第2章 第16讲 函数模型及其应用(Word教师用书)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学讲义聚焦函数模型及其应用高考核心考点，涵盖一次、二次、指数、对数等常见函数模型，对比三种增长函数的性质差异，构建“知识梳理-考点突破-真题训练”的系统架构。通过考点梳理（表格呈现模型与性质）、方法指导（如判断图象方法、建模步骤）、真题训练（自测诊断与考点例题），帮助学生突破实际问题转化难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义采用“问题情境驱动+分层训练”模式，如考点二“喊泉”问题引导学生用对数函数模型分析声强与高度关系，培养数学思维与模型观念。设计自测诊断、自主练透、师生共研三级练习，配合即时方法总结，确保高效复习。助力学生提升用数学语言表达现实问题的能力，为教师提供精准把控复习节奏的教学路径。

第16讲　函数模型及其应用 【课程标准】　1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.　2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.　3.了解函数模型在社会生活中的广泛应用. 1.几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例型函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a＞0且a≠1，b≠0) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0) 2.三种增长函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 【常用结论】 　　“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小. 【自测诊断】 1.(多选)下列说法错误的是(　　) A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大 B.不存在x0，使＜＜logax0 C.在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a＞1)的增长速度 D.“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b＞0且b≠1)增长速度越来越快的形象比喻 答案：ABD 2.(链接人教A必修一P152例6)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y(单位：毫克)与时间x(单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图.现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y与x的关系，则应选用的函数模型是(　　) A.y＝ax＋b B.y＝a·＋b(a＞0) C.y＝xa＋b(a＞0) D.y＝ax＋(a＞0，b＞0) 答案：B 学生用书⬇第64页 3.(链接人教A必修一P138探究)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是(　　) A.f(x)＞g(x)＞h(x) B.g(x)＞f(x)＞h(x) C.g(x)＞h(x)＞f(x) D.f(x)＞h(x)＞g(x) 答案：B 解析：当x∈(4，＋∞)时，易知增长速度由大到小依次为g(x)＞f(x)＞h(x).故选B. 4.(链接人教A必修一P102T14)某桶装水经营部每天的固定成本为420元，每桶水的进价为5元，日均销售量y(单位：桶)与销售单价x(单位：元)的关系式为y＝－30x＋450，则该桶装水经营部要使利润最大，销售单价应定为　　　　元. 答案：10 解析：由题意得该桶装水经营部每日利润为W(x)＝(－30x＋450)(x－5)－420＝－30x2＋600x－2 670＝－30(x－10)2＋330，则当x＝10时，利润最大. 考点一　用函数图象刻画变化过程 自主练透 1.如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h与注水时间t之间的函数关系，大致是(　　) 答案：D 解析：开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度减慢.故选D. 2.某校航模小组进行无人机飞行测试，从某时刻开始15分钟内的速度v(x)(单位：米/分钟)与飞行时间x(单位：分钟)的关系如图所示.若定义“速度差函数”u(x)(单位：米/分钟)为无人机在[0，x]这个时间段内的最大速度与最小速度的差，则u(x)的图象为(　　) 答案：C 解析：由题图知，当x∈[0，6)时，无人机做匀加速运动，v(x)从80开始上升，v(x)＝80＋x，u(x)＝；当x∈[6，10)时，无人机做匀减速运动，v(x)从160下降到80，u(x)＝80；当x∈[10，12)时，无人机做匀减速运动，v(x)从80开始下降，v(x)＝180－10x，u(x)＝160－(180－10x)＝10x－20；当x∈[12，15]时无人机做匀加速运动，v(x)从60开始上升，u(x)＝160－60＝100.所以u(x)在[6，10)和[12，15]两个区间上都是常数.故选C. 3.(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是(　　) A.首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B.每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C.每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D.首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 答案：ABC 解析：从题干图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物发挥治疗作用，故A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时时的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，故B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，故C正确；第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，故D错误.故选ABC. 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法 1.构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象. 2.验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案. 学生用书⬇第65页 考点二　已知函数模型解决实际问题 师生共研 (1)(2025·云南昆明模拟预测)已知某种水果的保鲜时间y(单位：小时)与温度x(单位：℃)近似满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数，e为自然对数的底数)，若该品种水果在4 ℃时的保鲜时间为192小时，在17 ℃时的保鲜时间为96小时，则在30 ℃时，该种水果的保鲜时间约为(　　) A.12小时 B.24小时 C.36小时 D.48小时 (2)(2025·陕西咸阳模拟)“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉.声音越大，涌起的泉水越高.已知听到的声强m与标准声强m0(m0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg，取贝尔的十倍作为响度的常用单位，简称为分贝.已知某处“喊泉”的声音响度y(分贝)与喷出的泉水高度x(米)满足关系式y＝40x，现知A同学用喇叭大喝一声激起的涌泉最高高度为2米，若A同学用喇叭大喝一声的声强大约为不用喇叭大喝一声的声强的10倍，则A同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为(　　) A.1.75米 B.1.5米 C.1.25米 D.1米 答案：(1)D　(2)A 解析：(1)由题意得两式相除得e13a＝，所以当x＝30时，e30a＋b＝e17a＋b·e13a＝96×＝48，即该种水果的保鲜时间约为48小时.故选D. (2)设A同学不用喇叭时的声强为m，喷出泉水高度为x，则A同学用喇叭时的声强为10m，喷出泉水高度为2米.由题意知，10×lg＝40x，即lg m－lg m0＝4x①.又10×lg＝40×2＝80，即lg＝lg 10＋lg m－lg m0＝1＋lg m－lg m0＝8，即lg m－lg m0＝7②.由①②可得4x＝7，解得x＝＝1.75.故选A. 已知函数模型解决实际问题的技巧 1.认清所给函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数. 2.根据已知条件，利用待定系数法，确定模型中的待定系数. 3.利用该函数模型，借助函数的性质、系数等解决相关问题. 对点练1.(2025·甘肃天水三模)科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题.经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f(单位：心跳次数·min－1)与体重W(单位：kg)的次方成反比.若A，B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2 kg、脉搏率为210次·min－1，B的脉搏率是70次·min－1，则B的体重为(　　) A.6 kg B.8 kg C.18 kg D.54 kg 答案：D 解析：根据题意，设f＝(k＞0)，由W＝2，f＝210，得k＝210×，则f＝，所以当f＝70时， ＝＝3×，所以W＝54.故选D. 对点练2.(2025·北京海淀二模)中华人民共和国国家标准(GB11533－2011)中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式(缪氏记录法)：L＝5－lg，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分辨清楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度(单位：毫米)，D为眼睛到视标的距离(单位：米)，如图①所示，k是与d，D无关的常量.图②是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图②中虚线框部分.因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图②中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为(　　) (参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48) A.4.5 B.4.6 C.4.8 D.5.0 答案：C 解析：已知当L＝5.0，D＝5时，代入L＝5－lg，解得kd＝5.小明在距离该视力表3米处进行检测，即D＝3，代入L＝5－lg，求解L＝5－lg.因为题中参考数据已知lg 2≈0.30，lg 3≈0.48，所以lg＝lg 5－lg 3＝lg－lg 3＝lg 10－lg 2－lg 3≈1－0.30－0.48＝0.22.所以L＝5－lg≈5－0.22＝4.78≈4.8.故选C. 考点三　构建函数模型解决实际问题 师生共研 汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间 学生用书⬇第66页 的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9). 阶段 准备 人的反应 系统反应 制动 时间 t0 t1＝0.8 s t2＝0.2 s t3 距离 d0＝30 m d1 d2 d3＝ m (1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？ 解：(1)根据题意，d＝d0＋d1＋d2＋d3＝30＋0.8v＋0.2v＋＝30＋v＋(0≤v≤33.3). (2)根据题意，对任意的k∈[0.5，0.9]，d＜90恒成立，即对任意的k∈[0.5，0.9]，30＋v＋＜90恒成立. 易知当v＝0时，满足题意； 当0＜v≤33.3时，有＜－对任意的k∈[0.5，0.9]恒成立， 由k∈[0.5，0.9]，得∈，所以－＞， 即v2＋10v－600＜0，解得－30＜v＜20，所以0＜v＜20. 综上，0≤v＜20. 所以汽车的行驶速度应限制在20 m/s以下. 构建函数模型解决实际问题的步骤 第一步，建模：抽象出实际问题的数学模型； 第二步，推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； 第三步，评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 对点练3.“打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85％，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)(　　) A.6 B.7 C.8 D.9 答案：C 解析：设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1.由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤log0.850.3.又log0.850.3＝＝＝＝≈7.4，所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $