.如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的 01234445xmin 小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为() (1)最先到达终点的是 队，该队比另一 队领先 min到达； (2)在比赛过程中，乙队在 min和 min时两次加速，图中点A的坐标是 A.400 cm2 B.500 cm 点B的坐标是 ； C.600 cm2 D.4000cm (3)假设乙队在第一次加速后，始终保持这个速 6.甲、乙两辆汽车分别从A,B两地同时出发， 度继续前进，那么甲、乙两队谁先到达终点？请说明 沿同一条公路相向而行，乙车出发2h后休息，与甲 理由 车相遇后，继续行驶.设甲、乙两车与B地的路程分 别为y甲(km),yz(km),甲车行驶的时间为x(h), y平，y乙与x之间的函数图象如图所示，结合图象解 答下列问题： ↑y/m 400 甲 200 0 (1)乙车休息了 h; 60(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP,∴.∠CBP=∠CDP,PE=PB,.∠CBP=∠E, ∴.∠CDP=∠E,∠1=∠2，.180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,即∠DPE= ∠DCE,.'AB∥CD,.∠DCE=∠ABC=90°，∴.∠DPE=∠ABC=90°； (3)解：在菱形ABCD中，BC=DC,∠BCP=∠DCP, (BC=DC, 在△BCP和△DCP中，∠BCP=∠DCP,∴.△BCP≌△DCP(SAS);.∠CBP= PC=PC, ∠CDP,PE=PB,∴.∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,同理可得：∠DPE=∠DCE,,AB∥ CD,∴.∠DCE=∠ABC=58°，.∠DPE=∠ABC=58°. 第二部分整合提升 专题一分类讨论思想 1.A2.D3.C4.B5.D6.C 7.解：(1)yA=27x+270,yB=30x+240; (2)当yA=yB时，27.x+270=30x+240,解得x=10; 当yA>yB时，27.x+270>30.x十240，解得x<10; 当yA<yB时，27x+270<30x+240,解得x>10. .当2≤x<10时，到B超市购买划算；当x=10时，两家超市都一样；当x>10时，到A 超市购买划算； (3)x=15>10, ∴.①选择在A超市购买，y1=27×15十270=675（元）； ②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球 (10×15-20=130个)，则共需费用：10×30+130×3×0.9=651（元），，651<675，.最省钱 的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球. 专题二数形结合思想 1.号2.B3.C4D5.A 6.解：(1)方法1：设乙车休息了th,根据题意，得 ·19 200+100 ·(t+2)=400,解得t=0.5.即乙车休息了0.5h. 方法2：(400-200)÷400 2=0.5(h),即乙车休息了0.5h. (2)设yz与x的函数解析式为yz=kx十b,把(2.5,200)，(5,400)代入，得 12.5k+b=200, k=80, 解得 所以yz=80x(2.5≤x≤5). 5k+b=400, b=0, (3)相遇前：100x十80x十40=400，解得x=2; 相遇后：80x十200十80(x-2.5)=440,解得x=2.75. 综上可知，x=2或x-2.75. 7.解：(1)乙0.6 (2)13(1,100)(3,450) k+b=100,1k=175, (3)设AB所在直线关系式为y=kx+b,依题意，得 解得{ 所以 3k+b=450,b=-75, y=175.x-75.当y=800时，x=5.所以甲、乙两队同时到达终点. 专题三转化与化归思想 1号<k12.8<<123B4B5.D 6.(1)证明：，PB=PD,.∠PBD=∠2， .AB=BC,∠ABC=90°，∴.∠C=45°. :BO⊥AC于点O,∴.∠1=45°，∴.∠1=∠C=45°. :∠3=∠PBD-∠1，∠4=∠2-∠C,∴∠3=∠4. 又，BO⊥AC,DE⊥AC,∴.∠BOP=∠PED=90. PB=DP,∴.△BPO≌△PDE; (2)证明：由(1)可得∠3=∠4，，BP平分∠ABO, .∠ABP=∠3，.∠ABP=∠4. 又∠A=∠C,PB=DP, .△ABP≌△CPD,.AP=CD; ·20·