专题1 分类讨论思想-【暑假大串联】2025-2026学年八年级数学暑假作业教材衔接（浙教版·新教材）

第二部分 专题一分 一、理论指导 在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的 差异，分各种不同情况予以考虑，这种分类思考的方 法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题 策略.掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础 知识的理解，提高分析问题、解决问题的能力是十分 重要的.正确的分类必须是全面的，既不能重复，也 不能遗漏.分类的原则：(1)分类中的每一部分是相 互独立的：(2)一次分类按一个标准」 二、典型例题 【例1】下面是数学课堂的一个学习片段，阅读后， 请回答后面的问题： 学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们 交流讨论这样一个问题：“已知等腰△ABC的∠A等 于30°，请你求出其余两角.” 同学们经片刻的思考与交流后，小明同学举手 说：“其余两角是30°和120°.”王华同学说：“其余两 角是75°和75°.”还有一些同学也提出了不同的看 法… (1)假如你也在课堂中，试写出你的看法； (2)如果∠A等于n°，请你用n的代数式表示其 余两角的度数，并请说明理由. 【分析】在等腰三角形中，已知一个角的度数，但并 没有说明这个角是顶角还是底角，要根据具体的度 数来判别这个角是顶角还是底角， 【解】(1)因为∠A=30°，但这里的∠A没有说明是 顶角还是底角，所以应分为两种情况： 若∠A为顶角时，则另外两个角为75°和75°； 若∠A为底角时，则另外两个角为30°和120°； (2)这里的∠A=n°时，也有两种情况： I:当0°<n°<90°时， 若∠A为预角时，剥另外两个角为(80。”)°和 0) 若∠A为底角时，则另外两个角为n°和(180 2n)°. Ⅱ：当90°≤n°<180°时，由三角形内角和可知： 八年级数学 整合提升 类讨论思想 北时∠A只能为顶育，另两个角本为(180 【评注】(1)等腰三角形的顶角可以是锐角、直角、 钝角，但底角只能是锐角； (2)对于等腰三角形，若已知它的一个内角是钝 角、直角或60°时，另两个内角的度数只有一种可能， 但若已知一个等腰三角形的一个内角是不等于60° 的锐角时，另两个内角的度数有两种可能. 【例2】过等腰三角形ABC某一顶点处作一条直 线，将原三角形分为两个等腰三角形，试求△ABC各 内角的度数 【分析】题中既未指明三角形的形状是直角三角 形，还是锐角三角形或钝角三角形，又未指出是从顶 第 角顶点还是从底角顶点作直线，因此需分类讨论· 【解】(1)如图①，为直角三角形，易解各内角度数 部 为45°，45°，90°； 整 合提升 (2)如图②，为钝角三角形时，易解得各内角度 数为36°，36°，108°： (3)如图③④，为锐角三角形时，③中各内角度 数为36,72,72°.④中各内角度数为180,540 77 540° 7,共四种情形. 【例3】一次函数y=kx+b的自变量x的取值范 围是一3≤x≤6，相对的函数值的取值范围是一7≤y ≤2，求这个函数的解析式. 【分析】此题要考虑函数y随着x的增大而增大和 增大而减小，故应分k>0和k<0两种情况讨论 【解】当k>0时，函数值y随着x的增大而增大， 则当x=一3时，y=-7；当x=6时，y=2, 2-对+特 b=-4. 当k<0时，则当x=-3时，y=2；当x=6时， y=-7. 暑假大串联 2二3士解得=-1， .-1=6k+: lb=-1. .这个函数的解析式为y=x4或y=一x -1. 【例4】如图，直线11⊥x轴于点A(2,0),点B是直 线l1上的动点.直线l2:y=x十1交l1于点C,过点 B作直线l3⊥l2,垂足为D,过点O,B的直线14交 l2于点E,当直线l1,l2,l3能围成三角形时，设该三 角形的面积为S1,当直线l2,l3,l4能围成三角形时， 设该三角形的面积为S2· (1)若点B在线段AC上，且S1=S2,则点B的 坐标为 (2)点B在直线L1,且S2=√3S1,则∠BOA的 度数为 第 部 【分析】根据题意可知，△BDC的面积是S1, △BDE的面积是S2. (1)先画出符合题意的图形，当S1=S2时，D是 整 CE的中点，根据∠ACE=45°得到OB⊥l1,进而A, B重合； 升 (2)根据点B的运动画出所有符合题意的图形， ①当点B在线段CA上时，∠BOA=15°；②当点B 在CA的延长线上时，∠BOA=75°. 【解】(1)设直线l2与x轴交于H(-1,0),与y轴 交于G(0,1),.∠AHC=45°，AC⊥x轴， .∠ACH=45°，，BD⊥CD,.∠CBD=45, .S=S2,..CD=ED,CD=BD,:CD=BD= ED,.∠CBE=90°，.OB⊥l1,.A,B重合， .B(2,0).故答案为(2,0)： y (2)分两种情况：①当点B在线段AC上时， .S2=3S,..DE=3CD,.CD=DB,:DE= √3BD,∴.∠DBE=60°，∠CBD=45°，.∠ABO =75°，.∠AOB=15°；②当点B在线段AC延长线 5 上时，S2=√3S1,DE=W3CD,∴CD=DB, .DE=√3BD,.∠DBE=60°，∠CBD=45°， .∠AB0=15°，.∠AOB=75°.故答案为15 或75°. 【例5】在数学活动课上，小明做了一个梯形纸板， 测得一底为10cm,高为12cm.两腰长分别为15cm 和20cm,求该梯形纸板另一底的长。 【分析】由于本题没有给出梯形的图形，因此梯形 的形状是不确定的，故需分情况讨论。 【解】设梯形ABCD中，AD∥BC,且AD=10cm, AB=15 cm,CD=20 cm,AE=12 cm. 画出梯形ABCD有如下三种情况： ① ② ③ 如图①，②，③，分别过，点A,D作AE⊥BC于点 E,DF⊥BC于，点F,则EF=10cm,AE=DF= 12cm. 在Rt△ABE中，BE=√AB2-AE= √15-12=9(cm).同理CF=√J20-12 =16(cm). 在图①中，BC=BE+EF+FC=35(cm),在图 ②中，BC=EF-BE+FC=17(cm),在图③中，BC =BE+EF-CF=3(cm). 综上所述，这个梯形纸板另一底边的长为35cm 或17cm或3cm. 【例6】在等腰三角形ABC中，AB=5cm,BC= 6cm,则△ABC的面积为 【解】(1)当5cm为腰，6cm为底时，则AB=AC=5 cm,如图1.过A点作AD⊥BC于D,所以CD=3, 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2,所以AD2=5 1 -3,AD=4,因此SaMc=2×6X4=12(cm2): (2)当6cm为腰，5cm为底时，则BC=AC 6cm,如图2.过C,点作CD⊥AB于D,所以AD= 2,在Rt△ACD中，CD=AC2-AD',所以CD'= -(停)》.CD-四，周比sr-××四 2 -/9(cm). 所以△ABC的面积为12cm2或I9cm. 故答案为12cm2或号19cm2. 图1 图2 三、专项训练 1.已知x2+2(m一3)x十49是完全平方式，则 m的值为 A.10或-4 B.10 C.-4 D.3 2.△ABC的一个内角大小为40°，且∠A= ∠B,那么∠C的外角的大小是 () A.140° B.80°或100 C.100°或140 D.80°或140° 3.若一个等腰三角形的三条边长均为整数且周 长为10，其底边长可以为 () A.2,3,4 B.2,4,6,8 C.2,4 D.4 4.一组数据-1,0，x,3,5的极差是7，那么x 可能的值的个数有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.若m为实数，则点P(m-2,m十2)不可能在 A.第一象限 B.第二象限 八年级数学 C.第三象限 D.第四象限 6.已知a|=5,√b=3,且ab>0,则a十b的 值为 () A.8 B.-2 C.8或-8 D.2或-2 7.某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼， 准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x (x≥2)个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近 A,B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出 售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价 均为3元，目前两家超市同时在做促销活动： A超市：所有商品均打九折（按标价的90%） 销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球 设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 yA(元)，在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为 第 y:(元).请解答下列问题： (1)分别写出yA和yB与x之间的关系式； 部 (2)若该活动中心只在一家超市购买，你认为在 哪家超市购买更划算？ 整 (3)若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动 中心设计出最省钱的购买方案 合提(2)证明：由(1)知，△BCP≌△DCP,∴.∠CBP=∠CDP,PE=PB,.∠CBP=∠E, ∴.∠CDP=∠E,∠1=∠2，.180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E,即∠DPE= ∠DCE,.'AB∥CD,.∠DCE=∠ABC=90°，∴.∠DPE=∠ABC=90°； (3)解：在菱形ABCD中，BC=DC,∠BCP=∠DCP, (BC=DC, 在△BCP和△DCP中，∠BCP=∠DCP,∴.△BCP≌△DCP(SAS);.∠CBP= PC=PC, ∠CDP,PE=PB,∴.∠CBP=∠E,∴∠CDP=∠E,同理可得：∠DPE=∠DCE,,AB∥ CD,∴.∠DCE=∠ABC=58°，.∠DPE=∠ABC=58°. 第二部分整合提升 专题一分类讨论思想 1.A2.D3.C4.B5.D6.C 7.解：(1)yA=27x+270,yB=30x+240; (2)当yA=yB时，27.x+270=30x+240,解得x=10; 当yA>yB时，27.x+270>30.x十240，解得x<10; 当yA<yB时，27x+270<30x+240,解得x>10. .当2≤x<10时，到B超市购买划算；当x=10时，两家超市都一样；当x>10时，到A 超市购买划算； (3)x=15>10, ∴.①选择在A超市购买，y1=27×15十270=675（元）； ②可先在B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球 (10×15-20=130个)，则共需费用：10×30+130×3×0.9=651（元），，651<675，.最省钱 的购买方案是：先在B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球. 专题二数形结合思想 1.号2.B3.C4D5.A 6.解：(1)方法1：设乙车休息了th,根据题意，得 ·19