学易金卷：高一数学下学期期末真题重组卷【浙江专用，测试范围：人教A版必修第一册～必修第二册】

**基本信息** 2025~2026学年高一下学期数学期末真题重组卷，整合浙江多地期末真题，覆盖人教A版必修第一、二册内容，通过基础巩固、能力提升、创新应用的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、复数共轭、向量共线、立体几何命题、三角函数性质|单选注重基础，多选考查逻辑推理（如独立事件判断）| |填空题|3题/15分|实系数方程根、九宫格概率、向量模与夹角|结合生活情境（九宫格填数），渗透数学建模| |解答题|5题/77分|社会实践统计（频率分布直方图）、解三角形（中线与内切圆）、立体几何（二面角）、函数零点|综合题突出应用（如分层抽样概率）与空间观念（动态三棱柱问题），呼应高考命题趋势|

2025~2026学年高一下学期数学期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化为：，解得，即，而， 所以. 故选：C 2．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 【答案】D 【详解】， 所以，所以的虚部为. 故选：D. 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足， 可知且， 解得，此时，满足题意. 故选：A 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】B 【详解】若，则或相交或异面，故A错误； 若，则存在过的平面，，则由线面平行的性质定理可知， 又因为，所以，因为，所以，故B正确； 若，，则或与相交或，故C错误； 若，，，当时，； 当时，或与相交，或，故D错误； 故选：B 5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 【答案】A 【详解】如图所示： 由题设正四棱台，分别是上下底面中心，作， 由题意可知：，， 同理可得，故， ， ，示上下底面面积，，， 所以棱台的体积. 故选：A. 6．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】是方程的两个实根， ， ①， ②， ①式②式得：， 即， ，即，得. 故选：. 7．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知，由正弦定理、余弦定理可得，，可得是直角三角形，以为原点，建立直角坐标系，由又E为BC中点，在线段AB上，且，可得，的坐标，利用坐标运算可得的余弦值. 【详解】已知，由正弦定理得，又， 由余弦定理，所以， 则有，即是以为直角的直角三角形， 如图，以为原点，建立直角坐标系，设，则， 又E为BC中点，在线段AB上，且， 则，，，，， 解得． 故选：B. 8．（22-23高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出函数的图象，根据图象分析可得的值，再由的取值范围即可得出答案. 【详解】画出函数的图象如图，      若，由，即， 即，即，所以， 当时，单调递增，且， 令，则，所以， . 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 【答案】ACD 【详解】对于A选项，若事件两两互斥，则与互斥， 所以，，因此A正确； 对于B，考虑投掷两个骰子，记事件：第一个骰子的点数为奇数， 事件：第二个骰子点数为奇数，事件：两个骰子的点数之和为奇数， 于是有，， ，可以看出事件两两独立，但不互相独立， 所以，因此B错误； 对于C，若事件相互独立，则， 又，， 则 ，因此C正确； 对于D，若，事件相互独立， 则， 若互斥，则，因此D正确. 故选：ACD. 10．（22-23高一下·浙江衢州·期末）函数，如下结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．对任意的，都有 C．在上是增函数 D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 【答案】BC 【详解】， 所以的最大值为，故A错误； , 所以关于对称，所以对任意的，都有，故B正确； 时，, 所以在上是增函数，故C正确； 由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象，故D错误. 故选：BC. 11．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高一下·浙江温州·期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 【答案】12 【详解】因为是关于x的实系数方程的一个根， 则也是关于x的实系数方程的一个根， 由韦达定理可得，解得. 故答案为：12. 13．（2025高一下·浙江宁波·期末）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 【详解】设第一行第一列为，设第一行第三列为，第三行第三列为，第三行第三列为由题有.由题有. 由题可得可为 ，共24种情况. 满足的有共6种，则对应概率为：. 故答案为： 14．（2023高一下·浙江宁波·期末）已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 【答案】 【分析】设, 由共线定理可知点在线段上，设，则 ，根据投影的计算方法，结合三角恒等变换公式，推出 ，可将原问题转化为求的最大值，再利用等面积法，进一步将问题转化为求的最小值，然后结合余弦定理和基本不等式，得解. 【详解】    设，则， 由，知，即， 所以， 因为，所以点在线段上， 设，则， 所以 故原问题转化为求的最大值， 在中，由余弦定理知， ，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为， 因为，所以，即， 所以， 即，即， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（23-24高一下·浙江金华·期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.    (1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. (3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 【答案】(1)，20.32小时 (2)21.73小时 (3) 【分析】（1）利用频率之和为1得到方程，求出，利用平均数的定义进行计算； （2）即求60百分位数，先得到60百分位数位于18~22之间，设出60百分位数为，从而得到方程，求出答案； （3）按照分层抽样的概念得到优秀，良好，及格的人数，并列举出求解相应的概率. 【详解】（1）由，解得， 因为小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时. （2）时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又，， 所以60百分位数位于18~22之间， 设60百分位数为，则，解得小时. 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. （3）易知，5名学生中， 优秀有人，设为， 良好有人，设为， 合格有人，设为. 任选3人，总共有，10种情况， 其中符合的有，共4种， 故概率为. 16．（15分）（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，可得， 又，所以，又，所以； （2）因为， 所以. 所以的最小值为，此时. 17．（15分）（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； （2）由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； （3）由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 18．（17分）（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，． (1)证明：平面ACE； (2)求点E到平面ABCD的距离； (3)求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）证明，得到，进而得到，再利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）证明，确定即为所求，勾股定理求出即可. （3）利用面面平行，把所求二面角转化为了平面与面ADE所成的角，设交线为m，然后分别证明,从而找到对应的平面角，再求出正切值，即可得解. 【详解】（1）因为四边形是菱形，所以， 又因为,所以,所以 设,连接，则G为BD的中点，, 又,所以平面ACE； （2）过点E作,垂足为H,因为平面ACE，平面ACE，所以， 又，所以, 所以点E到平面ABCD的距离即为线段EH的长度. 因为,,所以,所以， 又因为为正三角形，所以点H为的中心. 延长DH交AB于点I，则I为AB的中点. 因为在中，,所以, 因为,所以. 所以点E到平面ABCD的距离为2. （3）过点H作BC的平行先分别交AB,CD于点J,K，则BJ=CK=4， 因为EF=4, ,所以, 所以四边形EFCK和四边形EFBJ均为平行四边形， 所以,所以平面平面. 过点E作直线,则平面平面, 过点H作,垂足为L,连接LE. 因为,所以,所以, 所以, 所以为二面角的平面角. 因为 在直角三角形中，. 因为平面平面, 所以，侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值为. 19．（17分）（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)已知函数的图象经过， （i）若，求的值； （ii）若的三个零点为，且，求的值. 【答案】(1)-2021 (2)（i）0；（ii）-9 【分析】（1）根据可求的值； （2）先求出，（i）利用代数运算可得的值；（ii）利用根分布可判断，根据（i）中结论可得三根之间的关系，故可求. 【详解】（1）， ， . （2）由题设有，故，故. （i） . （ii）因为， 所以. 若，则， 由（1）可知，当时，，所以. 所以也是函数的三个零点. 由，求得，所以. 由，求得，所以. 由，求得，所以. 所以， 同理可得， 又记， 所以 . 试卷第6页，共22页 试卷第2页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025~2026学年高一下学期数学期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 6．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 10．（22-23高一下·浙江衢州·期末）函数，如下结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．对任意的，都有 C．在上是增函数 D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 11．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高一下·浙江温州·期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 13．（2025高一下·浙江宁波·期末）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 14．（2023高一下·浙江宁波·期末）已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高一下·浙江金华·期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.    (1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. (3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 16．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 17．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 18．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， (1)证明：平面ACE； (2)求点E到平面ABCD的距离； (3)求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值． 19．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)已知函数的图象经过， （i）若，求的值； （ii）若的三个零点为，且，求的值. 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高一下学期数学期末真题重组卷 （考试时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版必修第一册~必修第二册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·浙江宁波·期末）已知复数，则的共轭复数的虚部为（    ） A．1 B．i C． D． 3．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 4．（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l，m，n与平面α，β，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 5．（24-25高一下·浙江温州·期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为4，则它的体积是（    ） A． B． C． D．112 6．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是方程的两个实根，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．（23-24高一下·浙江嘉兴·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，，E为BC中点，在线段AB上，且，和CF相交于点，则的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高一下·浙江衢州·期末）已知函数，若且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高一下·浙江杭州·期末）下列命题正确的是（    ） A．若事件两两互斥，则成立. B．若事件两两独立，则成立. C．若事件相互独立，则与也相互独立. D．若，则事件相互独立与互斥不能同时成立. 10．（22-23高一下·浙江衢州·期末）函数，如下结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．对任意的，都有 C．在上是增函数 D．由的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 11．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2024高一下·浙江温州·期末）已知是关于x的实系数方程的一个根，则实数p的值为_______． 13．（2025高一下·浙江宁波·期末）如图，九宫格中已填入数字1，3，5，7，9，随机将数字2，4，6，8填入空格中，则第三行与第三列数字和相等的概率为__________. 14．（2023高一下·浙江宁波·期末）已知向量，的夹角为，且，向量满足，且，记，，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（23-24高一下·浙江金华·期末）在五一假期中，某校组织全校学生开展了社会实践活动，抽样调查了其中的100名学生，统计他们参加社会实践活动的时间（单位：小时），并将统计数据绘制成如图的频率分布直方图.另外，根据参加社会实践活动的时间从长到短按的比例分别被评为优秀、良好、合格.    (1)求的值并估计该学校学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）； (2)试估计至少参加多少小时的社会实践活动，方可被评为优秀.（结果保留两位小数）. (3)根据社会实践活动的成绩，按分层抽样的方式抽取5名学生.从这5名学生中，任选3人，求这3名学生成绩各不相同的概率. 16．（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）已知平面向量，且. (1)求与的夹角的值； (2)当取得最小值时，求实数的值. 17．（23-24高一下·浙江台州·期末）在中，角所对的边分别为，满足. (1)求的值； (2)当与边上的中线长均为2时，求的周长； (3)当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 18．（23-24高一下·浙江绍兴·期末）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形， (1)证明：平面ACE； (2)求点E到平面ABCD的距离； (3)求侧面ADE与侧面BCF所成二面角的正切值． 19．（22-23高一下·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求的值； (2)已知函数的图象经过， （i）若，求的值； （ii）若的三个零点为，且，求的值. 试卷第2页，共5页 试卷第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 频率 组距 0.075 0.060 0.025 0.020 101418222630时间/小时 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) F C 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年高一数学下学期期末真题重组卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 题号 2 3 4 6 > 8 答案 C D A B A C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ACD BC ACD 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.12 13./0.25 4 14.27 8 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(1)由0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07,…2分 因为0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32小时， 所以该学校学生假期中参加社会实践活动的时间的平均数约为20.32小时.…4分 (2)时间从长到短按4：4：2的比例分别被评为优秀、良好、合格， 由题意知，即求60百分位数，又(0.02+0.06)×4=0.32， (0.02+0.06+0.075×4=0.62, 所以60百分位数位于18-22之间，……6分 设60百分位数为y,则”-18=0.6-0.32 解得y=18+56 ≈21.73小时 22-180.3 5 故至少参加21.73小时的社会实践活动，方可被评为优秀. ………8分 (3)易知，5名学生中， 优秀有5x、4 =2人，设为A,B, 4+4+2 答案第2页，共6页 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 良好有5x 4 =2人，设为C,D, 4+4+2 合格有5×，2 =1人，设为E. 9分 4+4+2 任选3人，总共有(A,B,C),(A,B,D),(A,B,E),(A,C,D),A,C,E),(A,D,E), (B,C,D),(B,C,E),(B,D,E),(C,D,E),10种情况， …11分 其中符合的有(A,C,E),A,D,E),B,C,E),B,D,E),共4种， 故概率为p= 42 …13分 105 16。(1)由b-a-b=0,b=3,可得a-b=b2=3,…2分 又a=2,所以cos0= a.b 3 a- …5分 又0≤0≤π，所以0= …7分 6 (2)因为ab=b2=3,a=2, 所以b-ia=Vb2+(ia-2a-b=V4-62+3 所以b-加的最小值为5，此时2= 3 …15分 2 17.(1)因为c=acosB+ 3 由正弦定理得sinC=SiA·C0sB+二sinB,…1分 又由sinC=sinA+B）=sinAcosB+cosAsinB,得cosAsinB=二sinB.3分 3 因为sinB≠0，所以cosA=二 4分 (2)由余弦定理得a2=b2+c2-2 becosA, 即4=b2+c2_6bc,① …5分 5 设BC的中点为D,则2AD=AB+BC,… …6分 4AD=(AB+AC)=AB'+AC'+24B.AC. 答案第2页，共6页 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 6 则16=b2+c2+9bc,② …7分 5 由①+②得b2+c2=10, [b2+c2=10 联立 4=b+c2-6bc' ,,解得b十C=2√5，…8分 所以a+b+C=2+2√5，即ABC的周长为2+2√5；…9分 B D (3》由(1)得snA= 4 由8C内圆半径为1.将时a+6+ex1=bcsm4,即a+b+e=bc,10分 2 5 由余弦定理得a2=b2+c2-bc,所以 4bc-(b+c) 2 =b+c2-6bc,11分 5 行b+c=2bc+2.因为6+c≥26c,所以2bc+222c,12分 解得bc≥15+55成0<bc≤15-55 …13分 2 又因为ABC的面积大于其内切圆面积，即二bC>π， 得bc>5r>15-5v5 所以bc≥15+5V5 ……14分 2 2 2 当且仅当b=c 5+5时，ABC的面积取到最小值3+5.15分 2 18.(1)因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC,… …1分 又因为∠EAB=∠EAD,AB=AD,所以EAB兰EAD,所以EB=ED 设AC∩BD=G,连接EG,则G为BD的中点，BD⊥EG, …3分 又EG∩AC=G,所以BD⊥平面ACE;… 4分 答案第2页，共6页 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)过点E作EH⊥AC,垂足为H,因为BD⊥平面ACE,EHC平面ACE,所以 BD⊥EH，……5分 又BDOAC=G,所以EH⊥平面ABCD, 所以点E到平面ABCD的距离即为线段EH的长度.……6分 因为DE1AB,EH⊥AB,所以AB⊥平面EDH,所以AB⊥DH,…7分 又因为△ABD为正三角形，所以点H为△ABD的中心 延长DH交AB于点I,则I为AB的中点 …8分 3 因为在Rt AEI中，EI⊥AL,A1=3,CoS∠EAB=二，所以AE=4,9分 4 因为4H=5x6=25,所以EH=VAE-AH=6-i2=2 所以点E到平面ABCD的距离为2.… …10分 (3)过点H作BC的平行先分别交AB,CD于点J,K,则BJ=CK=4, 因为EF=4,AB//EF,所以EFBJ,EF=BJ,EF//CK,EF=CK, 所以四边形EFCK和四边形EFBJ均为平行四边形， 所以EK//CF,EJ//BF,所以平面JKE//平面BCF.…12分 过点E作直线m//JK,则平面ADE平面KE=m, 过点H作HL⊥AD,垂足为L,连接LE 因为HL⊥JK,EH⊥JK,所以JK⊥平面EHL,所以m⊥平面EHL, 所以m⊥LE,m⊥EH, 所以∠LEH为二面角A-m一J的平面角.…14分 因为HL=AH sin.∠LAH=V3,EH=2 在直角三角形LEH中，tan∠LEH= HL 3 …l6分 EH 2 因为平面JKE//平面BCF, 答案第2页，共6页 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以，侧面ADE与侧面8C下所成二面角的正切值为V …17分 l9.(1)f-x+f(x=ax3+bx+1-ax3-bx+1=2,…-2分 .f(logx)+flogo.sx)=f(logx)+f(-logx)=2,.....3 f(log0s=-2021.… …4分 a+b+1=-1 a=1 (2)由题设有 8+2b+1=3故6=-3故个=-3x+16分 w》---》11+2-+1 -+3-1=-f0=0. 9分 (i)因为f(-2)=-1=<0,f(-1)=3>0,f(0)>0,f(1)=-1<0,f(2)=3>0, 所以-2<x<-1,0<x2<1<X3<2.…11分 若f(t)=3-3t+1=0,则t2-2=1- …12分 由(1)可知，当f(t)=0时， f-》-0,所以f-2到=0 所以x2-2,x子-2，x-2也是函数的三个零点.… …13分 由-2<x<-1,求待-2=1>1，所以5=对-2 X 由0<5<1，求得巧-2=1-上<0，所以x=5-2 由1<5<2，求得巧-2=1-∈(0，，所以5，=-2 X 所以x2-x-2=x-x3-2=(x+1(2-x), 同理可得x3-x3-2=x+1(2-x),x-x-2=x2+1(2-x2),…15分 答案第2页，共6页 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又记f(x)=x3-3x+1=(x-x)(x-x2)x-x3), 所以(x2-x2-2川x-x,-2(x5-x-2 =(x+1(2-x)(x2+1(2-x2)(x+1(2-x) =(x+(x2+1(x+1(2-x)(2-x2)(2-x =-f(-1f(2)=-9.… …17分 答案第2页，共6页