精品解析：河南信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（北湖校区）2025-2026学年高一下学期5月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（北湖校区） 2025-2026学年高一下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 240，18 B. 200，20 C. 240，20 D. 200，18 5. 设m，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D. 若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 10. 如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（ ） A. 当时，是钝角三角形 B. 若，，则的值是 C. 当时，的面积最小值是 D. 当时，向量数量积的最小值是 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D. 若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数满足，则______． 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 14. 四面体中且异面直线与所成角为若四面体外接球半径为则四面体的体积的最大值为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 16. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 17. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 18. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面PAC； （2）求二面角的大小； （3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（北湖校区） 2025-2026学年高一下期05月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（　 　） A. B. 1 C. D. i 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 所以复数z的虚部为. 故选：B. 2. 已知与为非零向量，，若三点共线，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据三点共线可得向量共线，由此结合向量的相等列式求解，即得答案. 【详解】由题意知，三点共线，故, 且共线， 故不妨设，则， 所以，解得， 故选：D 3. 已知水平放置的四边形按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中， ，则原四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图画出原图，可得原图形为直角梯形，计算该直角梯形的面积即可. 【详解】过点作，垂足为 则由已知可得四边形为矩形，为等腰直角三角形 ，则， 根据直观图画出原图如下： 可得原图形为直角梯形，， 且， 可得原四边形的面积为. 4. 已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图和如图所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为 A. 240，18 B. 200，20 C. 240，20 D. 200，18 【答案】A 【解析】 【分析】利用统计图结合分层抽样性质能求出样本容量，利用条形图能求出抽取的户主对四居室满意的人数． 【详解】样本容量为：（150+250+400）×30%＝240， ∴抽取的户主对四居室满意的人数为： 故选A． 【点睛】本题考查样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意统计图的性质的合理运用． 5. 设m，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，若，则或异面，故A错误； 对于B，若，，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，使得， 而，则，所以，故C正确； 对于D，若，，设， 只有时，才能得到，故D错误. 6. 已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 作出轴截面图，显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球半径为， 由勾股定理得，解得，可得圆柱的底面半径为， 高为，故其体积. 7. 已知点为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据判断出，，三点共线，再结合外心的性质得到的形状，最后根据投影向量的定义求出的值. 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，外心是三角形三边垂直平分线的交点，且，，三点共线， 所以为外接圆的直径，那么，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故选：D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值不可能为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】取中点G，连接，先证面BFG面AEC，由面面平行证面BFG，再结合条件证，即可得长度在边BG上高的长度与FG、BG较大边的长度之间，最后直接求解即可判断 【详解】如图，取中点G，连接， 点，分别是棱，的中点，则， 又，面BFG，面AEC，所以面BFG面AEC， 因为平面，故面BFG， 又是侧面正方形内一点（含边界），面BFG 面，故， 易得，，边FG上的高，故由等面积法，边BG上的高，故，又， 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组数据2，3，，5，7的平均数是4，则这组数据的众数是3 B. 数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第分位数是23 C. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为10的样本，则总体中某个体被抽到的概率是0.2 D. 若样本数据的标准差为6，则数据，，，的标准差为11 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据平均数列方程求即可判断A；根据百分数的定义求数据中第分位数判断B；根据简单随机抽样各个体被抽到的概率等于样本容量与总体容量的比值判断C；根据方差的性质求新数据的方差，进而确定其标准差判断D. 【详解】A：由，可得，显然这组数据的众数是3，对； B：将数据从小到大排序为， 又，所以第分位数是，错； C：由题设，简单随机抽样过程中抽取到任一个体的概率为，对； D：由样本数据的标准差为6，即方差为， 则数据，，，的方差为，故标准差为，错. 故选：AC 10. 如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（ ） A. 当时，是钝角三角形 B. 若，，则的值是 C. 当时，的面积最小值是 D. 当时，向量数量积的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算求出向量或点的坐标，根据数量积的符号判断A，根据数量积的坐标运算判断B，根据三角形的面积利用配方法判断C，根据向量数量积的坐标运算，配方后判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 则， 当时，，，，， 所以，所以为钝角，故A正确； 当，时，， ，则，故B错误； 当时，， ，即，， 所以 ，当时，有最小值，故C正确； 当时，，，， 则，故当时，的最小值是，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在正方体中，，点是正方形内的动点（包含边界），点为的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 若点在线段上，则 B. 若点在线段上，则的最小值为 C. 若点是线段的中点，则点到平面的距离为 D. 若，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A：通过证明平面，可得；对B：将平面沿直线翻折，使得四点共面，则由和均是边长为的等边三角形，可得；对C：借助等体积法可得，再利用余弦定理及面积公式求出即可得解；对D：可得点的轨迹为平面中，以中点为圆心、为半径的圆的圆弧上，即可得其轨迹长度. 【详解】选项A，当点在线段上时，连接， 在正方形中，对角线， 又平面，平面，所以， 于是垂直于平面内的两条相交直线和， 故平面，而平面，因，A正确； 选项B，当点在线段上时，将平面沿直线翻折， 使得四点共面，由和均是边长为的等边三角形， 故，B错误； 选项C，当点是线段中点时，设点到平面的距离为， 则， 又，则， 又， 由余弦定理得， 所以，所以，故，C正确； 选项D，取的中点， 连接，易知，则， 由得点在以为圆心、为半径的圆上，点的轨迹为圆弧， 易知，所以点的轨迹长为，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 是虚数单位，复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 则，又， 则，解得，则. 13. 如图，为了测量某大厦的高，选择地面上一点和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得的点的仰角，点的仰角，从点测得.已知楼高，则大厦的高__________. 【答案】 【解析】 【分析】在中根据正弦定理可得，即可利用锐角三角函数求解. 【详解】如图，在中，，所以. 在中，因为，所以. 由正弦定理得,故，故， 在中，易得. 故答案为：60. 14. 四面体中且异面直线与所成角为若四面体外接球半径为则四面体的体积的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构建直三棱柱设分别为的外心，连结，取其中点，则为直三棱柱的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，由余弦定理求得，或，再由即可求解. 【详解】解：四面体中且异面直线与所成的角为 构建直三棱柱，设分别为的外心，连结，取其中点， 则为直三棱柱的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心， 异面直线与所成角为或， 设三棱柱底面的外接圆半径为r， 则 当， 由余弦定理得：， ， ，当且仅当时等号成立， 四面体ABCD的体积： 当， 由余弦定理得：， ， ，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 四面体ABCD的体积： 综上可知四面体ABCD的体积的最大值为 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量满足，，且与的夹角为． （1）若，求实数的值； （2）求与的夹角的余弦值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据两个向量垂直，则它们的数量积为0，并利用向量数量积公式计算. （2）先计算，再计算，最后根据向量夹角的余弦公式求解. 【小问1详解】 由题意可得， 因为，所以， 即， 解得． 【小问2详解】 设与的夹角为，由（1）可知，， 由题意可得， 由，得， 所以． 16. 设复数． （1）在复平面内，复数对应的点在实轴上，求； （2）若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意分析可知，即可得，进而可求； （2）根据复数的除法运算结合纯虚数概念可得，可知是方程的根，利用韦达定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 若复数对应的点在实轴上，则， 可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为， 若是纯虚数，则，解得， 若是方程的根，则也是该方程的根， 由韦达定理可得，即，所以. 17. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试.应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）. （1）估计此次测试分数的平均值； （2）公司计划按照分数从高到低选拔前50名的应聘者进入面试环节，试估计这50名应聘者的最低分数； （3）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）. 【答案】（1） （2）65 （3），分的应聘者的成绩进入到了的范围内，分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式求解即可； （2）依题意可知求第三四分位数所对应的分数； （3）根据频率分布直方图中方差的计算公式求解即可，然后求出即可判断. 【小问1详解】 1－5组的频率分别为， . 【小问2详解】 ， 这50名应骋者的最低分数为第三四分位数所对应的分数， 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 第三四分位数落在内，设为m， 则，解得 这50名店骋者的量低分数力65分. 【小问3详解】 依题意， ， ，， ， 分的应聘者的成绩进入到了的范围内， 分的应聘者的成绩没有进入到了的范围内. 18. 的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可. 【小问1详解】 因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. 【小问2详解】 因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，. （1）证明：平面PAC； （2）求二面角的大小； （3）点T是棱PC上的动点（不包括端点），求直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质定理可得，再由线面垂直的判定定理得解即可； （2）先证明是二面角的平面角的补角，再解三角形得解； （3）证明平面ABCD，可得线面角为，设，利用函数单调性求取值范围即可. 【小问1详解】 ， 所以， 所以在中，由余弦定理得 所以，所以 因为底面ABCD，平面ABCD，所以. 又平面PAC，所以平面PAC. 【小问2详解】 取BP的中点E，过点D作平面PBC，DF交平面PBC于点F，连接CF. 因为平面ABCD，平面PAB，所以平面平面ABCD. 因为平面平面，所以平面PAB. 因为平面PAB，所以. 因为，所以 又BP，平面PBC，，所以平面PBC. 因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC， 所以点A到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离，所以 由（1）知平面PAC，因为平面PAC，所以. 因为平面PBC，平面PBC，所以. 又DF，平面CDF，，所以平面CDF. 因为平面CDF，所以. 由，平面平面，知是二面角的平面角的补角. 由，得. 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 过点T作TG平行于PA，交AC于点G，连接GD. 因为平面ABCD，AB，平面ABCD，所以. 因为，所以. 因为，AB，平面ABCD，所以平面ABCD， 所以TD与底面ABCD所成的角为. 设，所以，即，所以. 所以. 由函数单调递增，得： 所以直线TD与平面ABCD所成角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $