26.3 二次函数与一元二次方程-【暑假大串联】2025-2026学年八年级下册数学暑假作业教材衔接（人教版·新教材）

暑假大串联 八年级数学R 26.3二次函数与一元二次方程 度流预览m 二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：y=a.x2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0)； (2)顶点式：y=a(x-h)2十k(a,h,k为常数，a≠0)： (3)交点式：y=a(x一x1)(x一x2)(x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标，a卡0). 二次函数与一元二次方程、不等式的关系： 根的判别式 二次函数的图象 二次函数与x轴的交点坐标 元二次方程根的情况 ↑y a>0 抛物线y=a.x2十bx十c(a 一元二次方程ax2+b.x ≠0)与x轴交于(x1,0), 十c=0(a≠0)有两个不相 △>0 (x2,0)(x1<x2)两点，且 等的实数根 -b±√Jb2-4ac x1,2= ,此 2a -b±√b2-4ac x1,2= a<0 2a O 时称抛物线与x轴相交 个y a>0 抛物线y=a.x2十b.x十c(a 2a -元二次方程ax2十b.x △=0 ≠0)与x轴交切于（ b 2a' 十c=0(a≠0)有两个相等 个y 0)这一点，此时称抛物线与 的实数根x1=x2= 6 2a a<0 x轴相切 a>0 抛物线y=a.x2十b.x十c(a 一元二次方程a.x2十bx十 △<0 ≠0)与x轴无交点，此时称 c=0(a≠0)在实数范围内 抛物线与x轴相离 无解（或称无实数根） a<0 第三部分 探究先飞 求一元二次方程的近似解的方法：(1)作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；(2)由图 象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在 误差，由图象求得的根一般是近似的). 典型例题 列1对于次函数y一一艺十z一4，下列说法正确的发 A.当x>0时，y随x的增大而增大 B.当x=2时，y有最大值一3 C.图象的顶点坐标为（一2，一7） D.图象与x轴有两个交点 1 解析：三次函致v三牛4三—20-3，a0,项点坐标为(2,3 :当x=2时，二次函数y三一牛x一4的最大值为一3：当x<2时，y随x的增大而增大： 2>2时y随x的增大而减小，：4=1-4×()X(-40=-3<0图象与x轴没有交点， 综上所述，A,C,D错误，B正确.故选B. 例2若A(-2,y1),B(-1,y2),C(2,y3)为二次函数y=x2十2x十2的图象上的三点，则y1, y2y3的大小关系是 () A.y1<y2<y3 B.y1<y3<y2 C.y2<y<y3 D.y3<y1<y2 解析：对#轴为直线x=一2是=-1，且a=1>0,∴A到对称轴直线工=-1的距高为1，B 2 到对称轴直线x=一1的距离为0，C到对称轴直线x=一1的距离为3，，0<1<3，根据抛物线 开口向上，离对称轴越近，函数值越小，y2<y1<y3·故选C 例3抛物线y=x2+bx+3的对称轴为直线x=1,若关于x的一元二次方程x2+bx十3一t= 0(t为实数)在一1<x<4的范围内有实数根，则t的取值范围是 () A.2≤t<11 B.t≥2 C.6<t<11 D.2t<6 解析：y=x2十bx十3的对称轴为直线x=1,.b=一2，y=x2一2x十3，.一元二次方程x2 十bx十3一t=0的实数根可以看作y=x2-2x十3与函数y=t的图象有交点，.方程在一1<x <4的范围内有实数根，当x=-1时，y=6;当x=4时，y=11;函数y=x2-2x十3在x=1时 有最小值2；.2≤t<11.故选A. 例4如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx十m交于A(-3,y1),B(1,y2)两点，则关于x 的不等式ax2+c≥-kx十m的解集是 () A.x≤-3或x≥1 B.x≤-1或x≥3 C.-3≤x≤1 D.-1x3 暑假大串联 八年级数学R 解析：，y=kx十m与y=一kx十m的图象关于y轴对称，∴.直线y=-kx十m与抛物线y= ax2十c的交点A',B'与点A,B也关于y轴对称，如图所示： y A(-3,y1),B(1,y2),∴.A'(3,y1),B'(-1,y2),根据函数图象得：不等式ax2十c≥-kx+m 的解集是-1≤x≤3.故选D. 预习检测 1.若抛物线y=x2十x-1与x轴的交点坐标为(m,0),则代数式m2+m十119的值为() A.118 B.119 C.120 D.121 2.如图，抛物线y=ax2+bx十c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与y轴交于点B(0,一2)， 点A(一1，m)在抛物线上，则下列结论中错误的是 () A A.ab<o B.一元二次方程a.x2+bx十c=0的正实数根在2和3之间 C.a=m+2 3 D.点P,P,4+1y)在抛物线上，当实数>时y1<: 3.已知二次函数y=x2-2bx+2b2-4c(其中x是自变量)的图象经过不同两点A(1一b,m), B(2b十c,m),且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b十c的值为 () A.-1 B.2 C.3 D.4 4.如图，抛物线y1=2(x+1)2+1与y2=a(x-4)2-3交于点A(1,3),过点A作x轴的平行 线，分别交两条抛物线于B,C两点，且D,E分别为顶点.则下列结论： ①a-号：@AC=AE:③△ABD是等膜直角三角形：@当x>1时y1>y:,其中正确结论的个 数是 () 第三部分 探究先飞 E A.1 B.2 C.3 D.4 5.关于抛物线y=x2一(a+1)x+a一3，下列说法错误的是 A.开口向上 B.当a=3时，经过坐标原点O C.抛物线与直线y=1无公共点 D.不论a为何值，都过定点 6.已知二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①b2一4ac>0;②3是方 程ax2+bx+c=0的一个根；③当-1<x<3时，y<0;④当x<-1或x>3时，y<0.其中错 误的是 .(填序号) -1 0 X= 第6题 第8题 7.若二次函数y=x2十b.x一5的对称轴为直线x=2,则关于x的方程x2+bx一5=2x一13的解 为 8.如图，直线y=bx十b与抛物线y=一x2+2x十3交于点A,B,且点A在y轴上，点B在x轴 上，则不等式一x2+2x+3<kx十b的解集为 9.已知函数y=x2-mx十m-2. (1)求证：不论为何实数，此二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点； (2)若m=2,求函数与x轴的交点坐标. 10.已知抛物线y1=一x2十mx十n,直线y2=x十b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A 与y1的顶点B的距离是4. (1)求y1的解析式； (2)若y2随着x的增大而增大，且y1与y2都经过x轴上的同一点，求y2的解析式. 回位数是7.5，小明得7分，超过甲组的中位数，低 7.x=3或x=-√78.4或-29.710.10 于乙组的中位数，所以应该是甲组的学生； 11.解：(1)AB=x,.BC=36-2x,y=x(36 (3)从统计图和表格中可以看出：乙组的平均分、 2x),036-2x≤18，∴.9≤x<18.y与x 中位数都高于甲组，方差小于甲组，且集中在中 之间的函数解析式为y=-2x2十36x(9≤x< 上游，所以乙组成绩好于甲组 18);(2)由题意：-2x2+36.x=160,解得x1= 第三部分探究先飞 10,x2=8,x2=8时，36-2×8=20>18，不符 合题意，舍去，x的值为10；(3)·y=-2x2十 第二十五章一元二次方程 36x=-2(x-9)2十162，.x=9时，y有最大 值162m,设购买了乙种绿色植物a棵，购买了 25.1一元二次方程 丙种绿色植物b棵，由题意：14(400-a-b)十 16a+28b=8600,.a+7b=1500,∴.b的最大值 1.B2.A3.C4.B5.A6.D7.0 为214，此时a=2.需要种植的面积=0.4×(400 8.29.-1 214-2)+1×2+0.4×214=161.2(m)<162m2, 25.2降次—解一元二次方程 .丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物 可以全部栽种到这块空地上 1.C2.D3.A4.C5.A 6.x1=1,x2=37.48.149.3 第二十六章二次函数 10.(1)x2-5x+6=0,∴.(x-2)(x-3)=0,.x 2=0或x-3=0,.x1=2,x2=3;(2)4x2- 26.1二次函数 4√2x+1=0,,a=4,b=-4√2，c=1,∴.b2 1.D2.D3.B4.D5.B6.C7.0 如c=(-42)-4×4X1=16,x=4E±V6 2×4 8.y=4x+260x+40009.S=210.2 w 11.解：，函数y=(m十1)xm+1是关于x的二次函 2x2 2· 数，m2+1=2,m十1≠0，解得m=1,.m的 11.解：(1)方程有两个实数根x1,x2,∴.△≥0，即 值为1. [-2a-1y-4a2≥0.a≤：2+r= 26.2二次函数的图象和性质 2a-1,x12=a2,由xi+x2-x1x2=6得， 1.D2.C3.D4.C5.C6.17.2 (x1十x2)2-3x1x2=6,.(2a-1)2-3a2=6, 8.解：y=x2-2b.x十c=(x-b)2-b2十c,∴顶点 解得a1=-1ag=5,0≤a=一1 坐标为(b,c一b2),,1>0,即抛物线开口向上， 12.解：(1)根据题意得：△=(2m)2-4(m3+m)> .最小值为c-b2,.当b一1≤x≤b十2时，该函 0,解得：m<0.∴.m的取值范围是m<0;(2)根 数的最小值为c-b2,b-(b-1)<b十2-b, 据题意得：x1十x2=-2m,x1x2=m2十m,,x ∴.当x=b+2时，函数取得最大值，为y=(b十 +x=12,(x1十x2)2-2x1x2=12, 2)2-2b(b+2)十c=-b2+4+c,由题意可得： .(-2m)2-2(m2十m)=12,.解得：m1= -b2+4+c-(c-b2)=-2k,解得：k=-2. 一2，m2=3(不合题意，舍去)，∴.m的值是一2. 26.3二次函数与一元二次方程 25.3实际问题与一元二次方程 1.C2.D3.C4.B5.C6.③ 1.D2.B3.D4.B5.C6.C 7.x1=2,x2=48.x<0或x>3 13 9.(1)证明：b2-4ac=m2-4(m-2)=(m-2)2 92×7+80×2+74X1=87.8(分)..乙将被 十4>0，故二次函数的图象与x轴都有两个不同 7+2+1 的交点；(2)解：当m=2时，y=x2-2x,与x轴 录用. 的交点为(0,0)，(2,0). 18.证明：，AB∥CD,.∠CDF=∠BEF,∠DCF= 10.解：(1)，抛物线y1=一x2十mx十n,直线y2= ∠EBF.,点F是BC的中点，BF=CF ∠CDF=∠BEF, k.x十b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A 在△DCF和△EBF中，∠DCF=∠EBF, 与y1的顶点B的距离是4..B(-1,1)或（一1， FC=FB, 9),.- 2x(-D=-1,4X(-10n-m2 4×(-1) ∴.△DCF≌△EBF(AAS)...DC=BE 1或9，解得m=一2，n=0或8，.y1的解析式 DC∥BE,∴.四边形DBEC是平行四边形. 为y1=-x2-2x或y1=-x2-2x十8； 19.解：云梯够长.理由如下：如图，连接AM. (2)①当y1的解析式为y1=一x2-2x时，抛物 M 线与x轴交点是(0,0)和（一2,0），：y1的对称 轴与y2交于点A(-1,5),y1与y2都经过x 轴上的同一点(-2,0)，把(-1,5)，(-2,0)代 入得 一十6=5：解得=5 -2k+b=0, b=10, y2=5x+10: ②当y1=-x2-2x十8时，解-x2-2x十8=0 由题意，得AC=6m,∠ACM=90°，OM=21m, 得x=一4或2，：y2随着x的增大而增大，且 OC=3m,∴.CM=OM-OC=18m.∴.AM= 过点A(-1,5),y1与y2都经过x轴上的同 √AC2+CM=6√10m.6√10<20，.云梯 一点(-4,0)，把(-1,5)，(-4,0)代入得 够长 -k+b=5, 3 20.解：(1)根据题意，得y=(9-6)x+(12 解得 5.20 y=3x+3 8)(5000-x)=-x+20000,.y与x的函数解 -4k十b=0, 20 b= 3, 析式为y=一x十20000；(2)：购买康乃馨的数 第四部分新知测效 量不少于百合花的数量的子“x≥(500 x).解得x≥1000.-1<0，∴.当x=1000 暑期学情测评（一） 时，y最大，最大值为-1000十20000=19000 (元).所以当x=1000时，商家获得最大利润， 1.C2.C3.D4.C5.C6.D7.C 最大利润是19000元. 8.D9.B10.C 21.解：(1)四条边都相等的四边形是菱形；(2)四 11.812.y=2.x-113.135°14.44 边形ABCD是矩形，∴.∠D=∠B=90°，AD= 15.3+√1316.4-√6 BC.在图2②中，∠AED=∠CEB,∴·△AED≌ 17.解：)甲的平均成绩为3×(88十84十86) △CEB(AAS)..AE=CE.在图2③中，由折叠 重合可得，AE=AF,CE=CF,.AE=AF= 86(分).乙的平均成绩为号×(92+80+74)= CE=CF..四边形AECF是菱形；(3)，四边形 82(分)，.甲将被录用；(2)甲的成绩为 AMCN是菱形，∴.AN=CN.设AN=CN=x,则 88×7+84×2+86×1=87(分)，乙的成绩为 BN=8-x.在Rt△CBN中，CB2+BN2= 7+2+1 CN2,.62+(8-x)2=x2.解得x=6.25.