第2章 第4节 函数的对称性(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（湘教版）

**基本信息** 聚焦函数对称性的系统训练，通过变量替换、性质转化等方法，构建轴对称与中心对称的知识逻辑链，覆盖高考高频考法。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|1-5题|对称类型辨析|从复合函数对称性推导原函数对称性质| |性质应用|6-9题|结合单调性/方程求解|通过对称点关系等式推导参数或解集| |综合拓展|10-16题|与二次函数/对数函数综合|跨知识点构建对称与周期的关联逻辑|

课时测评9　函数的对称性 (时间：60分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!) (每小题5分，共60分) 1．设函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2 026)是偶函数，则f(x)图象(　　) A．关于点(2 026，0)中心对称 B．关于点(－2 026，0)中心对称 C．关于直线x＝2 026对称 D．关于直线x＝－2 026对称 答案：C 解析：因为f(x＋2 026)为偶函数，所以f(x＋2 026)＝f(－x＋2 026)，所以函数f(x)图象关于x＝2 026对称．故选C. 2.函数f(x)=ex-2-e2-x的图象关于(　　) A．点(-2，0)对称 B．直线x=-2对称 C．点(2，0)对称 D．直线x=2对称 答案：C 解析：因为f(x)=ex-2-e2-x，所以f=e2+x-2-e2-(2+x)=ex-e-x，f=e2-x-2-e2-(2-x)=e-x-ex，所以f(2+x)+f(2-x)=0，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称.故选C． 3.已知函数f(x)=x3+ax2+x+b的图象关于点(1，0)对称，则b等于(　　) A．-3 B．-1 C．1 D．3 答案：C 解析：因为f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以f(x)+f(2-x)=0，又f(2-x)=(2-x)3+a(2-x)2+(2-x)+b=-x3+(a+6)x2-(4a+13)x+10+4a+b，所以f(x)+f(2-x)=(2a+6)x2-(4a+12)x+10+4a+2b=0，所以解得a=-3，b=1.故选C． 4.定义在R上的函数y=f(x)在区间(-∞，2)上是增函数，且函数y=f(x+2)的图象关于直线x=1对称，则(　　) A．f(1)<f(5) B．f(1)>f(5) C．f(1)=f(5) D．f(0)=f(5) 答案：C 解析：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=1对称，所以f(-x+2)=f(2+x+2)=f(4+x)，所以y=f(x)的图象关于直线x=3对称，故f(1)=f(5).故选C． 5.(2026·广东顺德模拟)已知函数y=f(x)是定义在R上的函数，那么函数y=-f(x+4)的图象与函数y=f(6-x)的图象之间(　　) A．关于点(1，0)对称 B．关于直线x=1对称 C．关于点(5，0)对称 D．关于直线x=5对称 答案：A 解析：设P(m，n)是y=-f(x+4)图象上的任意一点，则n=-f(m+4)，作等量变换n=-f[6-(2-m)]，即-n=f[6-(2-m)]，则点P'(2-m，-n)在y=f(6-x)的图象上，因为P(m，n)，P'(2-m，-n)关于点(1，0)对称，所以函数y=-f(x+4)的图象与函数y=f(6-x)的图象之间关于点(1，0)对称.故选A． 6.已知函数f(x+2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，+∞)上恒有<0，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　) A．(-∞，e)∪(e3，+∞) B．(1，e2) C．(e，e3) D．(e，+∞) 答案：C 解析：因为函数f(x+2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，因为f(x)在[2，+∞)上恒有<0，所以f(x)在[2，+∞)上单调递减，f(x)在(-∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x-2|<|1-2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.故选C． 7.(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)=f(-x) B．f(2+x)+f(2-x)=0 C．f(3)=f(5) D．f(x+2)=f(x-2) 答案：ABC 解析：因为f(x)为偶函数，则f(x)=f(-x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于点(2，0)的对称点(4-x，-y)也在函数图象上，即f(4-x)=-y=-f(x)，用2+x替换x得到，f[4-(2+x)]=-f(2+x)，即f(2+x)+f(2-x)=0，故B正确；由f(2+x)+f(2-x)=0，令x=1，则f(3)=-f(1)，令x=3，则f(5)=-f(-1)=-f(1)，则f(3)=f(5)，故C正确；由B知，f(2+x)=-f(2-x)=-f(x-2)，故D错误.故选ABC． 8．(多选)已知f(x)是定义在R上的函数，函数f(x－2)的图象关于y轴对称，函数f(x－1)的图象关于原点对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(－2)＝0 B．对∀x∈R，f(x)＝f(x＋4)恒成立 C．函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 D．f(2 027)＝0 答案：BCD 解析：因为函数f(x－2)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以f(x－2)＝f(－x－2)，则f(x)＝f(－x－4)，因为函数f(x－1)的图象关于原点对称，所以函数f(x)的图象关于点(－1，0)中心对称，f(－1)＝0，所以f(x－1)＝－f(－x－1)，则f(x)＝－f(－x－2)，故C正确；因为f(x)＝f(－x－4)＝－f(－x－2)，所以f(x－4)＝－f(x－2)，故f(x)＝f(x＋4)，故B正确；f(2 027)＝f(507×4－1)＝f(－1)＝0，故D正确；没有条件能确定f(－2)＝0，故A错误．故选BCD. 9.(多选)(2024·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(-3x+1)为奇函数，则下列一定成立的是(　　) A．f(2)=0 B．f(1)=0 C．f(0)=0 D．f(-1)=0 答案：BD 解析：因为f(x+2)为偶函数，所以f(x+2)=f(-x+2)，函数f(x)关于x=2对称，因为f(-3x+1)为奇函数，所以f(-3x+1)=-f(3x+1)，函数f(x)关于点(1，0)对称，因为函数f(x)定义域为R，所以f(1)=0，故B正确；又因为函数f(x)关于x=2对称，所以f(3)=0，由f(-3x+1)=-f(3x+1)可得令x=，f=-f(3)=0，故D正确；可构造函数f(x)=cos满足题意，此时f(2)=cos 0=1，f(0)=cos(-π)=-1，故AC错误.故选BD． 10．函数f(x)＝＋2 027的图象的对称轴方程为____________． 答案：x＝1 013 解析：因为f(x)＝＋2 027＝2|x－1 013|＋2 027，所以f (2 026-x)＝2|2 026－x－1 013|＋2 027＝2＋2 027＝f(x)，所以其图象的对称轴方程为x＝1 013. 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(4-x)+f(x)=2，若f(x)的图象关于直线x=4对称，则f(-2)=　　　　.  答案：1 解析：因为f(4-x)+f(x)=2，令x=2，所以f(4-2)+f(2)=2f(2)=2，所以f(2)=1，又f(x)的图象关于直线x=4对称，所以f(6)=f(2)=1，令x=-2，则f[4-(-2)]+f(-2)=2⇒f(6)+f(-2)=2，即1+f(-2)=2，所以f(-2)=2-1=1. 12.已知函数f(x)满足f(x+2)是偶函数，若函数y=|x2-4x-5|与函数y=f(x)图象的交点为(x1，y1)，，…，，则横坐标之和x1+x2+…+xn=　　　　.  答案：2n 解析：因为f(x+2)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称，因为y=|x2-4x-5|=|(x-2)2-9|，所以函数y=|x2-4x-5|的图象也关于直线x=2对称，所以x1+x2+…+xn=·4=2n. (每小题8分，共16分) 13.(多选)设函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)，f(x-2)都为奇函数，则下面结论成立的是(　　) A．f(x)为奇函数 B．f(x)为偶函数 C．f(x)=f(x+8) D．f(x+6)为奇函数 答案：CD 解析：因为f(x+2)，f(x-2)都为奇函数，即f(x)的图象关于(-2，0)和(2，0)对称，所以f(-x)+f(4+x)=0，f(-x)+f(-4+x)=0，所以f(-4+x)=f(4+x)，所以f(x)=f(8+x)，因为f(x-2)=-f(-x-2)，所以f(x-2+8)=-f(-x-2+8)，即f(x+6)=-f(-x+6)，所以f(x+6)为奇函数.故选CD． 14.(多选)已知函数 f的定义域为R，其图象关于中心对称，若 =2-x，则 (　　) A．=1 B．f+f=4 C．y=f-2为奇函数 D．y=f+2x为偶函数 答案：ACD 解析：对于A，f的定义域为R，其图象关于中心对称，故f+f=4，故=1，故A正确；对于B，由题意得f+f=4，又=2-x，故=2-x，令x=4得=2-4，即f+f=-8+4=-4，故B错误；对于C，由题意得f+f=4，即f-2=-[f(x+1)-2]，令g=f-2，则g=-g，所以y=f-2为奇函数，故C正确；对于D，因为=2-x，所以=2-x-2=-x，即f(x+2)-f=-4x，故f+2x=f-2x，令h=f+2x，则h=h，故y=f+2x为偶函数，故D正确.故选ACD． (每小题12分，共24分) 15.已知函数f(x)=若y=f(x)图象上存在关于原点对称的点，则实数a的取值范围是(　　) A．[-1，+∞) B．(-1，+∞) C．[1，+∞) D．(1，+∞) 答案：D 解析：y=x3-x2关于原点对称的函数为-y=-x3-x2，即y=x3+x2，若函数f(x)图象上存在关于原点对称的点，则y=x2+1-a与y=x3+x2在(-∞，0)上有交点，所以方程x2+1-a=x3+x2在(-∞，0)上有实数根，即1-a=x3在(-∞，0)上有实数根，即y=1-a与g(x)=x3的图象在(-∞，0)有交点，g'(x)=3x2>0，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增，所以g(x)<g(0)=0，所以1-a<0，所以a>1.故选D． 16．(多选)(2026·江西南昌模拟)若函数f(x)的定义域为R，且f(2x＋1)为偶函数，f(2x－1)的图象关于点成中心对称，当x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，则下列说法正确的是(　　) A．f(2 027)＝2 B．函数f(x)的值域为[0，2] C．直线y＝1与函数f(x)的图象在区间[0，8]上有4个交点 D．f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f＝19 答案：ABD 解析：f(x)的定义域为R，由f(2x＋1)为偶函数，得f(－2x＋1)＝f(2x＋1)，令2x等价于x，所以f(－x＋1)＝f(x＋1)，即f(－x－1)＝f(x＋3)，所以f(x)关于x＝1对称，由f(2x－1)的图象关于成中心对称，得f[2(－x)－1]＋f[2(x＋3)－1]＝2，于是f(－2x－1)＋f(2x＋5)＝2，令2x等价于x，所以f(－x－1)＋f(x＋5)＝2，所以f(x)关于(2，1)对称，则f(x＋3)＋f(x＋5)＝2，因此f(x＋1)＋f(x＋3)＝2，所以f(x＋1)＝f(x＋5)，所以f(x)＝f(x＋4)，则f(x)是周期为4的周期函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，f(2 027)＝f(3)＝2－f(1)＝2－log21＝2，故A正确；f(x)在x∈[0，4]的图象如下图所示， 故B正确； 直线y＝1与函数f(x)的图象在区间[0，8]上有5个交点，故C不正确；当x∈[1，2]时，f(x)＝log2x，可得f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1，f(3)＝2－f(1)＝2－0＝2，f(4)＝f(0)＝f(2)＝1，即f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，因此f(1)＋f(2)＋…＋f (19)＝4[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝16＋3＝19，故D正确．故选ABD. 学科网（北京）股份有限公司 $