专题02 平面直角坐标系（期末复习知识清单，7常考题型8易错归因6方法技巧）八年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 平面直角坐标系 考点1 基本概念 1. 有序数对记作______，______在前，______在后，(a,b)______（等于/不等于）(b,a)。 2. 平面直角坐标系由同一平面内两条______、______的数轴组成；水平数轴为___轴，竖直数轴为___轴，交点叫______。 3. 四个象限符号：一(____)、二(____)、三(____)、四(____)；________上的点不属于任何象限。 考点2 特殊点坐标 1. x轴上点：____=0；y轴上点：____=0；原点坐标______。 2. 一、三象限角平分线：________；二、四象限角平分线：________。 3. 平行x轴的直线上点：______相同；平行y轴的直线上点：______相同。 4. 点P(x,y)到x轴距离=______，到y轴距离=______。 考点3 对称规律 设点P(x,y)，关于x轴对称：(____,____)；关于y轴对称：(____,____)；关于原点对称：(____,____)。 考点4 平移规律 平移口诀：左__右__横坐标，上__下__纵坐标。 点P(x,y)向右平移3个单位：________；向下平移2个单位：________。 考点5 距离与中点公式 已知A(),B(, ) AB∥x轴，AB=________；AB∥y轴，AB=________； 任意两点距离公式：AB=________________； 中点坐标公式：M=________________。 考点6 图形面积 坐标系中不规则图形面积求解核心方法：________法。 题型1：象限与坐标符号（基础） 例1．（25-26八年级下·上海·期中）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例3．（25-26八年级下·上海·期中）已知、均为正数，则点在平面直角坐标系中的哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 例4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）点位于第______象限． 例5．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，如果是正数，那么点在第_____象限． 变式1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限． 变式4．（25-26八年级下·上海·期中）点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 变式5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）若点在第二象限，那么的取值范围是______． 变式6．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 题型2：距离问题（高频） 例6．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 例7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 例8．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知直角坐标平面上点和，则______． 例9．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫作、两点间的距离，记作．如、，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若、，则 ； (2)当、的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系中，点与点之间的距离为________． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 变式4．（25-26八年级下·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，点，，，通过计算判断的形状． 变式5．（24-25八年级下·上海普陀·期末）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式6．（25-26八年级下·上海·期中）上海迪士尼乐园拥有多个园区．如图是上海迪士尼度假区部分景点游览图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，此时“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和． (1)请利用上述两个坐标，在图中画出正确的平面直角坐标系，并标注原点与坐标轴方向； (2)根据你所建立的坐标系，写出“创极速光轮”景点A的坐标为 ；“加勒比海盗”景点D的坐标为 ； (3)小明和同学假期到迪士尼游玩，从“创极速光轮”景点A处计划前往“加勒比海盗”景点D，他们看到游览图中有两条路线，分别是路线①：（图中虚线），路线②：（图中虚线），此时同学们出现了不同的选择．如果他们保持行走的速度不变，请利用平面直角坐标系的相关知识通过计算说明选择哪条路线能先到达目的地？ 题型3：对称坐标（必考） 例10．（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 例11．（25-26八年级下·上海闵行·期末）点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（    ） A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1） 例12．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 例13．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）平行四边形的两条对角线的交点与直角坐标系中的原点重合，且点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标是_______． 变式1．（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 变式4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 变式5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 题型4：平移计算 例14．（25-26八年级下·上海崇明·期中）将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 例15．（25-26八年级下·上海·期中）点向下平移个单位长度后，对应点的坐标为________． 例16．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后到达点那么点的坐标为_______． 例17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点、． (1)画出线段向右平移个单位长度的线段，并写出点、的坐标； (2)画出线段关于轴对称的线段，并写出点、的坐标； (3)已知点在轴上，且，求的坐标． 变式1．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    ) A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 变式3．（25-26八年级下·上海崇明·期中）点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 变式4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 变式5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 题型5：割补法求面积（解答题） 例18．（24-25八年级下·上海闵行·期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为______，所以面积的大小为______． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______，用其它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积______．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】 我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：______． 变式1．（24-25八年级下·上海普陀·期末）综合与实践（1）动手、计算：数学活动课上，在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图1所示的平面直角坐标系，小明进行了下列操作研究图形的面积计算问题：将点向下平移5个单位长度，得到点，再将点向左平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为：______，的面积为：______；（方法：直接计算） （2）在图2中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______；（方法：直接计算） 总结规律：平移变换下可直接利用特殊图形的面积公式求面积． （3）在图3中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______，（方法：间接计算）并写出算式． 总结规律：平移变换下当不容易直接计算图形的面积时，可利用面积的“割补”来完成计算． 题型6：坐标系与存在性问题（压轴） 例19．（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点B与点A对应，点C与点O对应． (1)直接写出点C的坐标：______； (2)连接，在轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 题型7：含参数取值范围（培优压轴） 例20．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 变式1．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、．若、满足． (1)求点、、的坐标； (2)点为坐标平面内一点； ①若的面积大于，求的取值范围； ②若点在直线上，且满足，求点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 易错点1：有序数对坐标顺序颠倒（先纵后横） 易错核心原理：平面内点的坐标形式为(x,y)，横坐标x在前，纵坐标y在后，(a,b)与(b,a)为两个不同点，学生极易颠倒横、纵坐标顺序。 避错总结：向x轴作垂线，对应纵坐标；向y轴作垂线，对应横坐标，牢记“横y竖x”。 1．若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 易错点2：坐标轴上的点错归为象限点 易错核心原理：x轴上的点纵坐标y=0，y轴上的点横坐标x=0，坐标轴上的所有点均不属于任何象限，这是考试高频陷阱。 避错总结：只要点的横坐标或纵坐标为0，该点在坐标轴上，直接排除四个象限。 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 易错点3：点到坐标轴距离漏绝对值（距离非负） 易错核心原理：点P(x,y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|。距离为非负数，学生常直接套用坐标正负数值，遗漏绝对值导致漏解。 避错口诀：到谁轴求距离，就对谁的坐标取绝对值，距离恒为正。 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点 (1)、两点间的距离是_________； (2)点的坐标是_________； (3)求点的坐标； 易错点4：平行坐标轴直线坐标特征混淆 易错核心原理：直线平行于x轴，直线上所有点纵坐标相同，横坐标不同；直线平行于y轴，直线上所有点横坐标相同，纵坐标不同，学生易记反横纵坐标规律。 避错总结：平行x轴，竖同横不同；平行y轴，横同竖不同。 4．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 易错点5：象限角平分线坐标规律记反 易错核心原理：一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等，即x=y；二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，即x=-y，是高频混淆考点。 避错口诀：一三相等，二四相反。 5．已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 易错点6：坐标平移方向搞反 易错核心原理：坐标平移规律：左右平移改变横坐标，左加右减；上下平移改变纵坐标，上加下减，学生常颠倒加减规则。 避错总结：左移减、右移加（变x），下移减、上移加（变y），平移方向与数值变化严格对应。 6．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 易错点7：对称点坐标变换出错 易错核心原理：对称点坐标规律：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号(x,y)→(x,-y)；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号(x,y)→(-x,y)；关于原点对称，横纵坐标全部变号(x,y)→(-x,-y)。 避错口诀：轴对称变一号，原点对称变两号，谁对称谁不变。 7．与点关于轴对称的点的坐标是__________ 8．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 易错点8：坐标系中割补法求图形面积出错 易错核心原理：平面直角坐标系中求三角形面积，高为对应顶点横、纵坐标的差值，并非坐标原值，学生常直接代入坐标数值计算，导致面积计算错误。 避错总结：坐标系中求高，需用纵向或横向坐标差值，不可直接使用顶点坐标原值。 9．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 技巧1：象限符号判定法（坐标正负定象限） 核心口诀：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限。 解题方法：根据横、纵坐标的正负直接判断点所在象限；若点的坐标含参数，可根据象限符号特征列不等式组，求解参数取值范围，是选择、填空题高频考点。 1．平面直角坐标系中的点在第四象限，则m的取值范围________． 技巧2：点到坐标轴距离公式（高频填空必考） 核心规律：设平面内任意一点P(x,y) 1. 点P到x轴的距离=|y|（纵坐标的绝对值） 2. 点P到y轴的距离=|x|（横坐标的绝对值） 易错提醒：距离为非负数，计算必须加绝对值，不可直接代入坐标数值。 2．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为3，求点的坐标． 技巧3：点的平移规律（左减右加，上加下减） 核心规则：针对点P(x,y)平移变换 1. 左右平移（改变横坐标x）：左移减、右移加，纵坐标不变； 2. 上下平移（改变纵坐标y）：下移减、上移加，横坐标不变； 3. 逆向平移反向套用规则，可解决平移还原问题。 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 技巧4：坐标对称三大类型（x轴、y轴、原点） 核心变换规律（必考基础）： 对称类型 坐标变换规则 记忆口诀 关于x轴对称关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵坐标不变，横坐标变号 关于原点对称 (x,y)→(-x,-y) 横、纵坐标全部变号 4．如图是一个被抹去轴、轴及原点的网格图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的各顶点都在网格的格点上，若记点的坐标为(-1，3)，点的坐标为(1，-1)． (1)请在图中画出轴、轴及原点； (2)把向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的． 5．如图，我们将数轴水平放置称为轴，将数轴竖直放置称为轴，轴与轴的交点称为原点，由轴、轴及原点就组成了一个平面．若平面上的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到（如图），再按照“平移量”平移到，最后按照“平移量”平移到．请你画出四边形． 技巧5：两点间距离公式（平行坐标轴简化计算） 6．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 技巧6：中点坐标公式 7．点和点的中点坐标为________． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面直角坐标系 考点1 有序数对与平面直角坐标系基本概念【★基础必考】 1. 有序数对：有顺序的两个数(a,b)，先横后纵，(a,b)≠(b,a)，可唯一确定平面内一个点的位置。 2. 坐标系构成：平面内互相垂直、原点重合的两条数轴组成平面直角坐标系。水平数轴为x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴为y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点O(0,0)为坐标原点。 3. 坐标定义：过平面内一点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a（横坐标）、b（纵坐标），该点坐标记作P(a,b)。 4. 象限划分：坐标轴将平面分为4个象限，坐标轴上的所有点不属于任何象限。 象限 横坐标符号 纵坐标符号 第一象限 + + 第二象限 - + 第三象限 - - 第四象限 + - 易错点拨：判断点的象限优先看坐标符号，严格遵循先横后纵顺序，切勿颠倒横、纵坐标。 考点2 特殊位置点坐标特征【★高频填空选择】 1. 坐标轴上的点 x轴上的点：，坐标形式为(x,0)； y轴上的点：，坐标形式为(0,y)； 坐标原点：(0,0)，同时在x轴、y轴上。 2. 象限角平分线上的点 一、三象限角平分线：横纵坐标相等，即； 二、四象限角平分线：横纵坐标互为相反数，即。 3. 平行于坐标轴直线上的点 直线平行于x轴：直线上所有点纵坐标相同（y为定值）； 直线平行于y轴：直线上所有点横坐标相同（x为定值）。 易错点拨：点到坐标轴的距离为非负数，计算必须添加绝对值符号，极易遗漏导致失分。 考点3 点的对称变换坐标规律【★必考】 1. 点关于 x 轴对称 坐标变换规律：横坐标不变，纵坐标取相反数 变换公式：P(x，y) → P₁(x，－y) 记忆口诀：x不变，y变号 几何特征：两点连线垂直于x轴，两点到x轴距离相等 2. 点关于 y 轴对称 坐标变换规律：纵坐标不变，横坐标取相反数 变换公式：P(x，y) → P₂(－x，y) 记忆口诀：y不变，x变号 几何特征：两点连线垂直于y轴，两点到y轴距离相等 3. 点关于原点对称 坐标变换规律：横坐标、纵坐标全部取相反数 变换公式：P(x，y) → P₃(－x，－y) 记忆口诀：原点对称，正负全变 几何特征：原点为两点连线的中点，两点中心重合 4. 对称规律汇总表 对称类型 原坐标 对称后坐标 变化特点 关于x轴对称 P(x，y) (x，－y) x不变，y变号 关于y轴对称 P(x，y) (－x，y) y不变，x变号 关于原点对称 P(x，y) (－x，－y) x、y全部变号 考点4 点/图形平移坐标变化 核心口诀：左减右加横坐标，上加下减纵坐标 设点P(x,y)，平移后坐标变化： 水平平移：右移a个单位(x+a,y)；左移a个单位(x-a,y) 竖直平移：上移b个单位(x,y+b)；下移b个单位(x,y-b) 易错点拨：图形整体平移与顶点平移规律一致，所有顶点坐标同步变化；逆向平移需反向套用口诀。 考点5 两点间距离公式+中点公式【★本章重难点·解答必考】 1. 平行坐标轴简化距离公式 AB∥x轴时，两点纵坐标相同，； AB∥y轴时，两点横坐标相同，。 2. 任意两点距离公式（勾股定理推导） 3. 中点坐标公式：线段AB的中点M坐标为 考点6 坐标系中图形面积计算【★压轴小问·割补法】 1. 规则图形（边平行坐标轴）：直接通过横、纵坐标差值求出边长，利用常规面积公式（长×宽、底×高÷2）计算； 2. 不规则多边形：核心方法为割补法，可分割为多个规则图形求和，或补成矩形/正方形后减去周边多余图形面积； 3. 特殊三角形：三角形有边在坐标轴上或平行于坐标轴时，以该线段为底，对应高为另一顶点坐标的绝对值，简化计算。 考点7 建立平面直角坐标系（实际应用） 根据几何图形特点选取合适原点（常用顶点、图形中心），确定坐标轴方向，建立平面直角坐标系，进而求出多边形各顶点坐标，常应用于矩形、等腰三角形、正方形等规则图形。 考点8 含参数坐标取值范围（分类讨论）【★易错压轴选择】 已知含参数点P(m,n)所在象限、坐标轴或直线，根据对应位置的坐标符号特征、取值规律，列出不等式（组），求解参数的取值范围，解题核心为分类讨论、不重不漏。 解题步骤：①根据点的位置列不等式；②解一元一次不等式（组）；③检验取值范围是否符合题意。 题型1：象限与坐标符号（基础） 例1．（25-26八年级下·上海·期中）已知点在第二象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限、已知点所在的象限求参数 【分析】先根据点A所在象限得到m，n的取值范围，再推导点B横纵坐标的符号，即可判断点B所在象限． 【详解】解：∵点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0． ∴，． ∴ ，． ∵第三象限内点的横坐标和纵坐标都小于0． ∴点在第三象限． 例2．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，即可判断点所在象限． 【详解】解：∵平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特点为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的横纵坐标都为负数，符合第三象限点的坐标特征， ∴点在第三象限． 例3．（25-26八年级下·上海·期中）已知、均为正数，则点在平面直角坐标系中的哪个象限（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据已知条件判断出点的横、纵坐标的正负性，再根据各象限内点的坐标特征来确定该点所在的象限． 【详解】∵a、b均为正数， ∴，即，， ∵点的横坐标，纵坐标，符合第二象限内点的坐标特征， ∴点在第二象限． 例4．（25-26八年级下·上海闵行·期中）点位于第______象限． 【答案】三 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，即可判断点所在象限． 【详解】因为点的横坐标，纵坐标，根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，横纵坐标均为负数的点位于第三象限，所以点位于第三象限． 例5．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，如果是正数，那么点在第_____象限． 【答案】一 【知识点】判断点所在的象限 【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号特征，判断点横纵坐标的符号，即可确定点所在象限． 【详解】解：由题意得，是正数，即，点的纵坐标， 因此点的横纵坐标均为正数，符合第一象限内点的坐标特征， 故点在第一象限． 变式1．（25-26八年级下·上海闵行·期中）如果点在轴上，则的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】根据轴上点的坐标特征，轴上的点横坐标为0，先求出的值，再计算得到点的纵坐标，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点在轴上 ∴点的横坐标为，即 ， 解得 ， ∴， ∴点的坐标为． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，点在第二象限，它到轴、轴的距离分别为个单位长度和个单位长度，那么点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，以及点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解点P的坐标． 【详解】解：设点的坐标为， 点在第二象限， ， 点到轴的距离为个单位长度，到轴的距离为个单位长度， ， ∴， 点的坐标为． 变式3．（25-26八年级上·上海·期末）若点在轴上，则点在第___________象限． 【答案】四 【知识点】已知点所在的象限求参数、判断点所在的象限 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点的坐标特征，解题的关键是掌握数形结合的思想． 根据y轴上点的横坐标为0，求出m的值，再代入点B的坐标，判断其所在象限即可． 【详解】点A在y轴上， ，解得， ，故点B在第四象限． 故答案为：四． 变式4．（25-26八年级下·上海·期中）点P在第二象限，它到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，则点P的坐标是______． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第二象限点的符号，点到直线的距离进行判定即可求解． 【详解】解：设点， ∵点P到x轴的距离是3，到y轴的距离是4， ∴， ∵点P在第二象限， ∴， ∴点P的坐标是． 变式5．（25-26八年级下·上海闵行·期中）若点在第二象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】根据第二象限内点的坐标特征，横坐标小于零，纵坐标大于零，列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】解：点在第二象限， ， 解不等式组得：． 变式6．（25-26八年级下·上海金山·期中）若点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围是__________ 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【详解】∵点在第二象限， , ∴解得：． 题型2：距离问题（高频） 例6．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，已知点，以原点为圆心，为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】先利用勾股定理求出的长度，根据作图可知，结合点在轴正半轴的位置即可得到点的坐标． 【详解】解：原点坐标为，点坐标为， ， 以点为圆心长为半径画弧，交轴的正半轴于点， ， 点坐标为． 例7．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知，，那么P、Q两点间距离为______． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 【详解】解： 和， ． 例8．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）已知直角坐标平面上点和，则______． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、利用二次根式的性质化简 【分析】根据两点间距离公式代入坐标计算即可． 【详解】解：和， ． 例9．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）阅读材料：对于平面直角坐标系中的任意两点、，我们把叫作、两点间的距离，记作．如、，则．请根据以上阅读材料，解答下列问题： (1)若、，则 ； (2)当、的距离时，求出的值； (3)若在平面内有一点，使式子有最小值，请求出这个最小值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】化为最简二次根式、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据两点间的距离公式求解即可； （2）根据两点间的距离公式可得，则，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得表示的是点到点的距离与点到点的距离之和，根据两点之间，线段最短可得当点在点和点组成的线段上时有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵、， ∴； （2）解：∵、的距离， ∴， ∴， ∴， 解得或； （3）解： ， ∵表示点到点的距离， 表示点到点的距离， ∴表示的是点到点的距离与点到点的距离之和， 根据两点之间，线段最短可知，当点在点和点组成的线段上时，有最小值，最小值为点与点的距离， ， ∴的最小值为． 变式1．（24-25八年级下·上海闵行·阶段检测）在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为5，且满足那么满足条件的点的个数（   ） A．1个 B．2个 C．4个 D．不存在 【答案】B 【知识点】因式分解法解一元二次方程、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了勾股定理，解一元二次方程；根据勾股定理可得，将代入，解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由可得， ∵点到坐标原点的距离为5， ∴ ∴ 解得：或 当时， 当时， 即或 故选：B． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）平面直角坐标系中，点与点之间的距离为________． 【答案】5 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】根据两点之间的距离公式即可求解． 【详解】解：． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）已知三个顶点的坐标分别为、、，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义 【分析】利用两点间距离公式求出三边的长度，根据边的数量关系判断三角形的形状． 【详解】解：，，， 可得， 即， 因此是等腰三角形． 变式4．（25-26八年级下·上海静安·期中）在平面直角坐标系中，点，，，通过计算判断的形状． 【答案】是等腰直角三角形 【知识点】已知两点坐标求两点距离、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的定义 【详解】解：∵点，，， ∴， ， ， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形． 变式5．（24-25八年级下·上海普陀·期末）已知线段的中点为，平移线段后的对应线段为，若点的对应点为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式、由平移方式确定点的坐标 【分析】先根据点和对应点的坐标确定平移规律，再利用中点坐标公式求出原端点的坐标，最后根据平移规律计算的坐标即可. 【详解】解：点平移后的对应点为， 平移规律为横坐标减，纵坐标加，即向左平移个单位，向上平移个单位， 设点的坐标为， 中点为， 由中点坐标性质得， 解得：， 点的坐标为， 根据平移规律，点的横坐标为，纵坐标为， 的坐标为． 故选：B． 变式6．（25-26八年级下·上海·期中）上海迪士尼乐园拥有多个园区．如图是上海迪士尼度假区部分景点游览图，若分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，此时“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和． (1)请利用上述两个坐标，在图中画出正确的平面直角坐标系，并标注原点与坐标轴方向； (2)根据你所建立的坐标系，写出“创极速光轮”景点A的坐标为 ；“加勒比海盗”景点D的坐标为 ； (3)小明和同学假期到迪士尼游玩，从“创极速光轮”景点A处计划前往“加勒比海盗”景点D，他们看到游览图中有两条路线，分别是路线①：（图中虚线），路线②：（图中虚线），此时同学们出现了不同的选择．如果他们保持行走的速度不变，请利用平面直角坐标系的相关知识通过计算说明选择哪条路线能先到达目的地？ 【答案】(1)见解析 (2)， (3)路线①先到达目的地 【知识点】二次根式的加减运算、实际问题中用坐标表示位置、已知两点坐标求两点距离 【分析】（1）根据“雷鸣山漂流”景点C和“小矮人矿山车”景点B的坐标分别是和即可确定作出平面直角坐标系； （2）根据坐标系即可求解； （3）根据两点之间距离公式分别求解，，再比较即可． 【详解】（1）解：如图，平面直角坐标系即为所求； （2）解：由坐标系可得，“创极速光轮”景点A的坐标为；“加勒比海盗”景点D的坐标为； （3）解：路线①的路程为； 路线②的路程为， ∵ ∴， ∴路线①的路程短，故路线①先到达目的地． 题型3：对称坐标（必考） 例10．（25-26八年级下·上海·期中）点关于原点对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求关于原点对称的点的坐标 【分析】关于原点对称的两个点，横、纵坐标分别互为相反数； 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是． 例11．（25-26八年级下·上海闵行·期末）点A(1，5)关于y轴对称点的坐标为（    ） A．（-1，-5） B．（1，-5） C．（-1，5） D．（5，-1） 【答案】C 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案． 【详解】解：点P（1，5）关于y轴的对称点的坐标是（-1，5）， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 例12．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标系中的对称 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 例13．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）平行四边形的两条对角线的交点与直角坐标系中的原点重合，且点A、B的坐标分别为、，则点D的坐标是_______． 【答案】/ 【知识点】利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】平行四边形对角线互相平分，对角线的交点为坐标原点，因此点与点关于原点对称，利用关于原点对称的点的坐标规律即可求出点的坐标． 【详解】解：∵平行四边形的两条对角线交点与直角坐标系原点重合，平行四边形对角线互相平分， ∴原点为线段的中点，即点与点关于原点对称． ∵关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数，点的坐标为 ∴点的坐标为． 变式1．（25-26八年级下·上海松江·期中）在平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， 即，． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）点与点在平面直角坐标系中关于哪条线对称（   ） A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】B 【知识点】坐标系中的对称 【分析】根据平面直角坐标系中点的对称坐标特征，通过分析两点横纵坐标的关系，即可确定对称轴． 【详解】解：∵点与点的纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴对称轴为直线，即轴． 变式3．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 【答案】9 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点关于轴对称， ，， 解得， ． 变式4．（25-26八年级下·上海青浦·期中）在平面直角坐标系中，点与点关于轴对称，则的值是_____． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称 【分析】关于轴对称的两个点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴． 变式5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）已知点与点关于x轴对称，则点在第______象限． 【答案】三 【知识点】判断点所在的象限、坐标与图形变化——轴对称 【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征，求出和的值，再根据象限内点的坐标特征判断点所在象限． 【详解】解：∵点与点关于x轴对称， ∴， ∴点的坐标为． ∴点在第三象限． 题型4：平移计算 例14．（25-26八年级下·上海崇明·期中）将向右平移3个单位长度后得到点B，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据点的平移规律：左右平移改变横坐标，右移加左移减，纵坐标不变，本题按规律计算即可得到结果. 【详解】解：将向右平移3个单位长度后得到点B， ∴ 点的坐标为，即. 例15．（25-26八年级下·上海·期中）点向下平移个单位长度后，对应点的坐标为________． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查坐标与图形的平移变化，解题思路是根据点平移的坐标变化规律，向下平移时横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度，计算得到对应点的坐标. 【详解】解：在平面直角坐标系中，点平移的坐标规律为：将点向下平移个单位长度，得到的对应点坐标为. 已知点，向下平移个单位长度， 横坐标不变，为，纵坐标计算得： 因此平移后对应点的坐标为. 例16．（25-26八年级下·上海·期中）将点先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后到达点那么点的坐标为_______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，向左平移横坐标减平移单位长度，向下平移纵坐标减平移单位长度，依次计算即可得到点的坐标． 【详解】解：将点向左平移个单位长度，横坐标减，得到点的坐标为，即，再将点向下平移个单位长度，纵坐标减，得到点，即． 例17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知线段的两个端点、． (1)画出线段向右平移个单位长度的线段，并写出点、的坐标； (2)画出线段关于轴对称的线段，并写出点、的坐标； (3)已知点在轴上，且，求的坐标． 【答案】(1)见解析；、 (2)见解析；、 (3)或 【知识点】已知两点坐标求两点距离、坐标与图形变化——轴对称、公式法解一元二次方程、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据平移的性质解答即可； （2）根据轴对称的性质解答即可； （3）设点M的坐标为，根据题意可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； 点、的坐标分别为、； （2）解：如图，线段即为所求； 点、的坐标分别为、； （3）解：设点M的坐标为， 根据题意得：， ∵， ∴， ∵点， ∴， 整理得：， 解得：， ∴点M的坐标为或． 变式1．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）在平面直角坐标系中，将点先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后与点重合，则点的坐标是(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】根据点的平移规律：横坐标左移减右移加，纵坐标下移减上移加，按平移步骤计算即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴点向左平移个单位长度后，横坐标为，得到点， 再将点向下平移个单位长度，纵坐标为， ∴点的坐标为 ． 变式2．（25-26八年级下·上海青浦·期中）线段是由线段平移得到的，点的对应点为，则点的对应点的坐标是_____． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】先由点和点的坐标确定平移过程，再求出点的坐标． 【详解】解：∵点由点平移得到， ∴平移过程为：向右个单位长度，向下个单位长度， ∵， ∴点的坐标为，即． 变式3．（25-26八年级下·上海崇明·期中）点向________平移________个单位长度后所对应的点的坐标是． 【答案】 右 5 【知识点】已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】根据平移前后点的坐标特征，纵坐标不变，可知点沿水平方向平移，再计算横坐标的变化量，结合平面直角坐标系中点的平移规律即可得到平移方向和平移单位长度. 【详解】解：∵点，平移后对应的点的坐标为，纵坐标不变， 故点沿着水平方向平移，平移距离为． 故点A向右平移5个单位长度得到点. 变式4．（25-26八年级下·上海普陀·期中）在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移得到线段，点A和点B的对应点分别是点和点，如果点的坐标是，那么点的坐标是______． 【答案】 【知识点】由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】根据点平移的性质进行求解． 【详解】解：∵点的对应点为点， ∴可以看作点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， ∴点的坐标为，即． 变式5．（25-26八年级下·上海青浦·期中）如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． (1)画出平移后的，并写出点的坐标为_____； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】(1)图见解析， (2)或或 【知识点】平移(作图)、由平移方式确定点的坐标、平行四边形性质的其他应用、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 题型5：割补法求面积（解答题） 例18．（24-25八年级下·上海闵行·期末）对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法： 如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点，作水平线的铅垂线，，，之间的距离叫做水平宽；如图1所示，过点作水平线的铅垂线交于点，称线段的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点，作水平线，，，之间的距离叫做四边形的铅垂高． 【结论提炼】 容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“” 【结论应用】 为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系． 已知：如图3，点，，，则的水平宽为10，铅垂高为______，所以面积的大小为______． 【再探新知】 三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索： （1）在图4所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图4中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） （2）在图5所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形面积的大小是______，用其它的方法进行计算得到面积的大小是______，由此发现：用“”这一方法对求图5中四边形的面积______．（“适合”或“不适合”） （3）在图6所示的平面直角坐标系中，取，，，四个点，得到了四边形．通过计算发现：用“”这一方法对求图6中四边形的面积______．（填“适合”或“不适合”） 【归纳总结】 我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“”来求面积．那么，可以用“”来求面积的四边形应满足的条件是：______． 【答案】结论应用：4，20； 再探新知：（1）36，37.5，不合适； （2）36，36，合适； （3）合适； 归纳总结：一条对角线等于水平宽或铅垂高． 【知识点】坐标与图形 【分析】结论应用：直接代入公式即可； 再探新知：（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案； （2）（3）与（1）同理； 归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=dh”来求面积． 【详解】解：结论应用：由图形知，铅垂高为4，S△ABC=×10×4=20， 故答案为：4，20； 再探新知： （1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 8×9-×2×6−×3×5−×6×5−×3×4=37.5， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适， 故答案为：36，37.5，不合适； （2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 8×9-×3×5−×6×5−×3×6−×3×3=36， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适， 故答案为：36，36，合适； （3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10， ∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小 45， 利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为： 10×9-×5×7−×4×6−×5×3−×4×4=45， ∴用“S=dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适， 故答案为：合适； 归纳总结：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=dh”来求面积， 故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高． 【点睛】本题主要考查了图形的面积，坐标与图形，割补法求不规则图形的面积等知识，由特殊到一般，采用类比的方法是解题的关键． 变式1．（24-25八年级下·上海普陀·期末）综合与实践（1）动手、计算：数学活动课上，在边长为1的小正方形组成的网格中建立如图1所示的平面直角坐标系，小明进行了下列操作研究图形的面积计算问题：将点向下平移5个单位长度，得到点，再将点向左平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为：______，的面积为：______；（方法：直接计算） （2）在图2中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______；（方法：直接计算） 总结规律：平移变换下可直接利用特殊图形的面积公式求面积． （3）在图3中，线段的端点坐标、，将线段向下平移5个单位长度，得到线段，再将线段向左平移4个单位长度，得到线段，则四边形的面积为：______，（方法：间接计算）并写出算式． 总结规律：平移变换下当不容易直接计算图形的面积时，可利用面积的“割补”来完成计算． 【答案】（1）（-1，-2），10；（2）8 ；（3）13． 【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）先确定A1（3，3）、A2（3，-2）、A3（-1，-2），然后再求解即可； （2）利用平行四边形的面积公式计算即可； （3）利用分割法把平行四边形的面积看成长方形面积减去周围4个三角形面积进行解答即可． 【详解】解：（1）由题意可得：A1（3，3）、A2（3，-2）、A3（-1，-2）， ∴A1A2=5，A2A3=4，∠A1A2A3=90°， ∴△A1A2A3的面积=×4×5=10； 故填（-1，-2），10； （2）由题意得：A1B1=3-1=2 ∴四边形A1B1B3A3的面积为=2×4=8； 故填8； （3）四边形A1B1B3A3的面积=． 故填13． 题型6：坐标系与存在性问题（压轴） 例19．（25-26八年级下·上海·期中）如图，平面直角坐标系中有三点、、，平移线段得到线段，点A的对应点为点C，连接． (1)点D的坐标为 ． (2)若在x轴上存在点M，使得是以为腰的等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、已知两点坐标求两点距离、由平移方式确定点的坐标、等腰三角形的定义 【分析】（1）先确定平移方式，再由平移方式求解点D的坐标； （2）先求出，然后设，再分两种情况讨论，根据两点之间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点、、，平移线段得到线段 ∴点向右平移了2个单位，向上平移了3个单位， ∴点向右平移2个单位，向上平移了3个单位后得到点，即； （2）解：∵， ∴ 设， 则当时，即，则， 解得， ∴或； 当时，即，则， 解得， ∴ 综上：点的坐标为或或． 变式1．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点与点对应，点与点对应． (1)写出点的坐标：________； (2)连接、、，在坐标轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点P的坐标为或或或 【知识点】利用平行四边形的判定与性质求解、由平移方式确定点的坐标、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，进而得到，分两种情况求点：①若在轴上：以为底、的纵坐标为高，列方程求的横坐标；②若在轴上：以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标；最后综合两种情况，即可得到所有满足条件的点坐标． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点B先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 分两种情况讨论： ①当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； ②当点在轴上时，设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 【点睛】点在坐标轴上，坐标轴包含轴和轴，必须分两种情况讨论． 变式2．（25-26八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系中，已知点，．将线段平移，使点B与点A对应，点C与点O对应． (1)直接写出点C的坐标：______； (2)连接，在轴上是否存在点，使得？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据平移的规律解答即可； （2）根据平移的性质可得四边形为平行四边形，从而得到，可得，设点的坐标为，以为底、的横坐标绝对值为高，列方程求的纵坐标即可． 【详解】（1）解：∵平移后点与点对应，，， ∴点A先向右平移1个单位，再向下平移4个单位到达点B， ∵， ∴点的坐标为； （2）解：存在， 如图， 由平移的性质得：， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵, ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点在轴上时， ∴设点的坐标为， ， 解得， ∴点的坐标为或； 综上，点的坐标为或． 变式3．（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如图①，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、，点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度． (1)求的值． (2)在轴上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． (3)如图②，把线段向上平移个单位长度得到线段，连接、、交轴于点，过点作于点，将长方形和长方形同时分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右平移，经过多长时间长方形与长方形重叠的面积为？请你直接写出运动的时间． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)秒或秒 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据坐标轴上两点间的距离公式建立方程求解即可； （2）先确定出的面积，进而求出的面积，利用面积建立方程求解即可； （3）分两种情况讨论，由重叠面积为，列出方程可求解． 【详解】（1）解：点、分别在原点两侧，且、两点间的距离等于个单位长度，， ， 解得； （2）解：存在， ，， ， ， ， 当点在轴上时， 设， ， ， ， 或； （3）解：设经过秒后长方形与长方形重叠面积为， 由题意可得，后，点，，， ①当长方形与长方形重叠部分在长方形左侧时， 高必为， 底为， ， ， ②当长方形与长方形重叠部分在长方形右侧时， 高必为， 底为， ， 综上所述：运动时间为或秒． 题型7：含参数取值范围（培优压轴） 例20．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知、、、 (1)判断四边形的形状并求出面积； (2)点在四边形的内部（不包括边），直接写出，的取值范围． 【答案】(1)四边形是矩形，面积为18 (2)， 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标、求点到坐标轴的距离 【分析】（1）根据点的坐标判定图形的形状，根据点的坐标求出线段的长度； （2）根据点的坐标确定点的坐标的取值范围． 【详解】（1）解：由、、、得， 点的横坐标相同，点的横坐标相同，点的纵坐标相同，点的纵坐标相同， ∴轴，轴，轴，轴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：∵点在四边形的内部（不包括边）， ∴由（1）可得，． 变式1．（25-26八年级下·上海金山·期中）在平面直角坐标系中，已知点、、．若、满足． (1)求点、、的坐标； (2)点为坐标平面内一点； ①若的面积大于，求的取值范围； ②若点在直线上，且满足，求点的坐标． 【答案】(1)、、 (2)；点的坐标为或 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】（1）根据算术平方根和完全平方数的非负性得到，的值，即可得解； （2）根据三角形面积公式表示出，然后根据题意列不等式求解即可得解；分情况讨论：当点在轴上方时，当点在轴下方时，当点在轴时，根据三角形面积公式表示出和求解，根据面积关系列等式求解即可． 【详解】（1）解：、满足，，， ，， ，， 、、， 、、； （2）解：， 的面积大于， ，解得； ， 点在直线上， ， 设直线与轴的交点为， 当点在轴上方时， ， ， ，解得， 点的坐标为； 当点在轴下方时， ， ， ，解得， 点的坐标为； 当点在轴时，此时，故此情况不存在； 综上，点的坐标为或 变式2．（25-26八年级下·上海杨浦·期中）已知是平面直角坐标系中的一点． (1)若点A在y轴上，求a的值； (2)若点A在第二象限，求a的取值范围； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求不等式组的解集、求点到坐标轴的距离、已知点所在的象限求参数 【分析】（1）在y轴上的点的横坐标为0，据此求解即可； （2）在第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，据此列式求解即可； （3）点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为该点横坐标的绝对值，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点在y轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点在第二象限， ∴， 解得； （3）解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解方程，可知该方程无解， 解方程得； 综上所述， 易错点1：有序数对坐标顺序颠倒（先纵后横） 易错核心原理：平面内点的坐标形式为(x,y)，横坐标x在前，纵坐标y在后，(a,b)与(b,a)为两个不同点，学生极易颠倒横、纵坐标顺序。 避错总结：向x轴作垂线，对应纵坐标；向y轴作垂线，对应横坐标，牢记“横y竖x”。 1．若电影院的排号记为，则排号可记为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了位置与坐标，解题的关键是理解题目的规定，明确位置与坐标的对应关系． 根据有序数对的第一个数表示排数，第二个数表示号数解答． 【详解】解：若电影院的排号记为， 则排号可记为； 故选：C 易错点2：坐标轴上的点错归为象限点 易错核心原理：x轴上的点纵坐标y=0，y轴上的点横坐标x=0，坐标轴上的所有点均不属于任何象限，这是考试高频陷阱。 避错总结：只要点的横坐标或纵坐标为0，该点在坐标轴上，直接排除四个象限。 2．在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先判断点P横纵坐标的正负，再根据象限特征判断位置即可． 【详解】解：∵ 对于任意实数，都有， ∴ ， 又∵ 点的纵坐标，第一象限内点的横纵坐标均为正数， ∴ 点在第一象限． 易错点3：点到坐标轴距离漏绝对值（距离非负） 易错核心原理：点P(x,y)到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|。距离为非负数，学生常直接套用坐标正负数值，遗漏绝对值导致漏解。 避错口诀：到谁轴求距离，就对谁的坐标取绝对值，距离恒为正。 3．（25-26八年级下·上海徐汇·期中）在平面直角坐标系中，已知点和点，线段的垂直平分线交于点，交轴于点 (1)、两点间的距离是_________； (2)点的坐标是_________； (3)求点的坐标； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段垂直平分线的性质、已知两点坐标求两点距离、中点坐标 【分析】（1）根据点的坐标，利用勾股定理求解； （2）利用线段中点坐标公式求解； （3）连接，利用线段垂直平分线的性质列出方程求解． 【详解】（1）解：由勾股定理，得、两点间的距离为； （2）解：∵点是线段的中点， ∴点的坐标为，即； （3）解：如图所示，连接， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， 假设，根据勾股定理， ∴， 解得， ∴点的坐标． 易错点4：平行坐标轴直线坐标特征混淆 易错核心原理：直线平行于x轴，直线上所有点纵坐标相同，横坐标不同；直线平行于y轴，直线上所有点横坐标相同，纵坐标不同，学生易记反横纵坐标规律。 避错总结：平行x轴，竖同横不同；平行y轴，横同竖不同。 4．已知点的坐标为，且，若轴且，则点的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据平方根和绝对值的非负性求出点A的坐标，再根据平行于y轴的直线上的点的横坐标相等，结合距离公式求解点B的坐标． 本题考查非负数的性质和坐标与图形性质． 【详解】解：由， 根据非负数的性质，得且， 解得， 所以点A的坐标为． 由于轴， 所以点B的横坐标与点A相同，且为3． 又， 当点B在点A的上方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为； 当点B在点A的下方时，根据平移思想，得其纵坐标为，此时点B的坐标为． 故点B的坐标为或． 故答案为：或． 易错点5：象限角平分线坐标规律记反 易错核心原理：一、三象限角平分线上的点，横纵坐标相等，即x=y；二、四象限角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，即x=-y，是高频混淆考点。 避错口诀：一三相等，二四相反。 5．已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值（    ） A． B．或2 C．2 D．6或 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标，掌握平面直角坐标系象限角平分线上的点的坐标规律是解题的关键． 根据第二、四象限角平分线上的点满足横纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ，解得． 故选：A． 易错点6：坐标平移方向搞反 易错核心原理：坐标平移规律：左右平移改变横坐标，左加右减；上下平移改变纵坐标，上加下减，学生常颠倒加减规则。 避错总结：左移减、右移加（变x），下移减、上移加（变y），平移方向与数值变化严格对应。 6．如图，点A、B的坐标分别是，若将线段平移至的位置，与坐标分别是和，则线段在平移过程中扫过的图形面积为________． 【答案】32 【知识点】利用平移的性质求解、坐标系中的平移 【分析】本题主要考查坐标与图形变化平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．直接利用平移中点的变化规律求出，的值，再根据线段在平移过程中扫过的图形面积四边形的面积求解即可． 【详解】解：点、的坐标分别为，，平移后与坐标分别是和， 可知将线段向右平移5个单位，向上平移4个单位， ，， 与坐标分别是和， 如图： 线段在平移过程中扫过的图形面积． 故答案为：32． 易错点7：对称点坐标变换出错 易错核心原理：对称点坐标规律：关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号(x,y)→(x,-y)；关于y轴对称，纵坐标不变、横坐标变号(x,y)→(-x,y)；关于原点对称，横纵坐标全部变号(x,y)→(-x,-y)。 避错口诀：轴对称变一号，原点对称变两号，谁对称谁不变。 7．与点关于轴对称的点的坐标是__________ 【答案】 【详解】解：与点关于轴对称的点的坐标是． 8．在平面直角坐标系中，点、，则，两点关于（    ）对称． A．原点 B．轴 C．轴 D．轴和轴 【答案】C 【详解】解；∵、， ∴点A和点B的横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴，两点关于y轴对称， 故选：C． 易错点8：坐标系中割补法求图形面积出错 易错核心原理：平面直角坐标系中求三角形面积，高为对应顶点横、纵坐标的差值，并非坐标原值，学生常直接代入坐标数值计算，导致面积计算错误。 避错总结：坐标系中求高，需用纵向或横向坐标差值，不可直接使用顶点坐标原值。 9．已知线段平移后得到对应线段，进而可得平行四边形．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，． (1)是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)存在，点D的坐标为或或 (2) 【分析】（1）设，然后根据题意分三种情况讨论，分别根据平行四边形的性质和平移的性质求解即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：存在，设 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点B和点C是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点C是对应点，点B和点D是对应点， ∴， ∴， ∴； 如图，当四边形是平行四边形时，线段平移后得到对应线段， ∴点A和点D是对应点，点C和点B是对应点， ∴， ∴， ∴； 综上所述，存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或； （2）解：∵平行四边形的顶点坐标分别为，，，，如图 ∴平行四边形的面积． 技巧1：象限符号判定法（坐标正负定象限） 核心口诀：一(+,+)、二(-,+)、三(-,-)、四(+,-)；坐标轴上的点不属于任何象限。 解题方法：根据横、纵坐标的正负直接判断点所在象限；若点的坐标含参数，可根据象限符号特征列不等式组，求解参数取值范围，是选择、填空题高频考点。 1．平面直角坐标系中的点在第四象限，则m的取值范围________． 【答案】 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， 即． 技巧2：点到坐标轴距离公式（高频填空必考） 核心规律：设平面内任意一点P(x,y) 1. 点P到x轴的距离=|y|（纵坐标的绝对值） 2. 点P到y轴的距离=|x|（横坐标的绝对值） 易错提醒：距离为非负数，计算必须加绝对值，不可直接代入坐标数值。 2．在平面直角坐标系中，有一点． (1)若点在轴上，求的值． (2)若点在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为3，求点的坐标． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据轴上的点的横坐标为0，进行求解即可； （2）根据点到坐标轴的距离为横，纵坐标的绝对值，结合第四象限的点的符号特征，进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，，解得； （2）解：由题意，， ， 解得， ∴， ∴. 技巧3：点的平移规律（左减右加，上加下减） 核心规则：针对点P(x,y)平移变换 1. 左右平移（改变横坐标x）：左移减、右移加，纵坐标不变； 2. 上下平移（改变纵坐标y）：下移减、上移加，横坐标不变； 3. 逆向平移反向套用规则，可解决平移还原问题。 3．（25-26八年级下·上海普陀·期中）如图，在正方形中，顶点A的坐标为，轴且边长为2，规定把正方形先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度为一次变换，连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形变化——轴对称 【分析】依次按要求变化后写出坐标，得出坐标与变化次数n的关系，然后求解即可． 【详解】解：∵点，轴，且边长为2， ∴点的坐标为， ∴点B关于x轴对称的点为，向左平移1个单位长度后的坐标为 同理可得，第2次变换后的坐标为， 第3次变换后的坐标为， 第4次变换后的坐标为， …… ∴当为奇数时，第n次变换后的坐标为；当为偶数时，第n次变换后的坐标为， ∴连续经过2026次变换后，正方形的顶点B的坐标为． 技巧4：坐标对称三大类型（x轴、y轴、原点） 核心变换规律（必考基础）： 对称类型 坐标变换规则 记忆口诀 关于x轴对称关于x轴对称 (x,y)→(x,-y) 横坐标不变，纵坐标变号 关于y轴对称关于y轴对称 (x,y)→(-x,y) 纵坐标不变，横坐标变号 关于原点对称 (x,y)→(-x,-y) 横、纵坐标全部变号 4．如图是一个被抹去轴、轴及原点的网格图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，的各顶点都在网格的格点上，若记点的坐标为(-1，3)，点的坐标为(1，-1)． (1)请在图中画出轴、轴及原点； (2)把向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，请你画出平移后的． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】图形的平移、由平移方式确定点的坐标 【分析】（1）根据A(-1，3)，(1，-1)判断原点O的位置，建立直角坐标系即可； （2）根据题意画出图形即可； 【详解】（1）解：根据A(-1，3)，(1，-1)判断原点O的位置，建立直角坐标系即可； （2）根据题意画出图形如下图； 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系、图形的平移，掌握相关知识并正确作图是解题的关键． 5．如图，我们将数轴水平放置称为轴，将数轴竖直放置称为轴，轴与轴的交点称为原点，由轴、轴及原点就组成了一个平面．若平面上的点作如下平移：沿轴方向平移的数量为（向右为正，向左为负，平移个单位），沿轴方向平移的数量为（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”．动点从坐标原点出发，先按照“平移量”平移到（如图），再按照“平移量”平移到，最后按照“平移量”平移到．请你画出四边形． 【答案】见解析 【知识点】由平移方式确定点的坐标 【分析】由题意，将A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点B，再将点B向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，顺次连接各点即可求解． 【详解】解：由题意，将A向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到点B，再将点B向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C，顺次连接各点可画出四边形如图所示： 【点睛】本题主要考查了点的平移，解题的关键是理解题意，由平移方式能确定平移后点的位置． 技巧5：两点间距离公式（平行坐标轴简化计算） 6．如图，已知点，的坐标分别为，，连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两点之间的距离公式，熟练掌握两点之间的距离公式是解题关键．根据两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：点，的坐标分别为，， ． 故选：B． 技巧6：中点坐标公式 7．点和点的中点坐标为________． 【答案】 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $