第4章 第23讲 第2课时 简单的三角恒等变换(Word练习)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

**基本信息** 以三角恒等变换公式为核心，通过分层题型系统训练公式应用、角度分析及综合问题，渗透一题多解与模型思想，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|选择填空(1-8,10-11)|公式转化、符号判断|二倍角/和差角公式直接应用| |综合应用|解答题(9,13)|方程思想、角度范围分析|公式综合与函数零点问题| |实际与拓展|应用题与探究(12,14)|建模与公式推导|三角与几何/文化结合|

课时分层测评34　简单的三角恒等变换 (时间：60分钟　满分：85分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8题，每小题5分，共40分) 1.的值等于(　　) A.－2 B.2 C.－1 D.1 答案：B 解析：原式＝＝＝2.故选B. 2.若α为锐角，且sin α(·tan 50°－1)＝1，则α＝(　　) A.10° B.20° C.70° D.80° 答案：C 解析：由sin α＝＝＝＝＝＝＝＝cos 20°.又α为锐角，所以α＝70°.故选C. 3.若cos－4sin2α＝－2，则tan 2α＝(　　) A.－2 B.－ C.2 D. 答案：C 解析：由cos－4sin2α＝－2，得－sin 2α－4sin2α＝－2，即＝2，即＝2，所以2tan α＋4tan2α＝2tan2α＋2，所以tan α＝1－tan2α，则tan 2α＝＝2.故选C. 4.已知sin α＋cos α＝，＜α＜，则cos α＝(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为sin α＋cos α＝，＜α＜，所以2sin(α＋)＝，则sin(α＋)＝.而＜α＜，所以＜α＋＜π，所以cos(α＋)＝－，故cos α＝cos＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin ＝－×＋×＝.故选B. 5.(多选)已知α∈，sin α＝＝tan，则(　　) A.tan α＝ B.cos α＝ C.tan β＝4 D.cos β＝ 答案：BD 解析：因为sin α＝tan αcos α＝，且α∈(π，2π)，所以cos α＝，所以sin α＝－，tan α＝－，故A错误，B正确；因为tan ＝－，所以tan β＝＝－4，cos β＝＝＝，故C错误，D正确.故选BD. 6.(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α＝，cos(α＋β)＝－，则(　　) A.cos α＝－ B.sin α－cos α＝ C.β－α＝ D.cos αcos β＝－ 答案：BC 解析：因为≤α≤π，所以≤2α≤2π，又sin 2α＝＞0，故有≤2α≤π，≤α≤，解出cos 2α＝－＝2cos2α－1⇒cos2α＝⇒cos α＝，故A错误；(sin α－cos α)2＝1－sin 2α＝，又≤α≤，所以sin α≥cos α，所以sin α－cos α＝，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π.又cos(α＋β)＝－＜0，所以≤α＋β≤，解得sin(α＋β)＝－，所以cos(β－α)＝cos[(α＋β)－2α]＝－×＋×＝－.又因为≤α＋β≤，－π≤－2α≤－，所以≤β－α≤π，有β－α＝，故C正确；由cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－，cos(β－α)＝cos αcos β＋sin αsin β＝－，两式联立得cos αcos β＝－，故D错误.故选BC. 7.(一题多解)已知α是第三象限角，cos＝，则＝　　　　. 答案：－2 解析：法一：因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则＝＝＝＝－2. 法二：因为cos＝－sin α＝，所以sin α＝－.因为α是第三象限角，所以cos α＝－，则tan ＝＝－3，所以＝＝－2. 8.(2025·江苏宿迁二模)已知sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β，则cos＝　　　　. 答案：0 解析：根据题意sin 2α＝2sin 2β，cos 2α＝4sin2β.若sin β＝0，则cos 2α＝0，而sin 2α＝2sin 2β＝4sin βcos β＝0，与sin22α＋cos22α＝1矛盾，所以sin β≠0，cos 2α≠0，所以＝＝，则cos 2αcos β－sin 2αsin β＝0，即cos＝0. 9.(10分)已知sin α＝4sin2－2. (1)求的值； (2)已知α∈(0，π)，β∈(0，)，tan2β＋6tan β－1＝0，求α＋2β的值. 解：(1)因为sin α＝4sin2－2＝4×－2＝－2cos α，所以tan α＝－2. 所以＝ ＝sin α(sin α－cos α)＝ ＝＝. (2)由(1)知tan α＝－2. 因为tan2β＋6tan β－1＝0， 所以tan 2β＝ ＝. 所以tan(α＋2β)＝＝＝－1. 因为α∈(0，π)，β∈(0，)，由tan α＝－2，得α∈(，π). 由tan 2β＝，得2β∈(0，)， 所以α＋2β∈(，). 由tan(α＋2β)＝－1，得α＋2β＝. (10、11题，每小题5分，共10分) 10.若α，β∈(，π)，且(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，则下列结论正确的是(　　) A.2α＋β＝ B.2α－β＝ C.α＋β＝ D.α－β＝ 答案：A 解析：因为α，β∈(，π)，所以sin α≠0.因为(1－cos 2α)(1＋sin β)＝sin 2αcos β，所以2sin2α(1＋sin β)＝2sin αcos αcos β，即sin α(1＋sin β)＝cos αcos β，所以sin α＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)，所以cos(α＋β)＝cos(－α).因为α，β∈(，π)，所以π＜α＋β＜2π，且－＜－α＜0，所以α＋β＝－α＋2π，解得2α＋β＝.故选A. 11.(双空题)已知α，β均为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝　　　　，2α－β＝　　　　. 答案：　 解析：因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.又因为α，β均为锐角，sin β＝，所以sin α＝，cos β＝，因此sin 2α＝2sin αcos α＝，所以sin(2α－β)＝sin 2αcos β－cos 2αsin β＝×－×＝.因为α为锐角，所以0＜2α＜π.又cos 2α＞0，所以0＜2α＜.又β为锐角，所以－＜2α－β＜.又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝. 12.(15分)某城市一扇形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该扇形空地建设公园.经过测量，扇形空地的半径为600 m，∠AOB＝120°.在其中圈出一块矩形场地CDEF设计成林荫跑步区，且OC＝OD. (1)求扇形空地的面积； (2)求矩形场地CDEF的最大面积. 解：(1)扇形空地面积S＝×6002×＝120 000π(m2). (2)如图，记的中点为G，连接OG，分别与EF，CD交于点M，N，连接OF， 设∠FOG＝α， 则EF＝2OFsin α， CF＝MN＝OM－ON＝OM－＝OFcos α－. 所以矩形面积S1＝EF·CF ＝2OFsin α· ＝6002× ＝6002× ＝360 000 ＝360 000. 所以当α＝30°时，矩形场地CDEF的面积取得最大值，且最大值为120 000 m2. (每小题5分，共10分) 13.已知函数f(x)＝cos 2x＋cos 3x，x∈(0，π)，若f(x)有两个零点x1，x2(x1＜x2)，则(　　) A.∈{x1，x2} B.x2＝2x1 C.cos x1＋cos x2＝ D.cos x1cos x2＝ 答案：C 解析：对于A、B，令f(x)＝0得cos 2x＝－cos 3x，故cos 2x＝cos(π－3x)或cos 2x＝cos(π＋3x)，所以2x＝π－3x＋2k1π，k1∈Z或2x＝π＋3x＋2k2π，k2∈Z，解得x＝＋，k1∈Z或x＝－π－2k2π，k2∈Z，由x∈(0，π)，故当k1＝0，1时，解得x1＝，x2＝，故A、B错误；对于C，cos x1＋cos x2＝cos ＋cos ＝2cos cos ＝＝＝＝，故C正确；对于D，因为cos ＞0，cos ＜0，所以cos x1cos x2＝coscos ＜0，故D错误.故选C. 14.(双空题)中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志.每个五角星的一个内角都是36°，利用三倍角公式等恒等变换可以求得cos 36°的值.先利用sin 3α＝sin(2α＋α)可求得sin 3α＝　　　　(用单角α的正弦值表示)；再求得cos 36°＝　　　　　　. 答案：3sin α－4sin3α　 解析：sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α＝2sin αcos2α＋(1－2sin2α)sin α＝2sin α(1－sin2α)＋(1－2sin2α)sin α＝3sin α－4sin3α.因为sin 72°＝sin 108°，从而2sin 36°cos 36°＝3sin 36°－4sin336°，即2cos 36°＝3－4sin236°＝3－4(1－cos236°).令cos 36°＝x＞0，则4x2－2x－1＝0，解得x＝或x＝(舍去). 学生用书⬇第109页 学科网（北京）股份有限公司 $