甘肃武威市凉州区学校联考2026届高三模拟检测数学试卷

**基本信息** 2026年高考数学三模模拟卷，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过解三角形、概率统计（国庆书画展情境）等综合题，考查数学眼光、思维与语言，适配高考冲刺阶段能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、命题、向量等基础知识点|注重概念辨析，如向量数量积计算| |多选题|3/18|三角函数性质、立体几何判定、统计方法|选项分层，如三角函数奇偶性与单调性结合| |填空题|3/15|函数对称中心、数列单调性、奇函数性质|强调数学抽象，如由数列递增求参数范围| |解答题|5/77|解三角形、立体几何（面面夹角）、椭圆、概率统计（书画展）、导数恒成立|情境真实（国庆书画展），综合考查推理与运算，如导数题探究恒成立求参数范围|

2026年高考模拟试卷 数 学 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，B=则（ ） A. B. C. D. 2.复数，则（   ） A． B． C． D．2 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4.已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 5.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 6.已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 7.已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 8.已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 10．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 11．下列说法正确的有（    ） A．若随机变量，则 B．残差和越小，模型的拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数图象的对称中心是_________． 13. 数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 14. 已知奇函数满足：当时，，则________． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin A＝a(2＋cos B)． (1)求B； (2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 16. （本小题15分）如图，在几何体中，四边形为矩形， 平面，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17.（本小题15分）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 17. （本小题17分）2025年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： (1) 求这200位作者年龄的平均数和方差（同 一组数据用该区间的中点值作代表）； (2) 县委宣传部从年龄在和的作者中， 按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的 表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言， 设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 19.（本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恒成立，求实数a的取值范围． 第2页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考模拟检测 数 学（答案） 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．已知集合，B=则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 2.复数，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【难度】0.86 【分析】利用复数除法运算及求模公式计算即可. 【详解】因为，所以. 3．已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、根据特称（存在性）命题的真假求参数 【详解】因为命题“，使”是假命题， 所以，恒成立，所以，解得， 故实数的取值范围是.故选：B. 4.已知，均为平面上的单位向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知数量积求模、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【详解】由题意知，，可得， ，故选：C. 5.在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有（    ）个 A．44 B．45 C．54 D．55 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】分类加法计数原理、代数中的组合计数问题 【详解】对于一个两位数，个位上的数字能取的值分别为：0~9之间的任意一个数字， 十位上的数字能取的值为：1~9之间的任意一个数字， 为使个位上的数字小于十位上的数字， 当个位上的数字是0时，十位上的数字可以取1~9之间的任意一个数字，共9种情况； 当个位上的数字不是0时，只需从1~9之间任取两个数字， 较大的数字当做十位上的数字即可，此时共有. 故满足题意的两位数共有个.故选：B 6.已知，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算 【详解】. 故选：B. 7.已知函数，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求函数值 【详解】因为，所以. 故选：C. 8.已知直线和圆满足对直线上任意一点，在圆上存在点，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】垂直关系的向量表示、由直线与圆的位置关系求参数 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为， 因为对直线上任意一点，在圆上存在点，使得， 所以直线与圆相切或相离，则，解得. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分.在每题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部答对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知函数，则下列关于函数的说法正确的是（   ） A．最小正周期为 B．偶函数 C．图象关于点中心对称 D．在区间上单调递减 【答案】BC 【难度】0.85 【详解】根据题意，，所以函数， 所以函数是周期为的偶函数，A错误，B正确． 函数的图象关于点中心对称，C正确， 函数在区间上不单调，D错误．故选：BC． 10．在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，则以下结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.85 【知识点】空间向量的坐标运算 【详解】依题意可知，四棱锥是正四棱锥，设， 连接，则平面，由于平面，所以， 由于，所以两两相互垂直，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 四边形是正方形，， ，， 所以， ，， ，A选项错误. ，B选项错误. ，C选项正确. ，所以D选项正确. 故选：CD 11．下列说法正确的有（    ） A．若随机变量，则 B．残差和越小，模型的拟合效果越好 C．根据分类变量与的成对样本数据计算得到，依据的独立性检验，可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05 D．数据4，7，5，6，10，2，12，8的第70百分位数为8 【答案】ACD 【难度】0.85 【知识点】独立性检验的基本思想、残差的计算、总体百分位数的估计、指定区间的概率 【详解】对于A，随机变量，由知， ，A正确； 对于B，因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，而残差和小，残差平方和不一定小，B错误； C，由可判断与有关且犯错误的概率不超过0.05，C正确； 对于D，对数据从小到大重新排序，即：，共8个数字， 由，得这组数据的第70百分位数为第6个数8，D正确. 故选：ACD 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 函数图象的对称中心是_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】判断或证明函数的对称性 【分析】应用分离常数法得，结合分式型函数的性质确定对称中心. 【详解】由题设，故函数图象的对称中心为. 故答案为： 13. 数列的通项公式是，若数列是递增的，则实数的取值范围是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】根据数列的单调性建立不等式，结合一次函数的单调性，可得答案. 【详解】由数列是递增的，则，即， 整理可得，由一次函数的单调性且，则，解得. 14. 已知奇函数满足：当时，，则________． 【答案】4052 【难度】0.72 【知识点】对数的运算、函数奇偶性的应用 【分析】化简的表达式即可求得答案. 【详解】显然，注意到时，于是． 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（本小题13分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设bsin A＝a(2＋cos B)． (1)求B； (2)若△ABC的面积等于，求△ABC的周长的最小值． 解：(1)因为bsin A＝a(2＋cos B)． 由正弦定理得sin Bsin A＝sin A(2＋cos B)．显然sin A＞0， 所以sin B－cos B＝2．所以2sin＝2，∵B∈(0，π)． 所以B－＝，∴B＝． …………6分 (2)依题意＝，∴ac＝4．所以a＋c≥2＝4，当且仅当a＝c＝2时取等号． 又由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2＋ac≥3ac＝12．∴b≥2．当且仅当a＝c＝2时取等号．所以△ABC的周长最小值为4＋2． …………13分 16.（本小题15分）如图，在几何体中，四边形为矩形， 平面，，，，． (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【解析】（1）证明：由题知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，，，，所以，所以． …………6分 （2）设平面的一个法向量，由（1）知，， 则，取，得，， 所以平面的一个法向量， …………9分 设平面的一个法向量，由（1）知，， 则，取，得，，所以平面的一个法向量， …………12分 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为．…………15分 17.（本小题15分）已知椭圆的左、右焦点为，离心率为，点为椭圆上任意一点，且的周长为． (1)求椭圆的方程； (2)直线与直线分别交椭圆于和两点，求四边形的面积． 【详解】（1）由题意知，解得， 则椭圆的方程为． …………6分 （2）易知四边形为平行四边形，设， 联立直线与椭圆消去并整理得，…………9分 由韦达定理得 ， …………11分 因为与平行，所以这两条直线的距离， 则平行四边形的面积． …………15分 18.（本小题17分）2025年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图： (1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）； (2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望. 【详解】（1）这200位作者年龄的样本平均数和样本方差分别为 ， …………3分 . …………6分 （2）根据分层抽样的原理，可知这6人中年龄在内有2人，在内有4人， 故X可能的取值为0，1，2， …………8分 ，， ， …………14分 所以X的分布列为： X 0 1 2 P 所以X的数学期望为. …………17分 19.（本小题17分）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数恒成立，求实数a的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域是，当时，， 令得，所以函数在上单递递增； 令得，所以函数在上单调递减． 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．…………7分 （2）恒成立，等价于恒成立，令， …………9分 因为恒成立，所以在上单调递增，所以，即， 所以恒成立，等价于恒成立 …………12分 令，问题等价于恒成立 ①若时，恒成立，满足题意； ②若时，则，所以，不满足题意； ③若时，因为，令，得， ，，单调递减，，，单调递增， 所以在处取得最小值， 要使得，恒成立，只需，解得 综上： …………17分 第2页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $