专题01 抛体运动（期末专项训练）高一物理下学期粤教版

**基本信息** 聚焦抛体运动全模块，以15类题型构建从基础到临界问题的完整训练体系，强化运动与相互作用观念及科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|6题型18题|曲线运动性质判断、运动合成与分解、关联速度模型|从运动的矢量合成切入，建立平抛运动分解的基本框架| |核心应用|5题型15题|平抛速度/位移计算、斜面/曲面结合问题、类平抛|通过几何关系与运动学公式融合，深化模型建构能力| |实验探究|2题型6题|频闪照相分析、平抛规律验证|衔接理论与实践，培养科学探究中的证据收集能力| |综合拓展|2题型6题|斜抛运动、临界极值问题|整合复杂场景中的运动分析，提升质疑创新思维|

专题01 抛体运动 题型1 曲线运动 题型9 实验：验证平抛运动的规律 题型2 运动的合成与分解（重点） 题型10 追击相遇问题（重点） 题型3 小船渡河 题型11 与斜面结合的平抛运动 题型4杆连接关联速度 题型12 与曲面结合的平抛运动 题型5 绳连接关联速度（常考点） 题型13 类平抛运动 题型6 平抛运动的速度（常考点） 题型14 斜抛运动（难点） 题型7 平抛运动的位移（难点） 题型15 临界问题（难点） 题型8 用频闪相机研究平抛运动（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线运动（共3小题） 1．（多选）某实验小组做了一个有趣的实验，在沿水平直线行驶的汽车内部顶上固定一个水罐，水罐底部有小孔源源不断向车内漏水。忽略空气阻力，如果汽车在做匀变速直线运动，则关于车上的人观测到空中水的排列，下图中哪些可能正确（　　）（曲线为抛物线） A． B． C． D． 2．(25-26高三上·湖南长沙望城区第六中学·月考)（多选）质量为的物体在水平面内做曲线运动，已知互相垂直方向上的速度图像分别如图所示列说法正确的是（　　） A．质点的初速度为 B．质点所受的合外力为 C． 末质点速度大小为 D．质点初速度的方向与合外力方向垂直 3．我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞各项性能指标领先国际。假设某风洞在竖直方向上可产生方向、大小均可调节的风。在竖直平面内建立平面直角坐标系轴沿竖直方向，从轴上点抛出一小球，小球运动轨迹如图所示。已知风只在小球经过点时改变，且、与、间高度差相等，、间水平距离大于、间水平距离，下列说法正确的是（    ） A．小球在点左右两侧所受风力方向不同 B．小球在点左侧时所受风力小于在点右侧时所受风力 C．小球在点左侧时的加速度大于在点右侧时的加速度 D．小球在竖直方向上的平均速度从到的小于从到的 题型二 运动的合成与分解（共3小题） 4．（多选）如图所示，雨天时，一向右沿直线匀速行驶的货车的货厢底板上固定一长方体箱子，部分距离已经在图中标出，雨滴的速度方向与图示截面方向平行，与竖直方向的夹角为30°，速率恒为v。下列说法正确的是（　　） A．若雨滴速度方向斜向右下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 B．若雨滴速度方向斜向右下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 C．若雨滴速度方向斜向左下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 D．若雨滴速度方向斜向左下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 5．一质点在恒力作用下在竖直平面内做曲线运动。时刻质点具有竖直向上的初速度，此后质点竖直分速度与水平分速度的关系如图所示。时刻质点的合速度最小，不计空气阻力，则质点上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 6．(25-26高一下·河北·期中)如图所示为水平传送带甲、乙的俯视图，工件与传送带甲保持相对静止地向右运动，并平稳地进入传送带乙，已知水平传送带甲、乙速度大小均为，且方向互相垂直，工件与传送带乙之间的动摩擦因数为，重力加速度为，工件始终在传送带上运动，对于工件从进入传送带乙到与传送带乙相对静止的过程，下列说法正确的是（　　） A．工件相对于地面做直线运动 B．工件相对于传送带乙做曲线运动 C．工件沿传送带乙运动方向的加速度大小为 D．工件从进入传送带乙到与传送带乙共速用时间 题型三 小船渡河（共3小题） 7．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)如图所示，由于河床底部沉积物不同，宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ的河面水速也不同。已知河宽，区域Ⅰ的水速，区域Ⅱ的水速，方向均平行河岸向右，小船在静水中的速度大小。时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。下列说法正确的是（　　） A．小船过河的最短时间为40 s B．小船能够沿直线从A点运动到B点 C．小船以最短时间过河经历的路程为300 m D．小船从A点运动到B点的最短路程为250 m 8．(25-26高一下·山东济南莱芜第一中学·期中)我国无人艇装上相控阵雷达。如图所示，某无人艇位于与对岸的最近距离为的O点处，从O点向下游20 m处有一危险区，当时水流速度为，为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸，无人艇在静水中的速度大小至少是（　　） A． B． C． D． 9．(25-26高一下·河南开封新未来·)由于河床底部沉积状态不同形成了不同流速的两个区域，如图所示。河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，t=0时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。则下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从A点运动到B点 B．小船以最短时间过河经历的路程为 C．小船从A点运动到B点的最短路程为 D．小船的最短过河时间为 题型四 杆连接关联速度（共3小题） 10．(25-26高一下·广东中山中山纪念中学·期中)如图所示，将四根相同的木片两两交叠，再用钉子钉入木片交叠处，使木片连成一个菱形。木片厚度、宽度和钉子的半径都可忽略不计，每根钉子的位置可近似认为在木片的端点。使钉子a固定不动，并使钉子c从图示位置开始以恒定速率v沿ac连线向钉子a靠拢。当钉子a、c间的距离刚好等于每根木片的长度时，钉子b的速度大小是（　　） A． B． C． D． 11．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第一中学·期末)（多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化过程中，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．甲，乙两小球速率相等时，轻杆与水平方向夹角为 B．乙球速度最大时，甲球的加速度等于g C．初始时刻甲球的速率关系满足 D．甲球下落过程中的加速度大小一直增大 12．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 题型五 绳连接关联速度（共3小题） 13．(25-26高一下·安徽池州第二中学等校·期中)某人为锻炼身体设计了如图所示的健身装置。水平地面上竖直固定两根直杆A、B，直杆B顶端固定一轻滑轮，套在直杆A上的重物通过不可伸长的轻绳与滑轮相连，轻绳跨过定滑轮后另一端系于人的腰间。初始时重物静止在水平地面，人向左运动可拉动重物上升。不计重物与杆A、绳与滑轮间的摩擦，在重物上升至与定滑轮等高前的一小段时间内，下列说法正确的是（　　） A．若人向左匀速运动，则重物向上做减速运动 B．若人向左匀速运动，则重物处于超重状态 C．若重物向上匀速运动，则人向左做加速运动 D．若重物向上匀速运动，则人向左做匀速运动 14．(25-26高一下·江西多校·)（多选）拍电影时演员吊威亚的情景简化图如图所示，质量kg的工作人员B以m/s的速度沿水平地面向左匀速运动，通过定滑轮用不可伸长的轻绳将质量kg的演员A竖直向上吊起。定滑轮两侧轻绳的夹角为（）。取重力加速度大小，，，忽略滑轮的摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．当时，演员A的速度大小为2m/s B．当时，演员A的速度大小为0.5m/s C．若，工作人员B对地面的压力大小为200N，则此时演员A的加速度大小为4 D．若，工作人员B对地面的压力大小为200N，则此时演员A的加速度大小为5 15．(25-26高一上·湖北武汉·期末)如图所示，小车A向左运动，物体B向上做匀速直线运动。图示时刻，小车A的速度大小为v。下列说法正确的是（　　） A．小车A做匀速直线运动 B．绳子对A的拉力逐渐增大 C．绳子对B的拉力大于B的重力 D．图示时刻，物体B的速度为 题型六 平抛运动的速度（共3小题） 16．为推广乒乓球运动，学校体育组开设“国球启蒙班”指导学生学习乒乓球规则。按照规则，某次发球时，从球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功。如图所示，已知乒乓球台案长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹前后，水平速度不变，竖直速度大小不变但方向反向，重力加速度为g，不计空气阻力，乒乓球可视为质点。若本次发球成功，下列说法正确的是（　　） A．除碰撞反弹过程外，乒乓球做变加速曲线运动 B．乒乓球的最大发球速度为 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球从发出到落在对方台上用时 17．(25-26高一下·广西玉林·期中)小球A和小球B在同一高度分别以速度5和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变，小球A从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在c处再次相遇 B．a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为3：1 C．b、c两点的水平距离大于c、d两点的水平距离 D．小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度 18．壁球（Squash）运动将首次纳入2028年洛杉矶奥运会的正式比赛项目。如图所示，某次壁球运动中，一个壁球（可视为质点）从竖直墙壁上A点水平弹出后，经过水平地面上B点反弹至与A点等高的C点，在C点经击打后水平弹出，撞击墙壁上D点后又恰好落在B点。若壁球与墙壁、地面碰撞前后，平行接触面方向的速度不变，垂直接触面方向的速度大小不变、方向反向。O点为墙角，P点为图示轨迹交点，忽略空气阻力，则该次壁球运动中（   ） A．D点是AO的中点 B．P点与A、D两点等间距 C．壁球在C点被击打前后速度大小之比为1:4 D．壁球向右、向左运动的时间之比为7：2 题型七 平抛运动的位移（共3小题） 19．如图所示，小球B、C在同一水平面上，距离，在B的正上方处，小球A以的初速度水平向右抛出，同时将小球B、C以速率竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，在小球A落地前的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B之间的距离最小值为 B．小球A、B之间的距离最小值为5 m C．小球A、C之间的距离最小值为 D．小球A、C之间的距离最小值为5 m 20．(25-26高一下·安徽池州第二中学等校·期中)如图所示，一由特殊材料制成的无上下底面空心圆筒竖直放置，圆筒内直径为。、分别为圆筒上、下底的左侧边缘点，两点在同一竖直线上。现将一可视为质点的小球从点以初速度沿圆筒直径水平向右抛出，小球在圆筒内运动时，每与内壁碰撞一次，碰撞后瞬间竖直分速度变为0，水平分速度大小变为碰撞前的且方向反向。忽略空气阻力，碰撞时间不计，重力加速度为。 (1)若小球能与圆筒内壁发生第1次碰撞，求碰撞前瞬间小球速度与水平方向夹角的正切值； (2)若小球与圆筒内壁碰撞1次后恰好从点离开，求圆筒的高度； (3)若圆筒高度，求小球在圆筒内运动的总时间。 21．(25-26高一上·贵州毕节金沙县·)某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，轨道正下方的水面上漂浮着一个半径为的水平圆盘，圆盘中心到平台边缘的水平距离，竖直距离。选手抓住悬挂器（脚到平台边缘的距离可忽略），触发开关，在电动机的带动下从点沿轨道做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动，经时间人脱离悬挂器。重力加速度，不计空气阻力。 (1)若t=2s，求选手到达水面（或圆盘）上时的速度大小； (2)若要选手落在圆盘上，求t的取值范围。 题型八 用频闪相机研究平抛运动（共3小题） 22．(25-26高一下·北京东直门中学·期中)(1)如图1所示为探究平抛运动的特点的装置。用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开并自由下落，比较两球的落地时间。关于该实验，下列说法正确的是__________。（选填选项前的字母代号） A．A、B两球应选用体积小、质量大的小球 B．打击弹性金属片后两球需要落在同一水平面上 C．比较两球落地时间必须要测量两球下落的高度 D．利用实验结果可以说明平抛运动水平分运动的特点 E．利用实验结果可以说明平抛运动竖直分运动的特点 (2)小明同学用如图2所示装置研究平抛运动，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点水平飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 ①若小明第一次将小球从图中“甲”位置静止释放，描下了轨迹上的一点，第二次释放小球的位置应是右图中的__________（选填“甲”、“乙”或“丙”）； ②该实验中，在取下白纸前，应确定坐标轴原点O，并建立直角坐标系，下列图像坐标原点和坐标系的选择正确的是__________。（选填选项下的字母代号） ③小明经过正确操作，多次释放小球，得到如图3所示的点迹，下图中的各种拟合图线中，最合理的是 _________（选填“A”、“B”或“C”）。 ④以平抛起点O为坐标原点，在轨迹上取一些点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，作出如图所示的图像，图像的斜率为k，则小球平抛的初速度为__________。 ⑤若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x。测得AB和BC的竖直间距分别是和，则__________（选填“大于”、“等于”或者“小于”）。 (3)如图所示为一个小球做平抛运动时某同学拍摄的频闪照片，照片中，小球在其前方，紧贴（但未接触）背景板做平抛运动，正方格为竖直平面内的背景板，但y轴不在竖直方向，方格中最小方格的边长均为L，已知重力加速度为g，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，则y轴正方向与竖直向下方向间夹角的正切值为__________。 23．(25-26高三上·江苏盐城四校·)图甲是某种利用频闪照相“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球Q离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球几乎同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍几乎同时地。 (1)关于本实验说法不正确的是 。 A．选择体积小、质量大的小球 B．斜槽轨道末段N端必须水平 C．P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 D．挡片质量要尽可能小 (2)借助频闪仪拍摄上述运动过程。图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，可判断P球竖直方向做__________运动。 (3)若用一张印有小方格（小方格的边长为）的纸和频闪相机记录P小球从斜槽末端飞出的轨迹，小球在某次平抛运动途中的几个位置如图丙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则频闪相机拍摄相邻两张照片的时间间隔是__________ (4)某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图丁所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为__________。 (5)电磁铁用的铁芯可分为硬磁性材料和软磁性材料。硬磁性材料在磁场撤去后还会有很强的磁性，而软磁性材料在磁场撤去后就没有明显的磁性了。为了减小实验误差本实验中的电磁铁的铁芯应该用__________（选填“硬”或“软”）磁性材料制作 24．(25-26高三上·湖北宜昌·)频闪摄像是在单次长时间曝光中，利用频闪灯周期性照亮运动的物体，从而在一张画面中记录下其多个不连续瞬间的影像。学习小组同学用频闪摄像记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的规律。 (1)关于实验，下列做法正确的是________。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 (2)用如图（a）所示装置，使小球从桌面水平飞出，用频闪摄像拍摄小球的平抛运动。测得小球连续3个位置的水平和竖直距离的摄影大小如图（b）所示，已知物体的实际大小与照片上物体影像大小的比值为，重力加速度为，则小球平抛运动初速度的大小________。 (3)若小组同学测得如图（c）所示的频闪照片，但实验时忘了标记重垂线的方向。为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴的正方向，建立直角坐标系，并测算出小球两个实际位置的坐标值分别为、。已知频闪频率为，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解，可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为________，重力加速度为________。（结果均保留两位小数） 题型九 实验：验证平抛运动的规律（共3小题） 25．(25-26高一上·湖南长沙雨花区雅礼中学·期末)在某次研究平抛运动的实验中： (1)如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球由静止自由下落，可观察到两小球同时落地；改变两小球距地面的高度和打击的力度，多次实验，都能观察到两小球同时落地。实验表明_____。 A．平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动 B．平抛运动水平方向的分运动是匀加速直线运动 C．平抛运动竖直方向的分运动是匀速直线运动 D．平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动 (2)如图乙所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 ①为了保证钢球从O点水平飞出且初速度是一定的，下列实验条件必须满足的是_____。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 ②某同学做实验时记录了A、B、C三点，取A点为坐标原点，建立了如图丙所示的坐标系，平抛轨迹上的这三点的坐标值已在图中标出，根据图中数据判断，A点_____（选填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。 ③某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他以某点迹为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个点迹的坐标值、，且，如图丁所示，假设各个点迹之间的时间间隔相等，则可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为_____（用、、、坐标表示）。 26．(25-26高三上·河南·期中)“祖冲之”实验小组用如图甲所示的装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道滑下后从点飞出，落在水平挡板上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球。如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有_____。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上不同的位置释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为轴、竖直方向为轴的坐标系。 a.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于点，钢球的_____（填“最上端”“最下端”或“球心”）对应的白纸上的位置为原点。 b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据。如图乙所示，在轨迹上取、、三点，、和、的水平间距相等且均为，测得、和、的竖直间距分别是和，可求得钢球平抛的初速度大小为_____（已知当地重力加速度大小为，结果用上述字母表示）。 (3)某同学利用图甲的装置，将水平挡板调至最低点，对整个装置拍摄频闪照片进行实验，实验时忘了标记重垂线方向。为解决此问题，他在得到的频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值，如图丙所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与轴的夹角的正切值为_____。 27．(24-25高三上·北京朝阳外国语学校·开学考)某同学用如图甲所示的装置研究平抛运动。钢球在斜槽轨道某一高度处由静止释放，并从末端水平飞出。在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板，实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上。钢球落到挡板上挤压复写纸并在白纸上留下印迹。上下调节挡板，通过多次释放钢球，记录钢球在背板上所经过的多个位置。以钢球抛出时球心所在位置为坐标原点O，以水平向右和竖直向下分别为x轴和y轴的正方向，建立直角坐标系，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹如图乙所示。 (1)对于本实验，下列说法正确的是 A．每次必须从同一高度由静止释放钢球 B．斜槽轨道必须光滑 C．挡板必须等间隔上下移动 D．装置的背板必须竖直放置 (2)通过研究得出钢球在竖直方向为自由落体运动之后，为进一步研究钢球在水平方向的运动规律，该同学在轨迹上测出A、B、C三点的坐标分别为（）、（）和（）。下列能够说明钢球在水平方向的运动可能为匀速直线运动的是 。 A．若时，满足 B．若时，满足 C．在轨迹上取若干点获取数据，它们的坐标可以用一条二次函数曲线拟合（即满足） D．在轨迹上取若干点获取数据，画出的图像是一条过原点的直线 (3)该同学用图甲所示的实验装置进行实验时，没有调整斜槽末端水平，在斜槽末端向下倾斜的情况下得到小球的运动轨迹如图所示，在轨迹中选取A、B两点，坐标分别为（）、（）。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得斜槽末端切线方向与x轴间夹角的正切值为__________。 (4)另一同学设计了一个探究平抛运动的家庭实验装置。如图所示，在一个较高的塑料筒侧壁靠近底部的位置钻一个小孔，在小孔处沿水平方向固定一小段吸管作为出水口。将塑料筒放在距地面一定高度的水平桌面上，在筒中装入一定高度的水，水由出水口射出，落向地面，测量出水口到地面的高度y和水柱的水平射程x。在实验测量的过程中，该同学发现测量水柱的水平射程x时，若测量读数太慢，x的数值会变化。 a.请分析水平射程x的数值变化的原因________。 b.为了减小实验误差，应选用直径较大的容器，还是直径较小的容器？请说明判断依据_______。 题型十 追及相遇问题（共3小题） 28．(25-26高三上·上海嘉定区第一中学·期中)如图，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后，两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出篮球的初速度一定大 C．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 D．若甲、乙两同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方 29．在同一竖直平面内，有两个小球A和B，倾角为45°的斜面，顶端为O点。小球A从O点斜上方某处水平抛出，抛出点与O点的水平距离为d=5m，两点连线和水平方向夹角为45°，其初速度为vA=10m/s。在小球A抛出的同时，小球B从斜面顶端O点以初速度vB=12m/s水平抛出。两小球均只受重力作用，重力加速度g=10m/s2。斜面足够长。如图所示，求： (1)小球A抛出后经过多长时间落到斜面上？落点与O点的水平距离是多少？ (2)小球B抛出后，在空中运动过程中，其轨迹与小球A的轨迹是否有交点？若有，求出交点坐标（以O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）；若没有，请说明理由。 30．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为的斜面相接于点，两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙小球同时从两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点 D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环 题型十一 与斜面结合的平抛运动（共3小题） 31．(25-26高一·山东实验中学·期中)（多选）如图所示，同一竖直平面内有圆环BC和斜面AC，圆环BC的半径为，AO间距为，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。从A点以大小不同的初速度、沿AB方向水平抛出两个小球甲和乙，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．初速度可能大于 B．甲球的飞行时间可能比乙球长 C．若大小变为原来的一半，则甲球在斜面上的新落点为A点和原来落点的中点 D．若适当改变大小，则乙球可能垂直击中圆弧面CB 32．如图所示，第一次从倾角为的斜面顶端A处将一可视为质点的小球以初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的B点处；第二次从A的正上方某点处将同一小球以相同的初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的C点处。已知，不计空气阻力，则关于第一次小球落在B点的速度与第二次小球落在C点的速度之比的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 33．(25-26高一下·广西河池部分学校·期中)（多选）如图甲所示，倾斜挡板OA与竖直方向的夹角为θ，小球从O点的正上方高度为H的P点以水平速度水平抛出，落到挡板时，小球的位移与挡板垂直；现让挡板绕O点在竖直面内转动，改变挡板与竖直方向夹角θ的同时，也改变小球平抛运动的初速度，每次平抛运动，小球的位移总与挡板垂直，函数关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．若当地的重力加速度为g，图乙的函数关系图像对应的方程式 B．若图乙的斜率为k，则当地的重力加速度为 C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为Hg D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度为，则 题型十二 与曲面结合的平抛运动（共3小题） 34．(25-26高一下·四川南充仪陇中学校·期中)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为。若不计空气阻力，下列选项正确的是（     ） A． B．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 C．AM之间的距离为 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 35．（多选）如图所示，从半径为R的半圆形圆弧轨道边缘A点水平抛出一质量为m的小球（可看作质点）。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．调节抛出速度的大小，小球可能垂直撞到圆轨道上 B．调节抛出速度的大小，小球不可能垂直撞到圆轨道上 C．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次平抛时间之和一定是定值 D．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次水平距离之和一定是定值 36．(25-26高一下·重庆忠县中学·)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为，为圆心，为水平直径，为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从上点以速率大小未知水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上点，此时小球速度与竖直方向的夹角为。已知，，若不计空气阻力，正确的是（　　） A． B．之间的距离为 C．若从点正上方某处以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到点 D．若从点水平抛出，对于落点在段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 题型十三 类平抛运动（共3小题） 37．(25-26高一下·河北博野中学等校·)如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 38．(25-26高一上·浙江宁波·期末)如图为某小组设计的在竖直平面内的游戏装置示意图，AB是半径为、圆心为的圆形轨道，底端B点切线水平，B点与水平面Ⅰ的高度差为；CD是倾角为的轨道，高为，CD与水平轨道DE平滑连接（物体经过D点时速度大小不变）；E点与水平面Ⅱ的高度差为；水平面Ⅱ上方空间有一个鼓风装置，能产生水平向左的风力F；水平面Ⅱ上有一水平直轨道OH，轨道上有一个可移动的着陆平台P（不计着陆平台的形状大小），着陆平台与竖直面EO的水平距离记为x（，O为一维坐标x轴的原点）。游戏时，一质量为的小滑块Q（视为质点）从AB上某处静止释放，从B点水平飞出后恰好从C点无碰撞地滑入轨道CD，随后从E点水平飞出，小滑块经过E点时鼓风装置开始持续送风，在风力F持续作用下小滑块直接落在着陆平台P上（设小滑块落在平台P上立即静止）。所有接触面均光滑，不计其他阻力，，。求： (1)小滑块到达C点时的速度大小； (2)小滑块从B点飞出的速度大小和在B点时受到的轨道作用力的大小； (3)①若风力F为恒力，写出风力F与x之间的关系式。 ②若风力F满足，k为常量，小滑块Q经过E点时为时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，求k的大小。 39．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 题型十四 斜抛运动（共3小题） 40．(24-25高一上·浙江宁波镇海中学·期末)（多选）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，AB高为h，设球在落地反弹后竖直分速度变为反向，大小不变，水平速度不变，忽略空气阻力，则（　　） A．球1的平抛初速度是球2平抛初速度的 B．B点为球2平抛水平位移的中点 C．h：：5 D．球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍 41．(25-26高一下·湖南衡阳常宁第一中学·期中)如图所示，某同学进行投篮训练，他将篮球从距地面高度处，沿与水平方向成的方向斜向上抛出，恰好直接落入高度的篮筐中心。已知从抛出到进筐过程中，篮球上升时间与下降时间之比为3:2，重力加速度取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，，，则篮球抛出时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 42．(25-26高一·山西太原师范学院附属中学·期中)（多选）如图，工程队从高平台向低平台抛射工具（可视为质点），初速度大小为，与水平方向的夹角为，落点和抛出点的连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．工具由点到点的时间为 B．工具抛出后时距连线最远 C．工具落到点时的速度与水平方向夹角的正切值为 D．、两点的高度差为 题型十五 临界问题（共3小题） 43．(25-26高一下·广东部分名校·)跑酷运动员常借助墙面间的反复跳跃来完成速降，简化过程如下：如图，水平地面左侧有一高度为8h的竖直平台，右侧有一足够高的竖直挡板AB（挡板AB和平台右侧面平行且B点位于地面上），一质量为m的小球（视为质点）从平台的边缘O点以初速度水平抛出，恰好落在B点且落地前小球和平台右侧面、挡板AB没有发生碰撞。已知小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求： (1)挡板AB和平台右侧面间的水平距离； (2)其他条件不变，水平移动挡板AB，使小球和挡板AB只发生1次碰撞后落在平台右侧面与竖直挡板正中间的地面上，则挡板AB和平台右侧面间的水平距离可能为多少？ (3)水平移动挡板AB，使挡板AB和平台右侧面间的水平距离为h，改变小球水平抛出的初速度大小，小球与平台右侧面、挡板AB共发生5次碰撞后，落在地面上，则改变后，小球初速度的取值范围为多少？ 44．(25-26高一·山东实验中学·)（多选）乒乓球发球机可有效辅助学生练球。甲图是发球机与球桌的实物图，乙图是简化的示意图。乒乓球桌面的边长为，边长为，球网位于桌面的正中间，网高为；发球机简化为，其中点固定在边的中点，点为乒乓球发射点，始终保持竖直且高度可调。乒乓球可视为质点，每次均从点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，则以下说法正确的是（　　） A．若乒乓球能越过球网，则最小发射速率为 B．若乒乓球的发射速率大于，则一定会落在边界之外 C．若，则无法设置合适的发球速率使球落在区域内 D．调整的高度，若球以垂直于边的方向发射能擦网而过且落到边上，则仅调整发射方向后，只要是落在边界上的球一定也是擦网而过的 45．(25-26高一上·浙江宁波镇海中学·期末)将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 $专题01 抛体运动 题型1 曲线运动 题型9 实验：验证平抛运动的规律 题型2 运动的合成与分解（重点） 题型10 追击相遇问题（重点） 题型3 小船渡河 题型11 与斜面结合的平抛运动 题型4杆连接关联速度 题型12 与曲面结合的平抛运动 题型5 绳连接关联速度（常考点） 题型13 类平抛运动 题型6 平抛运动的速度（常考点） 题型14 斜抛运动（难点） 题型7 平抛运动的位移（难点） 题型15 临界问题（难点） 题型8 用频闪相机研究平抛运动（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 曲线运动（共3小题） 1．（多选）某实验小组做了一个有趣的实验，在沿水平直线行驶的汽车内部顶上固定一个水罐，水罐底部有小孔源源不断向车内漏水。忽略空气阻力，如果汽车在做匀变速直线运动，则关于车上的人观测到空中水的排列，下图中哪些可能正确（　　）（曲线为抛物线） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】如果汽车做匀加速直线运动，由图可知，水罐也向右匀加速， 以水罐为参考系，水滴t秒末的竖直位移为 水滴t秒末的水平位移为 落下的水滴相对于水罐斜向左下方做匀加速直线运动，故A图正确； 如果汽车做匀减速直线运动，由图可知，水罐也向右做匀减速直线运动，水滴离开水罐以后相对于地面在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，以水罐为参考系，水滴t秒末的竖直位移为 水滴t秒末的水平位移为 所以以水罐为参考系，水滴的排列应该是匀加速直线运动，图B正确。 故选AB。 2．(25-26高三上·湖南长沙望城区第六中学·月考)（多选）质量为的物体在水平面内做曲线运动，已知互相垂直方向上的速度图像分别如图所示列说法正确的是（　　） A．质点的初速度为 B．质点所受的合外力为 C． 末质点速度大小为 D．质点初速度的方向与合外力方向垂直 【答案】AD 【详解】AC．由运动的合成，质点的初速度大小为 末质点速度大小：，故A正确，C错误； B．根据图像物体的加速度沿方向，其大小为，质点所受的合外力大小为，故B错误； D．由于质点初速度的方向沿方向，加速度的方向沿方向，故质点初速度的方向与合外力方向垂直，故D正确。 故选AD。 3．我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞各项性能指标领先国际。假设某风洞在竖直方向上可产生方向、大小均可调节的风。在竖直平面内建立平面直角坐标系轴沿竖直方向，从轴上点抛出一小球，小球运动轨迹如图所示。已知风只在小球经过点时改变，且、与、间高度差相等，、间水平距离大于、间水平距离，下列说法正确的是（    ） A．小球在点左右两侧所受风力方向不同 B．小球在点左侧时所受风力小于在点右侧时所受风力 C．小球在点左侧时的加速度大于在点右侧时的加速度 D．小球在竖直方向上的平均速度从到的小于从到的 【答案】D 【详解】AB．题意知风力在竖直方向，做曲线运动的物体合力在轨迹的凹侧，结合图像可知，小球在点左侧所受合力竖直向上，即风力大于重力，在点右侧所受合力竖直向下，合力方向与重力同向，因此点右侧风力的方向不能确定，方向可能向上，也可能向下，则小球在点左右两侧时所受风力大小关系无法判断，故AB错误； C．由于小球在水平方向不受力，所以小球在水平方向上的分速度不变，由于、间的水平距离大于、间的水平距离，可知小球在段的运动时间大于在段的运动时间，小球由到竖直方向的运动过程可看成由到的竖直方向的逆过程，从到和从到，小球竖直方向的初速度大小相同，竖直方向的位移大小相同，由于时间，根据匀变速直线运动位移时间公式易判断，小球在点左侧时的加速度小于在点右侧时的加速度，故C错误； D．平均速度公式 由于小球在段的运动时间大于在段的运动时间，且、与、间高度差相等，故小球从到在竖直方向上的平均速度小于从到的平均速度，D正确。 故选 D。 题型二 运动的合成与分解（共3小题） 4．（多选）如图所示，雨天时，一向右沿直线匀速行驶的货车的货厢底板上固定一长方体箱子，部分距离已经在图中标出，雨滴的速度方向与图示截面方向平行，与竖直方向的夹角为30°，速率恒为v。下列说法正确的是（　　） A．若雨滴速度方向斜向右下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 B．若雨滴速度方向斜向右下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 C．若雨滴速度方向斜向左下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 D．若雨滴速度方向斜向左下，车速度大小为时雨滴恰不落到箱子上 【答案】AD 【详解】AB．雨滴的速度方向与竖直方向的夹角为30°，速率恒为v，其竖直分量大小为 水平分量大小为 若雨滴速度方向斜向右下，此时雨滴水平分量向右，大小为，货车速度为，向右，要使雨滴恰不落在箱子上，需让雨滴相对于货车的速度方向刚好擦过箱子左上角，即相对速度的水平分量与竖直分量的比值为，有 解得，故A正确，B错误； CD．若雨滴速度方向斜向左下，此时雨滴水平分量向左，大小为，货车速度为，向右，要使雨滴恰不落在箱子上，同样需相对速度方向擦过箱子左上角 解得，故C错误，D正确。 故选AD。 5．一质点在恒力作用下在竖直平面内做曲线运动。时刻质点具有竖直向上的初速度，此后质点竖直分速度与水平分速度的关系如图所示。时刻质点的合速度最小，不计空气阻力，则质点上升的最大高度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可知 合速度为 则当时合速度最小，此时 则从开始运动到合速度最小由 解得 则质点上升的最大高度为 故选C。 6．(25-26高一下·河北·期中)如图所示为水平传送带甲、乙的俯视图，工件与传送带甲保持相对静止地向右运动，并平稳地进入传送带乙，已知水平传送带甲、乙速度大小均为，且方向互相垂直，工件与传送带乙之间的动摩擦因数为，重力加速度为，工件始终在传送带上运动，对于工件从进入传送带乙到与传送带乙相对静止的过程，下列说法正确的是（　　） A．工件相对于地面做直线运动 B．工件相对于传送带乙做曲线运动 C．工件沿传送带乙运动方向的加速度大小为 D．工件从进入传送带乙到与传送带乙共速用时间 【答案】D 【详解】ABC．水平传送带甲、乙速度大小均为，工件相对乙的速度与乙边缘方向的夹角为α，则，即 工件受到的摩擦力与二者相对速度的方向相反，如图所示． 工件在x轴、y轴方向的加速度的大小分别为ax、ay，根据牛顿运动定律， 经过极短的时间Δt，x轴、y轴方向的相对速度大小分别为vx=v-axΔt，vy=v-ayΔt 解得， 表明经过极短的时间Δt，工件相对乙的速度与y轴方向的夹角仍为α，所以摩擦力方向保持不变，即工件相对乙的速度方向不变，工件相对于传送带乙做直线运动，但相对地面做曲线运动，ABC错误； D．工件从进入传送带乙到与传送带乙共速用时，D正确。 故选D。 题型三 小船渡河（共3小题） 7．(25-26高一·浙江A9协作体·期中)如图所示，由于河床底部沉积物不同，宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ的河面水速也不同。已知河宽，区域Ⅰ的水速，区域Ⅱ的水速，方向均平行河岸向右，小船在静水中的速度大小。时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。下列说法正确的是（　　） A．小船过河的最短时间为40 s B．小船能够沿直线从A点运动到B点 C．小船以最短时间过河经历的路程为300 m D．小船从A点运动到B点的最短路程为250 m 【答案】D 【详解】A. 当船头垂直于河对岸时渡河的时间最短，则小船过河的最短时间为，A错误； B. 在区域Ⅰ因水流速度小于船速，则小船能垂直河岸渡河，但在区域Ⅱ因水流速度大于船速，则小船不能垂直河岸渡河，则小船不能沿直线从A点运动到B点，B错误； C. 小船以最短时间过河，在两个区域经过的时间均为 在区域Ⅰ经历的路程为 在区域Ⅱ经历的路程为 小船以最短时间过河经历的路程为，C错误； D. 若小船能够从A点运动到B点，则小船在区域Ⅰ运动到河岸中间（虚线）位置进入区域Ⅱ的合速度方向一定指向B点，根据速度合成规律，利用辅助圆，作出动态三角形，如图所示 在区域Ⅱ中运动时，当船速垂直于合速度方向时路程最短，则最短路程为 可知小船从A点运动到B点的最短路程为，D正确。 故选D。 8．(25-26高一下·山东济南莱芜第一中学·期中)我国无人艇装上相控阵雷达。如图所示，某无人艇位于与对岸的最近距离为的O点处，从O点向下游20 m处有一危险区，当时水流速度为，为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸，无人艇在静水中的速度大小至少是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设无人艇在静水中的速度为，水的速度为，若无人艇刚好避开危险区，则合速度应沿OP方向，如图所示。 由几何知识得 解得 当时，最小，此时 显然无人艇沿其他方向，如沿OQ以速度行驶时，如图所示。 此时，无人艇在静水中的速度 故无人艇在静水中的速度至少为。 故选C。 9．(25-26高一下·河南开封新未来·)由于河床底部沉积状态不同形成了不同流速的两个区域，如图所示。河两岸间距为，平行河岸中间分成宽度相同的两个区域Ⅰ、Ⅱ，区域Ⅰ的水速大小，区域Ⅱ的水速大小，方向均平行河岸向右，如图所示。小船相对静水速度大小一直是，t=0时刻，小船从A点开始渡河，B点为对岸上的点，且A、B连线与河岸垂直。则下列说法正确的是（　　） A．小船能够沿直线从A点运动到B点 B．小船以最短时间过河经历的路程为 C．小船从A点运动到B点的最短路程为 D．小船的最短过河时间为 【答案】C 【详解】A．由于 可知，沿河岸的分速度能够恰好与大小相等，方向相反，此时小船的合速度方向垂直于河岸，即小船在区域Ⅰ能够从A点垂直于河岸运动。由于 可知，沿河岸的分速度大小小于，此时小船的合速度方向不可能垂直于河岸，即小船在区域Ⅱ不能够垂直于河岸运动，即小船不能够沿直线从A点运动到B点，故A错误； D．当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知，故D错误； B．结合上述可知，小船以最短时间过河时，船在区域Ⅰ、Ⅱ内沿河岸的分位移分别为， 则小船以最短时间过河经历的路程 解得 故B错误； C．若小船能够从A点运动到B点，令船头指向与河岸夹角为，则小船在区域Ⅰ运动到河岸中间（虚线）位置进入区域Ⅱ的合速度方向一定指向B点，根据速度合成规律，利用辅助圆，作出动态三角形，如图所示 当的方向与合速度方向垂直时，运动路程最短，根据几何关系有 解得 则 解得，故C正确。 题型四 杆连接关联速度（共3小题） 10．(25-26高一下·广东中山中山纪念中学·期中)如图所示，将四根相同的木片两两交叠，再用钉子钉入木片交叠处，使木片连成一个菱形。木片厚度、宽度和钉子的半径都可忽略不计，每根钉子的位置可近似认为在木片的端点。使钉子a固定不动，并使钉子c从图示位置开始以恒定速率v沿ac连线向钉子a靠拢。当钉子a、c间的距离刚好等于每根木片的长度时，钉子b的速度大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设每根木片长度为l，当ac=l时，菱形边长均为l，因此△abc为等边三角形，，b点同时是杆ab和杆bc的端点 杆ab长度不变，a固定，因此b点相对于a沿杆ab方向的分速度为0，b点速度方向垂直于杆ab，杆bc长度不变，因此b和c沿杆bc方向的分速度大小相等 已知c的速度大小为v，方向沿ac向a运动，先计算c沿杆bc方向的分速度： bc与ac夹角为，因此c沿bc方向分速度为 由△abc为等边三角形，，可得与bc杆的夹角为，因此b沿bc方向的分速度为 解得 故选A。 11．(25-26高一上·黑龙江佳木斯第一中学·期末)（多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为杆长为L。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化过程中，重力加速度大小为g，不计一切摩擦，则（　　） A．甲，乙两小球速率相等时，轻杆与水平方向夹角为 B．乙球速度最大时，甲球的加速度等于g C．初始时刻甲球的速率关系满足 D．甲球下落过程中的加速度大小一直增大 【答案】BD 【详解】A．设甲，乙两小球速率相等时，轻杆与水平方向夹角为，则 由于 解得，故A错误； B．乙球速度最大时，所受合力为0，可知轻杆给乙球的力为0。则甲球受轻杆的力也为0。所以甲球只受重力，根据牛顿第二定律得其加速度等于g，故B正确； C．初始时刻，甲球和乙球的速率都为0，故C错误； D．图像的斜率表示加速度，由图可知，甲球下落过程中的加速度大小一直增，故D正确。 故选BD。 12．(25-26高一上·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学·期末)（多选）可视为质点的甲、乙两小球用铰链与轻杆连接，甲球套在固定的竖直杆上，乙球处于水平地面上，初始时轻杆与水平方向夹角为，杆长为。无初速度释放两球到甲球落地的过程中，两球的速率随时间变化如图所示，其中时刻乙球速率最大，重力加速度大小为，不计一切摩擦，则（　　） A．时刻，轻杆与水平方向夹角为 B．时刻，乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小 C．过程，甲球的加速度可能大于 D．过程，甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积之比为 【答案】BD 【详解】A．设轻杆与水平方向的夹角为θ，甲、乙两球的速度大小分别为和，将和分别沿杆和垂直杆方向分解，则有 由图可知时刻有 解得，故A错误； B．由受力分析可得，杆对乙球的作用先是推力，后是拉力，时刻乙球速率最大，即此时杆恰好对乙球无作用力，则时刻乙球对地面的压力大小等于乙的重力大小，故B正确； C．时刻乙球速率最大，杆对乙球为推力，时刻杆对乙球推力为零，则杆对甲也是斜向左上的推力，对甲由牛顿第二定律有 则过程，甲球的加速度只能小于等于，故C错误； D．过程甲、乙两球的速率图线与时间轴所围成的面积即为该过程中甲、乙两球的位移，甲球的位移 乙球的位移 面积之比为，故D正确。 故选BD。 题型五 绳连接关联速度（共3小题） 13．(25-26高一下·安徽池州第二中学等校·期中)某人为锻炼身体设计了如图所示的健身装置。水平地面上竖直固定两根直杆A、B，直杆B顶端固定一轻滑轮，套在直杆A上的重物通过不可伸长的轻绳与滑轮相连，轻绳跨过定滑轮后另一端系于人的腰间。初始时重物静止在水平地面，人向左运动可拉动重物上升。不计重物与杆A、绳与滑轮间的摩擦，在重物上升至与定滑轮等高前的一小段时间内，下列说法正确的是（　　） A．若人向左匀速运动，则重物向上做减速运动 B．若人向左匀速运动，则重物处于超重状态 C．若重物向上匀速运动，则人向左做加速运动 D．若重物向上匀速运动，则人向左做匀速运动 【答案】B 【详解】AB．设绳子与A杆的夹角为，重物和人沿绳子方向的分速度相等，则 重物沿A杆上升的过程中，增大，减小，人的速度v不变，重物的速度增大，即加速向上运动，故A错误，B正确； CD．若重物匀速上升，增大，减小，由可知，v减小，即人向左减速，故CD错误。 故选B。 14．(25-26高一下·江西多校·)（多选）拍电影时演员吊威亚的情景简化图如图所示，质量kg的工作人员B以m/s的速度沿水平地面向左匀速运动，通过定滑轮用不可伸长的轻绳将质量kg的演员A竖直向上吊起。定滑轮两侧轻绳的夹角为（）。取重力加速度大小，，，忽略滑轮的摩擦和空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．当时，演员A的速度大小为2m/s B．当时，演员A的速度大小为0.5m/s C．若，工作人员B对地面的压力大小为200N，则此时演员A的加速度大小为4 D．若，工作人员B对地面的压力大小为200N，则此时演员A的加速度大小为5 【答案】BD 【详解】AB．将工作人员B的速度沿轻绳和垂直轻绳方向分解，则演员A的速度大小与工作人员B沿轻绳方向的速度大小相等，则有 解得当时，演员A的速度大小为0.5m/s，故A错误，B正确； CD．时，对工作人员B受力分析，则有 对演员A受力分析，根据牛顿第二定律可得 联立解得，故C错误，D正确。 故选BD。 15．(25-26高一上·湖北武汉·期末)如图所示，小车A向左运动，物体B向上做匀速直线运动。图示时刻，小车A的速度大小为v。下列说法正确的是（　　） A．小车A做匀速直线运动 B．绳子对A的拉力逐渐增大 C．绳子对B的拉力大于B的重力 D．图示时刻，物体B的速度为 【答案】D 【详解】D．将小车A的速度v分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度。沿绳子方向的分速度大小为v绳= 由于绳子不可伸长，物体B上升的速度vB等于绳子收缩的速度，即vB=v绳= 故D正确； A．由于物体B做匀速直线运动，即vB是一个恒定值。当小车A向左运动时，角度θ逐渐减小，cosθ逐渐增大。为了保持vB不变，小车A的速度v必须逐渐减小。因此，小车A做的是减速直线运动，故A错误； BC．因为物体B做匀速直线运动，所以其处于平衡状态，受力平衡。绳子对B的拉力T等于B的重力。由于B的重力不变，所以绳子的拉力T是一个恒定值。绳子对A的拉力大小也等于T，保持不变，故BC错误。 故选D。 题型六 平抛运动的速度（共3小题） 16．为推广乒乓球运动，学校体育组开设“国球启蒙班”指导学生学习乒乓球规则。按照规则，某次发球时，从球台左侧边缘正上方将球垂直左侧边缘水平击出，先落在己方台面，反弹后落在对方台面，则发球成功。如图所示，已知乒乓球台案长为2L，发球高度为H，球网高为h，球落在台上反弹前后，水平速度不变，竖直速度大小不变但方向反向，重力加速度为g，不计空气阻力，乒乓球可视为质点。若本次发球成功，下列说法正确的是（　　） A．除碰撞反弹过程外，乒乓球做变加速曲线运动 B．乒乓球的最大发球速度为 C．乒乓球的最小发球速度为 D．乒乓球从发出到落在对方台上用时 【答案】C 【详解】A．除碰撞反弹过程外，乒乓球仅受重力作用，加速度恒为重力加速度，做匀变速曲线运动，并非变加速曲线运动，故A错误； B．若发球速度为，乒乓球第一次下落时间，水平位移 ，即乒乓球直接落在对方台面右端，未先落在己方台面，不符合发球规则，故B错误； C．最小发球速度对应乒乓球反弹后刚好擦网且最终落在对方台面范围内 设第一次落台时间为，反弹时竖直速度大小 设过网时总用时为，水平位移满足，反弹后到过网的时间，竖直方向位移满足 联立解得：，故C正确； D．乒乓球第一次下落用时，反弹后竖直上抛，再次落回与台面同一高度的总用时，因此从发出到落在对方台的总用时，故D错误。 故选C。 17．(25-26高一下·广西玉林·期中)小球A和小球B在同一高度分别以速度5和水平抛出，已知小球落地碰撞反弹前后，竖直方向速度反向（大小不变），水平方向速度方向和大小均不变，小球A从抛出到第一次落地过程中，两小球的轨迹的交点a、b、c、d、e分布如图所示，其中两小球刚好在位置b相遇（不发生碰撞，互不影响各自的运动）。下列说法正确的是（　　） A．两小球将在c处再次相遇 B．a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为3：1 C．b、c两点的水平距离大于c、d两点的水平距离 D．小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度 【答案】D 【详解】A．两球水平速度不变，小球A水平速度更大，它会先经过c点，故A错误； B．设小球A从a到b、c、d、e的时间分别为、、、t，则，， 故，， 因此从a到c的时间等于a到e时间的一半，故a、c两点的竖直距离与c、e两点的竖直距离之比为1：3，故B错误； C．b到c的时间等于c到d的时间，故b、c两点的水平距离等于c、d两点的水平距离，故C错误； D．c是b到d的中间时刻，A从b到d的竖直方向平均速度等于它经过c时的瞬时速度，而实际速度还包括水平速度，水平速度不变，则小球A从b到d的平均速度等于它经过c时的瞬时速度，故D正确。 故选D。 18．壁球（Squash）运动将首次纳入2028年洛杉矶奥运会的正式比赛项目。如图所示，某次壁球运动中，一个壁球（可视为质点）从竖直墙壁上A点水平弹出后，经过水平地面上B点反弹至与A点等高的C点，在C点经击打后水平弹出，撞击墙壁上D点后又恰好落在B点。若壁球与墙壁、地面碰撞前后，平行接触面方向的速度不变，垂直接触面方向的速度大小不变、方向反向。O点为墙角，P点为图示轨迹交点，忽略空气阻力，则该次壁球运动中（   ） A．D点是AO的中点 B．P点与A、D两点等间距 C．壁球在C点被击打前后速度大小之比为1:4 D．壁球向右、向左运动的时间之比为7：2 【答案】D 【详解】C．设OA的高度为H，从A点到B点由平抛运动知识， 从B点到C点由逆向思维法可知， 可得，， 设在C点经击打后的速度为v，从C点到D点有 从D点到B点有 可得 又因为壁球从竖直方向有 解得， 则从C点到D点有 可得 故壁球在C点被击打前后速度大小之比为，故C错误； D．壁球向右运动的时间为 壁球向左运动的时间为 则，故D正确； A．由题意可知 故D点不是AO的中点，故A错误； B．由题意可知从A点到B点的轨迹方程为（） 从C点到D点的轨迹方程为（） 交点满足 解得 则 AD两点的中点高度为 因为 所以P点与A、D两点不等间距，故B错误。 故选D。 原方程的解是， 题型七 平抛运动的位移（共3小题） 19．如图所示，小球B、C在同一水平面上，距离，在B的正上方处，小球A以的初速度水平向右抛出，同时将小球B、C以速率竖直向上抛出，不考虑两球的大小及空气阻力，在小球A落地前的过程中，下列说法正确的是（     ） A．小球A、B之间的距离最小值为 B．小球A、B之间的距离最小值为5 m C．小球A、C之间的距离最小值为 D．小球A、C之间的距离最小值为5 m 【答案】A 【来源】2026届湖北黄冈中学高三下学期5月考前学情自测物理试题 【详解】AB．由题意可知，小球A、B在竖直方向的加速度相同，所以以小球B为参考系，小球A的运动可分解为，水平方向向右的匀速，竖直方向向下的匀速，设小球A的速度方向与竖直方向的夹角为，则 解得 则小球A、B之间的距离最小值为，故A正确，B错误； CD．同理，以小球C为参考系，小球A的运动可分解为，水平方向向右的匀速，竖直方向向下的匀速，初始时小球A、C连线与竖直方向夹角为，则 可得 即以小球C为参考系，小球A沿直线向小球C运动，所以小球A、C之间的距离最小值为0，故CD错误。 故选A。 20．(25-26高一下·安徽池州第二中学等校·期中)如图所示，一由特殊材料制成的无上下底面空心圆筒竖直放置，圆筒内直径为。、分别为圆筒上、下底的左侧边缘点，两点在同一竖直线上。现将一可视为质点的小球从点以初速度沿圆筒直径水平向右抛出，小球在圆筒内运动时，每与内壁碰撞一次，碰撞后瞬间竖直分速度变为0，水平分速度大小变为碰撞前的且方向反向。忽略空气阻力，碰撞时间不计，重力加速度为。 (1)若小球能与圆筒内壁发生第1次碰撞，求碰撞前瞬间小球速度与水平方向夹角的正切值； (2)若小球与圆筒内壁碰撞1次后恰好从点离开，求圆筒的高度； (3)若圆筒高度，求小球在圆筒内运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【来源】安徽池州市第二中学等校2025-2026学年高一下学期期中物理试题A 【详解】（1）小球第1次与圆筒内壁碰撞前瞬间，设速度偏转角为，有 ，， 解得 （2）小球第1次与圆筒内壁碰撞前，有 小球与圆筒第1次碰撞后，有，   圆筒的高度为 解得 （3）小球与圆筒第2次碰撞后，有，   小球在圆筒内运动的高度的关系为， 小球与圆筒碰撞3次后 小球不会与圆筒发生第4次碰撞，则 小球在圆筒内运动的时间为 解得 21．(25-26高一上·贵州毕节金沙县·)某电视台正在策划的“快乐向前冲”节目的场地设施如图所示，为水平直轨道，上面安装有电动悬挂器，可以载人运动，轨道正下方的水面上漂浮着一个半径为的水平圆盘，圆盘中心到平台边缘的水平距离，竖直距离。选手抓住悬挂器（脚到平台边缘的距离可忽略），触发开关，在电动机的带动下从点沿轨道做初速度为零、加速度为的匀加速直线运动，经时间人脱离悬挂器。重力加速度，不计空气阻力。 (1)若t=2s，求选手到达水面（或圆盘）上时的速度大小； (2)若要选手落在圆盘上，求t的取值范围。 【答案】(1) (2) 【来源】贵州省毕节市金沙县2025-2026学年高一上学期教学质量监测物理试题 【详解】（1）若t=2s，选手水平方向的速度大小 人脱离悬挂器后，竖直方向做自由落体运动 竖直方向的速度大小 自由落体运动的时间 水平方向的位移 故选手落入水中，此时的速度大小 （2）选手在轨道上运动位移 平抛运动的水平位移 水平方向总位移 若要选手落在圆盘上，需满足 即 解得 题型八 用频闪相机研究平抛运动（共3小题） 22．(25-26高一下·北京东直门中学·期中)(1)如图1所示为探究平抛运动的特点的装置。用小锤打击弹性金属片后，A球沿水平方向飞出，同时B球被松开并自由下落，比较两球的落地时间。关于该实验，下列说法正确的是__________。（选填选项前的字母代号） A．A、B两球应选用体积小、质量大的小球 B．打击弹性金属片后两球需要落在同一水平面上 C．比较两球落地时间必须要测量两球下落的高度 D．利用实验结果可以说明平抛运动水平分运动的特点 E．利用实验结果可以说明平抛运动竖直分运动的特点 (2)小明同学用如图2所示装置研究平抛运动，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点水平飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 ①若小明第一次将小球从图中“甲”位置静止释放，描下了轨迹上的一点，第二次释放小球的位置应是右图中的__________（选填“甲”、“乙”或“丙”）； ②该实验中，在取下白纸前，应确定坐标轴原点O，并建立直角坐标系，下列图像坐标原点和坐标系的选择正确的是__________。（选填选项下的字母代号） ③小明经过正确操作，多次释放小球，得到如图3所示的点迹，下图中的各种拟合图线中，最合理的是 _________（选填“A”、“B”或“C”）。 ④以平抛起点O为坐标原点，在轨迹上取一些点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，作出如图所示的图像，图像的斜率为k，则小球平抛的初速度为__________。 ⑤若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：如图所示，在轨迹上取A、B、C三点，AB和BC的水平间距相等且均为x。测得AB和BC的竖直间距分别是和，则__________（选填“大于”、“等于”或者“小于”）。 (3)如图所示为一个小球做平抛运动时某同学拍摄的频闪照片，照片中，小球在其前方，紧贴（但未接触）背景板做平抛运动，正方格为竖直平面内的背景板，但y轴不在竖直方向，方格中最小方格的边长均为L，已知重力加速度为g，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，则y轴正方向与竖直向下方向间夹角的正切值为__________。 【答案】(1)ABE (2) 甲 C B 大于 (3) 【详解】（1）A．为了减小空气阻力对实验的影响，A、B两球应选用体积小、质量大的小球，故A正确； B．实验目的是探究 “平抛运动的竖直分运动是否为自由落体运动”。自由落体运动要求 “从同一高度由静止开始下落”，因此A、B两球必须从同一高度开始运动，打击弹性金属片后两球需要落在同一水平面上，竖直高度相同，时间才相同，故B正确； C．因为两球从同一高度同时开始运动，通过观察两球是否同时落地，就可以比较落地时间，不需要测量下落高度，故C错误； D．此实验中，A球有水平初速度，B球无水平速度，实验探究的是竖直方向的运动情况，不能说明平抛运动水平分运动的特点，故D错误； E．A球做平抛运动，B球做自由落体运动，若两球同时落地，说明平抛运动在竖直方向的分运动是自由落体运动，故E正确。 故选ABE。 （2）①[1]要保证每次小球做平抛运动的初速度相同，所以每次释放小球的位置应相同。第一次从“甲”位置释放，第二次也应从“甲”位置释放。 ②[2]小球所挤压的痕迹点是球心的投影点，而所有的痕迹点与原点应在同一抛物线上，所以坐标原点应建立在小球处于水平槽末端时球心的水平投影处。 故选C。 ③[3]根据平抛运动的规律，则有， 联立解得 则小球的轨迹是抛物线。 故选B。 ④[4]根据平抛运动的规律，则有， 联立解得 可知图像的斜率为 解得小球平抛的初速度为 ⑤[5]因为A、B和B、C间水平距离相等，所以A、B和B、C间对应钢球运动的时间相同，设为T，设小球在A、B点时的竖直分速度大小分别为，，根据速度时间关系有 根据位移时间关系有， 联立可得 （3）设y轴与竖直方向间的夹角为，可知x轴与水平方向的夹角也为，将重力加速度沿x、y轴方向分解，如图所示 则有， 在原图中从上往下三个点，分别标1、2、3，设相邻两点间的时间间隔为，根据匀变速直线运动的推论，沿x轴方向有 其中，，解得 沿y轴方向有 其中，，解得 则有 23．(25-26高三上·江苏盐城四校·)图甲是某种利用频闪照相“研究平抛运动”的实验装置，斜槽末端口N与小球Q离地面的高度均为H，实验时，当P小球从斜槽末端飞出与挡片相碰，立即断开电路使电磁铁释放Q小球，发现两小球几乎同时落地，改变H大小，重复实验，P、Q仍几乎同时地。 (1)关于本实验说法不正确的是 。 A．选择体积小、质量大的小球 B．斜槽轨道末段N端必须水平 C．P小球每次必须从斜槽上相同的位置无初速度释放 D．挡片质量要尽可能小 (2)借助频闪仪拍摄上述运动过程。图乙为某次实验的频闪照片，在误差允许范围内，根据任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，可判断P球竖直方向做__________运动。 (3)若用一张印有小方格（小方格的边长为）的纸和频闪相机记录P小球从斜槽末端飞出的轨迹，小球在某次平抛运动途中的几个位置如图丙中的a、b、c、d所示，重力加速度，则频闪相机拍摄相邻两张照片的时间间隔是__________ (4)某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值、，如图丁所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为__________。 (5)电磁铁用的铁芯可分为硬磁性材料和软磁性材料。硬磁性材料在磁场撤去后还会有很强的磁性，而软磁性材料在磁场撤去后就没有明显的磁性了。为了减小实验误差本实验中的电磁铁的铁芯应该用__________（选填“硬”或“软”）磁性材料制作 【答案】(1)C (2)自由落体 (3)0.05 (4) (5)软 【详解】（1）A．选择体积小、质量大的小球，可以减小空气阻力的影响，故A正确，不符合题意； B．斜槽轨道末段N端必须水平，以保证小球P做平抛运动，故B正确，不符合题意； C．图甲实验研究平抛运动在竖直方向的运动规律，对水平速度不做要求，所以P球不需要每次从斜槽上相同的位置无初速度释放，故C错误，符合题意； D．挡片质量要尽可能小，可以减少碰撞对平抛运动的影响，故D正确，不符合题意。 故选C。 （2）任意时刻P、Q两球的竖直高度相同，说明P球在竖直方向的运动与Q球的运动相同，而Q球做自由落体运动，所以P球竖直方向也做自由落体运动。 （3）根据竖直方向的运动规律，由，可得 （4）设重垂线方向与y轴间夹角为，把重力加速度沿x、y轴方向正交分解，这两个方向的加速度分别为、，则x方向有 y方向 联立可得 （5）本实验电磁铁的铁芯应该用软磁性材料制作，断开电路后磁性立即消失，对Q小球的吸引力消失，可以保证Q小球立即下落做自由落体运动。 24．(25-26高三上·湖北宜昌·)频闪摄像是在单次长时间曝光中，利用频闪灯周期性照亮运动的物体，从而在一张画面中记录下其多个不连续瞬间的影像。学习小组同学用频闪摄像记录平抛小球在不同时刻的位置，探究平抛运动的规律。 (1)关于实验，下列做法正确的是________。 A．选择体积小、质量大的小球 B．借助重垂线确定竖直方向 C．先抛出小球，再打开频闪仪 (2)用如图（a）所示装置，使小球从桌面水平飞出，用频闪摄像拍摄小球的平抛运动。测得小球连续3个位置的水平和竖直距离的摄影大小如图（b）所示，已知物体的实际大小与照片上物体影像大小的比值为，重力加速度为，则小球平抛运动初速度的大小________。 (3)若小组同学测得如图（c）所示的频闪照片，但实验时忘了标记重垂线的方向。为解决此问题，他在频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴的正方向，建立直角坐标系，并测算出小球两个实际位置的坐标值分别为、。已知频闪频率为，根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解，可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为________，重力加速度为________。（结果均保留两位小数） 【答案】(1)AB (2) (3) 0.75 9.80 【详解】（1）A．选择体积小、质量大的小球，以减小阻力的影响，A正确； B．借助重垂线确定竖直方向，B正确； C．先打开频闪仪，再抛出小球，C错误。 故选AB。 （2）竖直方向 水平方向 可得 （3）如图，分别表示水平和竖直方向，设重垂线方向与轴间的夹角为，如图所示，当建立的坐标系时，则轴方向做匀加速运动，根据逐差法计算加速度有， 联立得 代入得 题型九 实验：验证平抛运动的规律（共3小题） 25．(25-26高一上·湖南长沙雨花区雅礼中学·期末)在某次研究平抛运动的实验中： (1)如图甲所示，用小锤打击弹性金属片，A球沿水平方向抛出，同时B球由静止自由下落，可观察到两小球同时落地；改变两小球距地面的高度和打击的力度，多次实验，都能观察到两小球同时落地。实验表明_____。 A．平抛运动水平方向的分运动是匀速直线运动 B．平抛运动水平方向的分运动是匀加速直线运动 C．平抛运动竖直方向的分运动是匀速直线运动 D．平抛运动竖直方向的分运动是自由落体运动 (2)如图乙所示，将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道PO滑下后从O点飞出，落在水平挡板MN上。由于挡板靠近硬板一侧较低，钢球落在挡板上时，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 ①为了保证钢球从O点水平飞出且初速度是一定的，下列实验条件必须满足的是_____。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球 ②某同学做实验时记录了A、B、C三点，取A点为坐标原点，建立了如图丙所示的坐标系，平抛轨迹上的这三点的坐标值已在图中标出，根据图中数据判断，A点_____（选填“是”或“不是”）平抛运动的抛出点。 ③某同学实验时忘了标记重垂线方向，为解决此问题，他以某点迹为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个点迹的坐标值、，且，如图丁所示，假设各个点迹之间的时间间隔相等，则可得重垂线方向与轴间夹角的正切值为_____（用、、、坐标表示）。 【答案】(1)D (2) BC/CB 不是 【详解】（1）A球沿水平方向抛出，同时B球由静止自由下落，可观察到两小球同时落地。改变两小球距地面的高度和打击的力度，多次实验，都能观察到两小球同时落地。根据实验能判断出A球在竖直方向做自由落体运动。 故选D。 （2）[1]斜槽轨道末端水平可以保证钢球水平飞出，每次从斜槽上相同的位置无初速度释放钢球可以保证飞出的初速度是一定的，斜槽轨道光滑与否不影响实验效果。 故选BC。 [2]假设点为抛出点，则竖直方向应该满足 由丙图数据可得 矛盾，故A不是抛出点。 [3]依题意 可知小球沿轴做减速运动，那么轴是斜向上偏离水平方向，设重垂线与轴间的夹角为，将重力加速度分别沿、轴方向分解，如图所示 则， 根据匀变速运动推论，设相邻点之间的时间间隔为，则沿轴方向有 解得 沿y轴方向有 解得 因此 26．(25-26高三上·河南·期中)“祖冲之”实验小组用如图甲所示的装置研究平抛运动。将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直的硬板上，钢球沿斜槽轨道滑下后从点飞出，落在水平挡板上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点。移动挡板，重新释放钢球。如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点。 (1)下列实验条件必须满足的有_____。 A．斜槽轨道光滑 B．斜槽轨道末端水平 C．挡板高度等间距变化 D．每次从斜槽上不同的位置释放钢球 (2)为定量研究，建立以水平方向为轴、竖直方向为轴的坐标系。 a.取平抛运动的起始点为坐标原点，将钢球静置于点，钢球的_____（填“最上端”“最下端”或“球心”）对应的白纸上的位置为原点。 b.若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据。如图乙所示，在轨迹上取、、三点，、和、的水平间距相等且均为，测得、和、的竖直间距分别是和，可求得钢球平抛的初速度大小为_____（已知当地重力加速度大小为，结果用上述字母表示）。 (3)某同学利用图甲的装置，将水平挡板调至最低点，对整个装置拍摄频闪照片进行实验，实验时忘了标记重垂线方向。为解决此问题，他在得到的频闪照片中，以某位置为坐标原点，沿任意两个相互垂直的方向作为轴和轴正方向，建立直角坐标系，并测量出另外两个位置的坐标值，如图丙所示。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得重垂线方向与轴的夹角的正切值为_____。 【答案】(1)B (2) 球心 (3) 【详解】（1）ABD．做平抛运动实验，必须满足的条件是钢球以相同的初速度沿水平方向抛出，则无论斜槽是否光滑，只要每次从同一位置无初速度释放钢球，且斜槽轨道末端水平，钢球抛出的初速度就会相同且沿水平方向，故AD错误，B正确； C．实验只需要用平滑曲线表示轨迹，挡板高度不需要等间距变化，故C错误。 故选B。 （2）[1]因为每次压点痕迹位于水平正对球心的位置，故静置于点的钢球球心对应的白纸上的位置为原点。 [2]在竖直方向上，有 在水平方向上，有 得钢球平抛的初速度大小为 （3）分析可知，小球在轴方向和轴方向均做匀变速直线运动，则相邻相等时间内的位移差相等。 则方向有 方向有 重垂线方向与轴夹角的正切值 联立解得 27．(24-25高三上·北京朝阳外国语学校·开学考)某同学用如图甲所示的装置研究平抛运动。钢球在斜槽轨道某一高度处由静止释放，并从末端水平飞出。在装置中有一个水平放置的可上下调节的倾斜挡板，实验前，先将一张白纸和复写纸固定在装置的背板上。钢球落到挡板上挤压复写纸并在白纸上留下印迹。上下调节挡板，通过多次释放钢球，记录钢球在背板上所经过的多个位置。以钢球抛出时球心所在位置为坐标原点O，以水平向右和竖直向下分别为x轴和y轴的正方向，建立直角坐标系，用平滑曲线把这些印迹连接起来，就得到钢球做平抛运动的轨迹如图乙所示。 (1)对于本实验，下列说法正确的是 A．每次必须从同一高度由静止释放钢球 B．斜槽轨道必须光滑 C．挡板必须等间隔上下移动 D．装置的背板必须竖直放置 (2)通过研究得出钢球在竖直方向为自由落体运动之后，为进一步研究钢球在水平方向的运动规律，该同学在轨迹上测出A、B、C三点的坐标分别为（）、（）和（）。下列能够说明钢球在水平方向的运动可能为匀速直线运动的是 。 A．若时，满足 B．若时，满足 C．在轨迹上取若干点获取数据，它们的坐标可以用一条二次函数曲线拟合（即满足） D．在轨迹上取若干点获取数据，画出的图像是一条过原点的直线 (3)该同学用图甲所示的实验装置进行实验时，没有调整斜槽末端水平，在斜槽末端向下倾斜的情况下得到小球的运动轨迹如图所示，在轨迹中选取A、B两点，坐标分别为（）、（）。根据平抛运动规律，利用运动的合成与分解的方法，可得斜槽末端切线方向与x轴间夹角的正切值为__________。 (4)另一同学设计了一个探究平抛运动的家庭实验装置。如图所示，在一个较高的塑料筒侧壁靠近底部的位置钻一个小孔，在小孔处沿水平方向固定一小段吸管作为出水口。将塑料筒放在距地面一定高度的水平桌面上，在筒中装入一定高度的水，水由出水口射出，落向地面，测量出水口到地面的高度y和水柱的水平射程x。在实验测量的过程中，该同学发现测量水柱的水平射程x时，若测量读数太慢，x的数值会变化。 a.请分析水平射程x的数值变化的原因________。 b.为了减小实验误差，应选用直径较大的容器，还是直径较小的容器？请说明判断依据_______。 【答案】(1)AD (2)CD (3) (4) 由于水柱的流量不变，即单位时间流出的水的体积不变，所以当测量读数太慢时，塑料筒中的水的高度下降，出水口处水的压强减小，水的流速减小，所以水平射程x的数值变小 为了减小实验误差，应选用直径较小的容器，因为容器直径越小，出水口处水的压强越接近塑料筒中的水的高度决定的压强，水的流速越稳定，水平射程x的数值越稳定 【详解】（1）A．每次必须从同一高度由静止释放钢球，以保证小球到达斜槽底端速度相同，故A正确； B．斜槽轨道不必须光滑，只需保证每次必须从同一高度由静止释放钢球，每次克服阻力做功相同，小球到达斜槽底端速度相同，故B错误； C．挡板不需要等间隔上下移动，故C错误； D．装置的背板必须竖直放置，故D正确。 故选AD。 （2）A．根据竖直方向初速度为零匀加速规律可知，若 则运动时间相同，满足 即可说明水平匀速运动，故A错误； B．若 竖直方向位移相同，但竖直是加速运动，时间不等，故B错误； C．根据， 整理可得 其中k是常数，故C正确； D．根据以上分析可知 在轨迹上取若干点获取数据，画出的图像是一条过原点的直线，故D正确。 故选CD。 （3）水平方向 竖直方向， 解得 （4）[1]由于水柱的流量不变，即单位时间流出的水的体积不变，所以当测量读数太慢时，塑料筒中的水的高度下降，出水口处水的压强减小，水的流速减小，所以水平射程x的数值变小； [2]为了减小实验误差，应选用直径较小的容器，因为容器直径越小，出水口处水的压强越接近塑料筒中的水的高度决定的压强，水的流速越稳定，水平射程x的数值越稳定。 题型十 追及相遇问题（共3小题） 28．(25-26高三上·上海嘉定区第一中学·期中)如图，甲、乙两同学将两个篮球分别水平抛出后，两篮球在空中的P点相遇，已知甲同学抛出点的高度比乙同学抛出点的高度大，不计空气阻力，篮球可看成质点，下列说法正确的是（　　） A．乙同学比甲同学先将篮球抛出 B．乙同学抛出篮球的初速度一定大 C．两篮球相遇前，甲同学抛出的篮球在空中运动的时间长 D．若甲、乙两同学抛球速度变为原来的2倍，则相遇点一定在P点正上方 【答案】C 【详解】A．已知甲、乙的抛出点高度，并且在同一位置相遇，则由 得，如果两球同时抛出，甲的球会比乙的球晚到达点。要使两球在点相遇，甲必须比乙先抛出，故A错误； B．由， 得，但题目未给出水平位移关系，仅能得出 故B错误； C．由， 这说明在相遇前，甲的球在空中运动的时间更长，故C正确； D．如果速度变为原来两倍，设甲下落位移为，乙下落位移为，初速度均变为和 ，设新相遇时间为，则 又要满足， 由于， 和 也不相等，无法保证两球在P点正上方相遇，故D错误。 故选C。 29．在同一竖直平面内，有两个小球A和B，倾角为45°的斜面，顶端为O点。小球A从O点斜上方某处水平抛出，抛出点与O点的水平距离为d=5m，两点连线和水平方向夹角为45°，其初速度为vA=10m/s。在小球A抛出的同时，小球B从斜面顶端O点以初速度vB=12m/s水平抛出。两小球均只受重力作用，重力加速度g=10m/s2。斜面足够长。如图所示，求： (1)小球A抛出后经过多长时间落到斜面上？落点与O点的水平距离是多少？ (2)小球B抛出后，在空中运动过程中，其轨迹与小球A的轨迹是否有交点？若有，求出交点坐标（以O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向）；若没有，请说明理由。 【答案】(1)2s，15m (2)有交点， 【详解】（1）对于小球 A，水平位移 竖直位移 因为落在斜面上，则有 联立解得 则水平位移 由于抛出点与O点水平距离为 所以落点相对于O点的水平距离为 （2）对于小球 A，水平方向 竖直方向 联立解得 以O点为坐标原点，水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，小球A抛出点与O点的水平距离为d=5m，两点连线和水平方向夹角为45°，则A点抛出点坐标为(-5m,-5m） 则有， 整理可得小球 A的轨迹 对于小球B，水平方向 竖直方向 联立解得 假设两球轨迹有交点，则有 解得 代入可得 因此两球运动轨迹的交点坐标为 30．如图所示，同一竖直平面内有四分之一圆环和倾角为的斜面相接于点，两点与圆环的圆心等高。现将甲、乙小球同时从两点以一定大小的初速度沿水平方向抛出，两球恰好在点相碰（不计空气阻力）。则下列说法正确的是（　　） A．若仅增大两球质量，则两球不再相碰 B．甲、乙小球初速度大小之比为 C．若甲球速度大小变为原来的一半，则能落在斜面的中点 D．若甲球速度大小变为原来的两倍，则可能垂直击中圆环 【答案】B 【详解】A．平抛运动与球的质量无关，则若仅增大两球质量，则两球仍能相碰，A错误； B．甲、乙两球做平抛运动，下落高度 所以下落时间 水平方向， 联立解得，，故B正确； C．若大小变为原来的一半，在时间不变的情况下水平位移会变为原来的一半，但由于甲球会碰到斜面，下落高度减小，时间减少，所以甲球的水平位移小于原来的一半，不会落在斜面的中点，故C错误； D．若甲球垂直击中圆环，设此时甲球抛出时的速度为，则落点时速度的反向延长线过圆心，如图所示 由几何关系有， 联立解得 所以，故D错误。 故选B。 题型十一 与斜面结合的平抛运动（共3小题） 31．(25-26高一·山东实验中学·期中)（多选）如图所示，同一竖直平面内有圆环BC和斜面AC，圆环BC的半径为，AO间距为，A、B两点与圆环BC的圆心O等高。从A点以大小不同的初速度、沿AB方向水平抛出两个小球甲和乙，分别落在斜面AC和圆弧面CB上，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．初速度可能大于 B．甲球的飞行时间可能比乙球长 C．若大小变为原来的一半，则甲球在斜面上的新落点为A点和原来落点的中点 D．若适当改变大小，则乙球可能垂直击中圆弧面CB 【答案】AB 【详解】A．两个小球都做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，由x=v0t，水平方向的位移不仅与初速度有关还与下落时间有关，水平位移小，下落时间可能更短，对应的初速度有可能大，则初速度v1可能大于v2，故A正确。 B．竖直方向上做自由落体运动，由，得，若甲下落的高度大于乙的高度，则甲的飞行时间比乙长，故B正确。 C．原来的甲球满足，则位移 若大小变为原来的一半，则位移变为原来的，即甲球在斜面上的新落点在A点和原来落点的位置，C错误； D．根据平抛运动的推论：平抛运动瞬时速度的反向延长线交水平位移的中点，作出乙球垂直撞击到圆弧面CB上速度的反向延长线，与AB的交点一定在O点的左侧，速度的反向延长线不可能通过O点，所以乙球不可能与CB面垂直，即乙球不可能垂直撞击到圆弧面CB上，故D错误。 故选AB。 32．如图所示，第一次从倾角为的斜面顶端A处将一可视为质点的小球以初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的B点处；第二次从A的正上方某点处将同一小球以相同的初速度向右水平抛出，小球落在斜面上的C点处。已知，不计空气阻力，则关于第一次小球落在B点的速度与第二次小球落在C点的速度之比的判断正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设斜面倾角为，第一次平抛运动时间为，第二次为。第一次从点抛出落在点，水平位移 竖直位移 由几何关系 解得 落在点时竖直分速度 合速度 第二次从点抛出落在点，已知，则点相对于点的水平位移 第二次平抛水平位移 因水平速度仍为，故运动时间 落在点时竖直分速度 合速度 速度之比 由题图知， 代入得 所以 故选C。 33．(25-26高一下·广西河池部分学校·期中)（多选）如图甲所示，倾斜挡板OA与竖直方向的夹角为θ，小球从O点的正上方高度为H的P点以水平速度水平抛出，落到挡板时，小球的位移与挡板垂直；现让挡板绕O点在竖直面内转动，改变挡板与竖直方向夹角θ的同时，也改变小球平抛运动的初速度，每次平抛运动，小球的位移总与挡板垂直，函数关系图像如图乙所示，下列说法正确的是（     ） A．若当地的重力加速度为g，图乙的函数关系图像对应的方程式 B．若图乙的斜率为k，则当地的重力加速度为 C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为Hg D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度为，则 【答案】BD 【详解】A．设平抛运动的时间为t，如图所示，把平抛运动的位移分别沿水平和竖直方向分解，设平抛运动的时间为t，由几何关系 可得 综合整理 函数关系对应的方程式为，A错误； B．若图乙的斜率为k，则由可得当地的重力加速度为，B正确； C．若当地的重力加速度为g，则图像的斜率为，C错误； D．若当地的重力加速度为g，且平抛运动初速度，结合，可得 则有，解得，D正确。 故选BD 题型十二 与曲面结合的平抛运动（共3小题） 34．(25-26高一下·四川南充仪陇中学校·期中)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为R，O为圆心，AB为水平直径，C为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从AO上M点以速率（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为。若不计空气阻力，下列选项正确的是（     ） A． B．若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到N点 C．AM之间的距离为 D．若从A点水平抛出，对于落点在AC段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】C 【详解】A．小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为30° 小球在N点竖直方向的速度 小球从M到N运动的时间 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 ，解得 小球从M到N水平位移 ，故A错误； B．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识，若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故B错误； C．AM之间的距离，故C正确； D．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选C。 35．（多选）如图所示，从半径为R的半圆形圆弧轨道边缘A点水平抛出一质量为m的小球（可看作质点）。不计空气阻力，下列说法正确的是（    ） A．调节抛出速度的大小，小球可能垂直撞到圆轨道上 B．调节抛出速度的大小，小球不可能垂直撞到圆轨道上 C．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次平抛时间之和一定是定值 D．若以不同速度、抛出刚好落在圆轨道上同一高度，则两次水平距离之和一定是定值 【答案】BD 【详解】AB．若小球垂直落在半圆轨道上，根据几何关系知，速度方向与水平方向的夹角是位移与水平方向的夹角的2倍，而在平抛运动中，某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，两者相互矛盾，所以小球不可能垂直落在半圆轨道上，故B正确，A错误； C．两次小球落点同一高度，说明落点y坐标（下落高度）相等，设为h，由 解得两次运动时间 时间之和为 可见时间之和不是定值，故C错误； D．同一高度h的两个落点满足圆方程，坐标为， 水平位移分别为， 则水平位移之和为，故D正确。 故选BD。 36．(25-26高一下·重庆忠县中学·)如图所示，竖直面内有一个半圆形轨道，半径为，为圆心，为水平直径，为圆弧最低点，将一个可看成质点的小球从上点以速率大小未知水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上点，此时小球速度与竖直方向的夹角为。已知，，若不计空气阻力，正确的是（　　） A． B．之间的距离为 C．若从点正上方某处以某一速度水平抛出，一定不能垂直打到点 D．若从点水平抛出，对于落点在段的小球，初速度越大，落点速度与水平初速度夹角越大 【答案】B 【详解】A．小球从AO上M点以速率v0（大小未知）水平向右抛出，恰好垂直打在轨道上N点，此时小球速度与竖直方向的夹角为37° 小球在N点竖直方向的速度 小球从M到N运动的时间 根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识 ，解得 小球从M到N水平位移 ，故A错误； B．由A选项知，AM之间的距离为，故B正确； C．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，结合几何知识，若从A点正上方某处P以某一速度水平抛出，有可能垂直打到N点，故C错误； D．根据平抛运动的推论，速度方向的反向延长线过水平位移的中点，速度夹角正切值是位移夹角正切值的2倍，初速度越大，落点在AC段的小球位移夹角的正切值越小，落点速度与水平初速度夹角越小，故D错误。 故选B。 题型十三 类平抛运动（共3小题） 37．(25-26高一下·河北博野中学等校·)如图所示，一质量为的小球在光滑水平桌面上受一水平恒力的作用，先后经过、两点，速度方向偏转90°。已知经过点时的速度大小为、方向与连线夹角为60°，连线长为。对小球从运动到的过程，下列说法正确的是（　　） A．小球在点的速度大小为 B．小球从到运动的时间为 C．水平恒力方向与连线夹角为30° D．水平恒力的大小为 【答案】D 【详解】A B．将水平恒力F分解为沿A点速度方向分力和垂直A点速度方向分力，从A到B，沿A点速度方向速度减为零，根据匀变速运动规律可得沿A点速度方向的平均速度大小为 沿A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得所用的时间为 垂直A点速度方向，根据匀变速规律可得 解得小球在B点的速度为，故AB错误； C D．沿A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向左） 垂直A点速度方向，根据牛顿第二定律可得（向下） 则小球受到的恒力大小为 水平恒力方向与夹角为，则 解得，由几何关系可知水平恒力方向与连线夹角为60°，故C错误、D正确。 故选D。 38．(25-26高一上·浙江宁波·期末)如图为某小组设计的在竖直平面内的游戏装置示意图，AB是半径为、圆心为的圆形轨道，底端B点切线水平，B点与水平面Ⅰ的高度差为；CD是倾角为的轨道，高为，CD与水平轨道DE平滑连接（物体经过D点时速度大小不变）；E点与水平面Ⅱ的高度差为；水平面Ⅱ上方空间有一个鼓风装置，能产生水平向左的风力F；水平面Ⅱ上有一水平直轨道OH，轨道上有一个可移动的着陆平台P（不计着陆平台的形状大小），着陆平台与竖直面EO的水平距离记为x（，O为一维坐标x轴的原点）。游戏时，一质量为的小滑块Q（视为质点）从AB上某处静止释放，从B点水平飞出后恰好从C点无碰撞地滑入轨道CD，随后从E点水平飞出，小滑块经过E点时鼓风装置开始持续送风，在风力F持续作用下小滑块直接落在着陆平台P上（设小滑块落在平台P上立即静止）。所有接触面均光滑，不计其他阻力，，。求： (1)小滑块到达C点时的速度大小； (2)小滑块从B点飞出的速度大小和在B点时受到的轨道作用力的大小； (3)①若风力F为恒力，写出风力F与x之间的关系式。 ②若风力F满足，k为常量，小滑块Q经过E点时为时刻，要使小滑块竖直地落到着陆平台P上，求k的大小。 【答案】(1) (2)， (3)①；② 【详解】（1）设小滑块到达C点时竖直方向的速度大小为，根据匀变速直线运动规律可得 解得 由运动的合成与分解可得 （2）根据运动的合成与分解可得 B点由牛顿第二定律可得 解得 （3）①小滑块从C至D匀加速，由牛顿第二定律可得 解得 由匀变速直线运动规律可得 解得 小滑块匀速运动至E处做类平抛运动，水平方向的初速度 竖直方向自由落体 解得 水平方向匀减速 解得 由牛顿第二定律可得 ②小滑块竖直落到着陆平台时刚好减小到0，则有 运动时间 由图像物理意义可知 解得 39．(24-25高一下·天津第一中学·期中)如图甲所示的风洞实验中小球的运动简化为如图乙所示的匀变速曲线运动，虚线AB与水平地面的夹角为 ，质量为m的小球从P点以大小为的初速度沿与AB平行的方向抛出，运动过程中小球始终受到大小，方向水平向右的风力的作用，C是虚线AB上的点，PC与虚线AB垂直，且P、C两点间的距离为，经过一段时间，小球运动到虚线AB上的某点D （图中未标出）点，重力加速度大小为g，，，小球可视为质点。试计算： (1)小球从P点运动到最高点的时间。 (2)若小球的离地高度，，重力加速度，求小球落地时的水平位移。 (3)小球从抛出到落到D点的所用的时间。 【答案】(1) (2)31m (3) 【详解】（1）小球从P点运动到最高点时竖直方向速度减为0，则有 （2）设小球空中运动时间为，规定向上为正方向，对小球，竖直方向有 代入题中数据，解得 则小球落地时的水平位移 其中 联立解得 （3）把F和mg合成一个力 设与F的夹角为，则有 可知 即恰好沿PC方向，小球从P点到D点做类平抛运动，由类平抛运动的规律有 其中 解得 题型十四 斜抛运动（共3小题） 40．(24-25高一上·浙江宁波镇海中学·期末)（多选）从高H处的M点先后水平抛出两个小球1和2，轨迹如图所示，球1与地面碰撞一次后刚好越过竖直挡板AB，落在水平地面上的N点，球2刚好直接越过竖直挡板AB，也落在N点，AB高为h，设球在落地反弹后竖直分速度变为反向，大小不变，水平速度不变，忽略空气阻力，则（　　） A．球1的平抛初速度是球2平抛初速度的 B．B点为球2平抛水平位移的中点 C．h：：5 D．球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍 【答案】BD 【详解】A D．设M点到N点的水平距离为L，球2整个运动过程的时间为，有 解得 可得 球1与地面碰撞前后竖直方向分速度大小不变、方向相反，根据对称性可知，球1与地面碰撞后到达的最高点与初始高度相同为H，球1在水平方向上一直做匀速直线运动，有， 即 联立解得 两球在A点竖直方向速度大小相等，故球1在A点速度与水平线夹角正切值为球2在A点速度与水平线夹角正切值的3倍，故A错误，D正确； C．设球1与地面碰撞的碰撞点到M点和B点的水平距离分别为、，将球1与地面碰撞后到达最高点时的过程反向来看，可得碰撞点到A点的时间为 球2刚好越过挡板AB的时间为 水平方向的位移关系有 即 解得， 可得B点为球2平抛水平位移的中点，故B正确，C错误。 故选：BD。 41．(25-26高一下·湖南衡阳常宁第一中学·期中)如图所示，某同学进行投篮训练，他将篮球从距地面高度处，沿与水平方向成的方向斜向上抛出，恰好直接落入高度的篮筐中心。已知从抛出到进筐过程中，篮球上升时间与下降时间之比为3:2，重力加速度取，忽略空气阻力，篮球可视为质点，，，则篮球抛出时的速度大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】竖直方向，根据，因篮球上升时间与下降时间之比为3:2，可知上升的高度和下降的高度之比为h1:h2=9:4 而，可得 则根据 解得 故选C。 42．(25-26高一·山西太原师范学院附属中学·期中)（多选）如图，工程队从高平台向低平台抛射工具（可视为质点），初速度大小为，与水平方向的夹角为，落点和抛出点的连线与水平方向的夹角为，不计空气阻力，重力加速度取。下列说法正确的是（　　） A．工具由点到点的时间为 B．工具抛出后时距连线最远 C．工具落到点时的速度与水平方向夹角的正切值为 D．、两点的高度差为 【答案】AD 【详解】ACD．以抛出点为原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为轴正方向 初速度分量， 抛出后速度方程， 抛出后运动方程， 设点坐标，由落点和抛出点的连线与水平方向的夹角为，有 点在轴下方，解得 联立运动方程解得 代入解得点时，， 因此， 故AD正确，C错误； B．工具到直线的距离最大时，其速度方向必与连线平行，此时垂直于连线的速度分量为零，之后开始靠近，直线斜率 则速度方向与水平方向夹角满足 联立速度方程解得，故B错误。 故选AD。 题型十五 临界问题（共3小题） 43．(25-26高一下·广东部分名校·)跑酷运动员常借助墙面间的反复跳跃来完成速降，简化过程如下：如图，水平地面左侧有一高度为8h的竖直平台，右侧有一足够高的竖直挡板AB（挡板AB和平台右侧面平行且B点位于地面上），一质量为m的小球（视为质点）从平台的边缘O点以初速度水平抛出，恰好落在B点且落地前小球和平台右侧面、挡板AB没有发生碰撞。已知小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变，重力加速度大小为g，不计空气阻力，求： (1)挡板AB和平台右侧面间的水平距离； (2)其他条件不变，水平移动挡板AB，使小球和挡板AB只发生1次碰撞后落在平台右侧面与竖直挡板正中间的地面上，则挡板AB和平台右侧面间的水平距离可能为多少？ (3)水平移动挡板AB，使挡板AB和平台右侧面间的水平距离为h，改变小球水平抛出的初速度大小，小球与平台右侧面、挡板AB共发生5次碰撞后，落在地面上，则改变后，小球初速度的取值范围为多少？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【详解】（1）小球抛出后做平抛运动竖直方向上， 水平方向上， 解得 （2）小球与挡板AB或平台右侧面碰撞时，水平方向速度大小不变、方向反向，竖直方向速度不变 小球运动的总时间 若小球只与挡板AB碰撞1次，不与平台右侧面碰撞，如图甲，根据对称性 结合 解得 若小球与挡板AB、平台右侧面各碰1次，如图乙，根据对称性 ，结合 解得 （3）小球运动的总时间 经过5次碰撞后，落在地面上在水平方向上，由几何关系， 解得 44．(25-26高一·山东实验中学·)（多选）乒乓球发球机可有效辅助学生练球。甲图是发球机与球桌的实物图，乙图是简化的示意图。乒乓球桌面的边长为，边长为，球网位于桌面的正中间，网高为；发球机简化为，其中点固定在边的中点，点为乒乓球发射点，始终保持竖直且高度可调。乒乓球可视为质点，每次均从点水平发射，发射方向可以在水平面内任意调整，若球擦网而过时不计球和网之间的相互作用，不考虑乒乓球的旋转，不计空气阻力和周围环境对乒乓球运动的影响，则以下说法正确的是（　　） A．若乒乓球能越过球网，则最小发射速率为 B．若乒乓球的发射速率大于，则一定会落在边界之外 C．若，则无法设置合适的发球速率使球落在区域内 D．调整的高度，若球以垂直于边的方向发射能擦网而过且落到边上，则仅调整发射方向后，只要是落在边界上的球一定也是擦网而过的 【答案】AD 【详解】A．要让乒乓球能越过球网，则在乒乓球到达球网前下落的高度为 水平方向的位移x＝ 最小发射速率为 故A正确； B．从抛出点到角C、D时水平位移最大，故最大水平位移为 当发射的速率等于时， 若x'＜s，则有 可知发射的速率大于时，如果发球高度满足，则x'＜s，即乒乓球有可能落在界内，故B错误； C．乒乓球竖直方向总下落高度为H，总落地时间为 乒乓球到达球网时，最大允许下落高度为H-h，对应运动时间为 发球点F在AB中点，任意一条从F出发、终点落在CD边界上的直线，与球网JK交点到F的水平距离x1满足（x是F到落点的总水平位移） 越过球网要求初速度 不飞出CD边界要求初速度 因此存在解的条件为 解得 即只要就存在合适的发球速率使球落在JKCD区域内 所以若，仍然可以找到合适的发球速率，C错误； D．球网位于桌面的正中间，则球从发射到球网的时间和球从球网到CD边的时间相等，设为T，则H的高度满足 适当调整发射方向后，只要是落在CD边界上的球，通过球网的位置仍然是水平方向的位移的中点，即仍然是T时刻通过球网，则只要是落在CD边界上的球一定是擦网而过的，故D正确。 故选AD。 45．(25-26高一上·浙江宁波镇海中学·期末)将一小球从某一位置水平抛出，其中小球距离斜面上端的竖直距离与水平距离均可调，使小球落到一倾角为的斜面上，然后沿斜面滚下，再从平台边缘水平飞出。斜面所在平台高度H=0.8m，平台前方有两个高度均为h=0.6m、厚度可忽略不计的挡板，平台边缘到第一块挡板的距离L=0.6m，两块挡板之间的距离d=1.0m。不计空气阻力，重力加速度取。 (1)某次小球抛出点到斜面上端的竖直距离y=0.2m，小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，求小球到达斜面的速度大小； (2)若要小球落入两挡板之间的区域，求从平台边缘飞出的速度取值范围； (3)两挡板之间的地面正中央有一个宽度l=0.4m、高度不计的盒子，小球碰到左右挡板后，竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向。若要小球与挡板碰撞一次后落入盒子，求从平台边缘飞出的速度取值范围。 【答案】(1) (2)3~4m/s (3) 【详解】（1）竖直方向有 解得 小球恰好无碰撞地飞入斜面顶端，有 可得小球到达斜面的速度大小 （2）竖直方向有 速度最小时 解得 当小球刚好落到第2块挡板最低处，有， 解得 可得从平台边缘飞出的速度取值范围为3~4m/s。 （3）竖直方向有 与挡板碰撞一次，速度最小时 解得 速度最大时 解得 因此速度取值范围为 $