精品解析：江苏南京师范大学附属中学2026届高三5月模拟考试数学试题

南京师大附中2026届高三年级模拟考试数学试题 命题人：高三数学备课组 时间：2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. i C. D. 1 3. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 4. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 6. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 8. 如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前项和，为的公比且．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 10. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. 事件“”与“”互斥 D. 事件“”与“”相互独立 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的展开式中的系数为__________________． 13. 已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 16. 已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，， （1）证明：平面； （2）求的长； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 18. 双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴． （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交于点，点在第一象限． （i）若的面积为14，求直线方程； （ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值． 19. （1）设函数，求证：． （2）已知均为大于1的整数，个同学每人在1到这个正整数中任取一个数字，记为仅被选取到一次的数字的个数． （i）若，求的分布列与期望；， （ii）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2026届高三年级模拟考试数学试题 命题人：高三数学备课组 时间：2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据并集的定义，合并集合A与B的全部元素，去除重复元素后匹配选项即可得到结果. 【详解】 已知集合，对应区间内的所有实数， ，根据并集的定义可得：. 2. 若，则（ ） A. B. i C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：， 所以. 3. 在某次期中考试中，从800名考生中随机抽取100名考生的数学成绩进行统计分析，绘制如图所示的频率分布直方图（满分100分）．则下列说法错误的是（ ） A. B. 成绩在的频数为35 C. 成绩中位数在区间内 D. 成绩平均数在区间内 【答案】D 【解析】 【分析】利用频率分布直方图与数字特征的关系，逐个求解判断即可. 【详解】对于选项A，由频率分布直方图中所有频率之和为1，可列出方程， 解得，.正确. 对于选项B，成绩在的频率为：， 所以频数为，正确. 对于选项C，前3个小长方形的面积和为， 而的频率是.所以前4个小长方形面积和大于. 即中位数一定出现在内，正确. 对于选项D，平均数为每个区间组中值乘以对应频率之和， 即. 所以D不正确. 4. 已知平面向量满足且，则向量和向量的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将目标向量用线性表示，再求出、两目标向量的模和数量积，代入向量夹角余弦公式计算结果. 【详解】由，可得，因此： ，， 对两边同时平方，得，展开得， 代入，，得，解得， 所以， 同理， 所以， 根据向量夹角余弦公式可得：. 5. 若，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式、两角和的余弦公式、二倍角公式及同角关系的齐次转化求解即可. 【详解】 可得. 因为 所以. 6. 已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是1︰2，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 设圆台的上底面圆的半径为，则圆锥的底面圆和圆台的下底面圆的半径均为， 圆锥的母线， 圆锥的侧面积是，，得，解得; 圆台的母线， 圆台侧面积为． 7. 若曲线关于直线对称，则（ ） A. B. 2 C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数定义域，再根据对称性得出，再代入解析式得出，最后代回验证即可. 【详解】令，由，得或，故函数的定义域为． 由曲线关于直线对称，得定义域关于直线对称，则， 此时必有，即，解得， 此时， 因此函数的图象关于直线对称，即，满足题意，故． 8. 如图，设曲线上的点与轴上的点顺次构成等腰直角三角形，直角顶点在曲线上，则点的横坐标为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 【答案】A 【解析】 【分析】设，依题意得，代入推得数列递推式，则得等差数列，求其通项即可求得的横坐标. 【详解】因为是等腰直角三角形，可设，则， 代入可得，，即， 再结合与的图象交点可知，， 所以数列是以为首项，4为公差的等差数列， 所以有，故，则点的横坐标为20. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前项和，为的公比且．若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 数列是等比数列 C. D. 数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意可知， ∴，整理得，解得或， ∵，∴，A选项正确 ∴，∴，∴， ∴，∴数列是等比数列，B选项正确； ，C选项正确； ，∴，∴数列是公差为的等差数列，D选项错误. 10. 袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（ ） A. B. C. 事件“”与“”互斥 D. 事件“”与“”相互独立 【答案】AC 【解析】 【详解】总样本点数为种， 满足的情况数为种，由对称性可知， 又，，解得，故A正确， 由可知， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，，满足条件的情况数有种， ，故B错误. 由可知，若，则，，所以矛盾，故C正确， 记事件为“”， 事件为“”，则， 满足的情况数为种，， 又，，，故D错误. 11. 在平面直角坐标系中有与轴分别交于两点，为上的动点，以为直径的的位置随点位置的变化而变化，当点逆时针转过一周时，扫过的区域记作，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则与轴公共点坐标为和 B. 若以为圆心的圆可以完全覆盖区域，则该圆的面积的最小值为 C. 内的点到轴距离的最大值为 D. 与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项利用直径的性质进行计算；B选项设，用表示，再利用三角函数求最值即可，C选项，将用表示，再利用二次函数即可求出最大值； D选项利用点到直线的距离即可求解. 【详解】对于A选项，设与轴交于、，连接 ，， 因为为的直径，所以轴， 由题意可知，所以， 所以，则，所以公共点的坐标为和，故A正确； 对于B选项，如图： 连接并延长交于， 由垂径定理：，就是上到原点距离最远的点， 下面我们求的最大值： 设，则， 因为，则， 当时，取得最大值，即该圆的半径最小为，面积最小值为，故B错误； 对于C选项，如图：过作轴于，另交于，过作轴于， 因为，所以，所以， 则， 所以，令 ， 则， 所以 ，即内的点到轴距离的最大值为，故C正确； 对于D选项，如图： 设与轴交于点（图中为上方的点），则，反面想， 对于轴正半轴上一点作，若与有公共点即为点， 当离轴最远时，与有且仅有一个公共点． 设，则，， 原点到的距离：，解得， 故与轴的公共部分上的点到轴距离的最大值为， 即与轴的公共部分上的点到轴距离平方的最大值为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的展开式中的系数为__________________． 【答案】 【解析】 【详解】∵，∴，即， 则的展开式， 令，则，∴， ∴的展开式中的系数为. 13. 已知定义在上的函数的图象关于直线对称，且．当时，，则__________________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】先根据函数的对称性和已知等式推导函数周期，再利用周期性、对称性将所求函数值转化到已知解析式的区间内计算. 【详解】由函数的图象关于直线对称，可得对任意，， 替换得①， 由已知，整理得：②， 联立①②得，替换得， 进一步推导得： ， 即是周期为的周期函数. 故. 14. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为．若均不相等，且，则的最小值为__________________． 【答案】9 【解析】 【分析】通过求导以及导数的几何意义计算得到，，之间的关系，由基本不等式即可求解. 【详解】已知函数，对函数求导得，， 根据导数的几何意义，有，，， 因为，所以， 令，， 则，因此，而，所以， 而，，, 代入，得，， 而由基本不等式得，， 当且仅当时取等， 故的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角对边分别是．已知，且的外接圆面积为． （1）求的大小； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）化简已知等式求角，结合外接圆半径与正弦定理求边长； （2）利用余弦定理求边，代入三角形面积公式计算结果. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， . 因为，所以，上式即为，所以， 由外接圆面积，解得外接圆半径， 由正弦定理得. 【小问2详解】 将代入余弦定理， 得： ，整理得，解得，均为正根符合要求， 代入面积公式，故面积为或. 16. 已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． （1）求数列，的通项公式； （2）将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 【答案】（1） ，（或）； （2） 前39项和为（或）。 【解析】 【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，利用分组求和法可得出结论. 【小问1详解】 且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即，且， 所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； 【小问2详解】 数列的前项和为， 数列的前项和为， 设新数列为，其前项和为， 则. 17. 如图，在三棱柱中，平面平面，，，， （1）证明：平面； （2）求的长； （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，所以四边形是菱形， 所以，又，且， 所以，因为，平面，平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理和性质定理，结合题意即可得证； （2）先由余弦定理求出，取的中点，连接，，然后由已知条件结合勾股定理即可得解； （3）由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后由向量法即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在△中，由，，， 所以， 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，因为平面， 所以，因为，，，平面， 且，所以平面， 因为平面，所以因为的中点为， 所以，在△和△中，可知， 在△中，可知， 因为，所以， 解得：； 【小问3详解】 由（2），以为坐标原点，直线，，所在方向分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，得， 设平面的法向量为， 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 双曲线的左右顶点为，其渐近线上有一点，且轴． （1）求双曲线的方程； （2）过点作直线交于点，点在第一象限． （i）若的面积为14，求直线方程； （ii）若为钝角，过作的垂线，垂足为，求的最大值． 【答案】（1） （2）（i），（ii） 【解析】 【分析】（1）根据点坐标和轴列出的方程，求解出即可. （2）（i）设出点坐标，根据点在双曲线上以及三角形的面积列出方程组，求解出点的坐标，然后写出直线的方程. （ii）根据为钝角求出点纵坐标的取值范围，然后利用向量法求解的最大值 【小问1详解】 双曲线的渐近线上有一点，所以其渐近线方程为，，即. 又轴，，即. 双曲线的方程为. 【小问2详解】 （i）由（1）可得，，，. 直线的方程为. 设，①. 点到直线的距离. ，整理得，② 联立①②，解得，故点 直线的方程为. （ii）. 为钝角，，. 则， 当时，有最大值. 19. （1）设函数，求证：． （2）已知均为大于1的整数，个同学每人在1到这个正整数中任取一个数字，记为仅被选取到一次的数字的个数． （i）若，求的分布列与期望；， （ii）若，求证：． 【答案】（1）函数的定义域为， 又， 令，则， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故，即恒成立，在和上均单调递增， 当时，单调递增，， 又，故，此时分母，， 当时，单调递增，，此时分母，， 综上所述，当时，恒成立. （2）（i）的分布列为 期望 （ii）， 又 ， ， 假设，两边同时取对数得，化简得，即， 又由（1）可知函数，令，得，即， 故得证. 【解析】 【分析】（1）先令，再令，求导判断的单调性即可证明； （2）（i）先求出随机变量的取值，再分别求出其所对应的概率代入公式即可； （ii）先列出，再假设，通过取对数等化简，最后结合（1）中的结论令即可证明. 【详解】（1）略 （2）（i）由题意得总的选法有种， 有两种情况：①某个数字被4个人选有种，②两个数字各出现2次，有种， 表示恰有1个数字出现1次，剩余3次全落在同一个数字，有种， 表示恰有2个数字出现1次，剩余2次全落在同一个数字，有种， 表示4个数字都出现1，有种， ， ， ， ， 故的分布列为 期望. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $