精品解析：第40届全国中学生物理竞赛预赛试题（2023.09.02）

第40届全国中学生物理竞赛预赛试题 （2023年9月2日9∶00-12∶00） 考生必读 1、考生考试前务必认真阅读本须知。 2、本试题共5页，总分为400分。 3、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答题纸上的内容；选择题和填空题也必须在答题纸上作答；写在试题纸和草稿纸上的解答一律无效。 一、选择题（本题60分，含5小题，每小题12 分。在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括号内。全部选对的得 12分，选对但不全的得6分，有选错或不答的得0分。） 1. 氢原子中基态电子的结合能与氦离子（）中基态电子的结合能的比值最接近于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据玻尔的类氢离子能级理论，类氢离子的能级公式为， 其中是核电荷数，是主量子数。 结合能是将基态电子移出原子所需的最小能量，等于基态（）能量的绝对值，因此结合能满足 氢原子核电荷数，氦离子核电荷数，因此比值为 故选D。 2. 一电路如图所示，其中三个电池的电动势之比，三个电阻的阻值之比。导线电阻均忽略不计。流过R1、R2、R3的电流大小之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，，则，，，。 设下顶点C点的电势为，则O点的电势，，。则各电阻电流大小分别为： 因此电流比。 故选B。 3. 如图，一定量的理想气体经历的三个过程分别如图像中bca、bda、bea所示。已知bca是绝热过程。下列说法正确的是（ ） A. bda是系统从外界吸热的过程； B. bda是系统对外界做负功的过程； C. bea是系统从外界吸热的过程； D. bea是系统对外界做负功的过程。 【答案】ABD 【解析】 【详解】AB．因bca是绝热过程，则外界对系统做功等于内能增加量；bda过程气体内能增量与bca过程相等，bda过程气体体积减小，外界对系统做正功，即系统对外界做负功，因图像与坐标轴围成的面积等于功，则外界对系统做功小于bca过程中外界对系统做功，根据热力学第一定律可知系统从外界吸热，AB正确； CD．同理，bea过程气体体积减小，外界对系统做正功，即系统对外界做负功，但外界对系统做功大于bca过程中外界对系统做功，而bea过程气体内能增量与bca过程相等，根据热力学第一定律可知系统向外界放热，C错误，D正确。 故选ABD。 4. 如图，边长为a的正方形的四个顶点上固定着两个质子和两个正电子。某时刻由静止释放这四个粒子，仅考虑它们在彼此间电场力的作用下运动，不考虑电磁辐射。已知电子电量为，真空介电常量为。经过足够长的时间后，单个质子、单个正电子的动能最接近的结果分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】同种电荷相互排斥，足够长时间后，所有粒子运动到无穷远，初始电势能全部转化为总动能；系统初始动量为0，满足动量守恒，且质子质量远大于正电子质量​，因此质子动能远小于正电子动能，大部分电势能转化为正电子的动能。正方形边长为，对所有6对电荷的电势能求和，点电荷电势能公式为 距离为的共4对，距离为的共2对，总电势能 两个质子之间的相互电势能为​，由于质子质量远大于正电子，质子与正电子相互作用中质子获得的动能可忽略，仅转化为两个质子的动能，单个质子动能为 剩余电势能几乎全部转化为两个正电子的动能：剩余电势能 单个正电子动能为 故选A。 【点睛】 5. 对于一个导体空腔内部电场的场强和电势，下列说法正确的是（ ） A. 电势的值和场强都不受腔外电荷的影响 B. 电势的值和场强都会受到腔外电荷的影响 C. 场强不受腔外电荷的影响，但电势的值会受到腔外电荷的影响 D. 电势的值不受腔外电荷的影响，但场强会受到腔外电荷的影响 【答案】C 【解析】 【详解】当导体空腔达到静电平衡后，腔外电荷和导体空腔外表面的感应电荷，在空腔内部叠加产生的合场强为零，因此空腔内部的场强不受腔外电荷的影响；电势是标量，整个导体空腔是等势体，腔外电荷会改变导体空腔整体的电势大小，因此空腔内部的电势会受到腔外电荷的影响。 故选C。 二、填空题（本题100 分，每小题20分，每空10分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需给出结果，不需写出求得结果的过程。） 6. 国际标准音A-la的频率为。当发音频率为这个频率的音叉振动时，产生的声波的波长为_______cm；一个观测者站在两个这样的音叉之间以的速度沿着这两音叉的连线跑向其中某个音叉，同时这两个音叉均振动发声，则该观测者听到的拍频是_____Hz 。已知声速为。 【答案】 ①. ## ②. 8 【解析】 【详解】[1]音速为，声波的波长； [2]对于拍频，是指听到两个频率的差值 依据多普勒效应，靠近波源时接收到的频率：（其中为声速，为观察者速度），故该观测者听到的频率是 远离的那个波源所接收到的频率：（其中为声速，为观察者速度），故该观测者听到的频率是 则该观测者听到的拍频是二者差值为 7. 如图，一质量为2M的小球，以20.0 m/s的速率从水平地面上坐标原点O发射，初速度方向斜向上，与x轴（水平）正方向的夹角为。当小球到达最高点时，瞬间炸裂为质量均为M的两小块A、B；在小球爆炸后的瞬间，A的速度与x轴正方向的夹角为，此后，它恰好落到坐标原点O，整个运动过程均在xy平面内。由此可知，A在爆炸后的瞬间的速率为_______m/s，B落到地面时的x坐标为_______m。保留三位有效数字，不计空气阻力，重力加速度大小为9.80 m/s2。 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】[1]对小球炸裂前的斜上抛运动，将其速度分别沿水平方向和竖直方向分解 故斜上抛运动上升的时间 故水平位移 竖直方向有 爆炸后的瞬间，对A斜上抛运动设其下落时间为t， 水平方向有 取竖直向上为正方向有 联立解得， [2] 在最高点爆炸前后水平方向由系统动量守恒 竖直方向由动量守恒 解得，方向水平向右 ，方向竖直向下 爆炸后对B的斜下抛运动，竖直方向 因此其水平射程 联立解得, B落到地面时的x坐标为 8. 如图，初始时在水平地面上静止的密闭车厢内的空气中悬浮一个充满氦气的气球A，它通过柔软长轻绳固定在车厢底板上，绳长远大于气球半径。若车厢沿水平方向从静止开始以大小为（g为重力加速度大小）的加速度做匀加速直线运动，则气球的位置相对于车厢稳定后，拉气球的轻绳将沿车厢运动方向___________（填“前倾”、“后仰”或“保持竖直向上”），且轻绳相对于竖直向上方向的夹角大小为__________。 【答案】 ①. 前倾 ②. 或 【解析】 【详解】[1]车厢向右加速时，同体积的空气惯性比氦气球大，空气会因惯性向后（与运动方向相反）挤压气球，推动氦气球向车厢运动方向偏移，因此轻绳沿车厢运动方向前倾。 [2] 设气球体积为，氦气密度为，空气密度为，轻绳与竖直方向夹角为，车厢加速度 竖直方向平衡  水平方向（加速度等于车厢加速度）：空气对气球的水平作用力与拉力水平分量的合力提供加速度：  联立可得，因此夹角为 9. 如图，在凸透镜右侧距离（L大于凸透镜的焦距）处放置一块垂直于光轴的平面镜。某同学在凸透镜左侧光轴上放置一点光源S，当将S沿着光轴左右移动有限距离时，发现存在两个特殊的位置，可使得每个位置上的点光源S与它的像点重合。测得这两个特殊位置之间的间距为。该凸透镜的焦距为______ cm，两个特殊位置中离透镜较远的那一点与透镜光心相距______ cm。 【答案】 ①. 3 ②. 12 【解析】 【详解】[1]点光源与它的像点重合，说明光线经过光学系统后原路返回。这要求光线必须垂直入射到平面镜上，或者光线汇聚于平面镜上的某点后反射沿原路返回。存在两种情况： 第一种情况：点光源位于凸透镜的焦点处。光线经凸透镜折射后平行于光轴射出，垂直入射到平面镜上，反射后沿原路返回，再次经凸透镜折射汇聚于焦点。此时物距。 第二种情况：点光源发出的光线经凸透镜折射后，恰好汇聚于平面镜所在的位置。此时像距。光线汇聚于平面镜上的光轴点，反射后相当于从该点发出的光线，根据光路可逆原理，光线将沿原路返回汇聚于。根据透镜成像公式 此时有 解得 由题意知，比较和的大小： 所以，即对应离透镜较远的位置。已知两个特殊位置之间的间距为，即 代入 得 整理得 解得（负值舍去）。 [2]离透镜较远的那一点与透镜光心的距离为 10. 气体分子的平均热运动动能约为，其中是气体的绝对温度，为玻尔兹曼常量。一般而言，如果气体中粒子的物质波波长接近于粒子平均间距，则粒子的量子效应就会变得显著。考虑粒子数密度的气体。若该气体为金属中的自由电子气，则其温度在 ________K以下时量子效应显著；若假想该气体由氢原子组成，则其温度在_________K以下时量子效应显著。已知电子质量约为，质子质量约为，普朗克常量约为。（结果保留一位有效数字） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】 【详解】[1]量子效应显著时，德布罗意波长约为粒子平均间距。粒子数密度为，平均间距。 德布罗意波长，为粒子动量； 题目给出平均动能，整理得 联立得 整理得温度表达式 已知，计算得 金属自由电子气 代入得 [2]氢原子气体 与成反比，因此 【点睛】 三、计算题（本题 240分，共6小题，每小题40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤， 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的， 答案中必须明确写出数值，有单位的必须写出单位。） 11. 如图1和图2所示，在光滑的水平面上建立直角坐标系。A、B、C三个小球（视为质点）质量均为m。初始时小球均静止，C、B连线沿x方向，间距为L；A、B用长为L、不可伸长、完全没有弹性的柔软轻绳连接，B、A连线方向与C、B连线方向垂直，A与B、C连线的距离为。现使A以大小为的速率沿x轴正方向运动。试在下述两种情形下，求在A、B间软绳刚刚被拉紧后的瞬间A、B、C三球各自的速度： （1）B、C间由原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧连接（见图1）； （2）B、C间由长度为L的柔软轻绳（材质跟A、B间的软绳相同）连接（见图2）。 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【小问1详解】 解法1：动量守恒与相对运动。 假设绳子绷直后瞬间B的速度为，由于初始时B的速度为0，则B的速度沿着绳子的方向。绳子绷直后瞬间A的速度为，把A、B小球的速度分别分解到x方向和y方向，则有， 根据动量守恒有， 根据几何关系有， 由于绳子不可伸长，则A相对于B的速度必然垂直于A、B的连线，如图1所示 把相对速度分解为x、y方向，则， 因此A相对于B的速度为， 综合上述解得 方向与y的负半轴的夹角的余弦值为；，方向沿着绳子A、B连线上。 解法2：动量守恒与绳端关联速度分解。 如图2所示，把A的速度分解为垂直绳子与沿着绳子，根据动量守恒定律， 在x方向有 在y方向有 解得， 【小问2详解】 解法1：瞬时功率关系与绳端关联特点。 假设绳子绷直前小球沿着绳子与垂直于绳子的速度为、，根据速度的分解有， 根据绳子绷直的特点，沿着绳子的速度会突变，但是垂直于绳子的速度不会变化，再结合小球C的受力特点，小球C的速度沿着绳子的方向。假设B小球的速度沿着x、y方向的速度分别为、；A小球的速度沿着x、y方向的速度分别为、。由于C小球只有沿着绳子绷直方向的速度，则 假设B、C之间绳子的拉力为，则 仍然得到小球B在x方向的速度分量等于C球的速度。根据动量守恒定律，在x方向上有 在y方向上动量守恒有 对于A、B两小球，根据AB绳子的瞬时功率相等，则 其中为绳子绷直后A小球沿着绳子的速度分量。根据A的速度分解有 同理也有 综合上述的分析可以总结得， 因为 联立解得，， 解法2：动量定理与绳端速度关联特点。 如图3所示，绳子绷直后瞬间对各小球的冲量分别如图5所示标出，根据动量定理有，， 结合解法1的， 再有 解得 由于 可以解得， 12. 已知重力加速度大小为。假设空气阻力可忽略。 m1（g） m2（g） m3（g） m4（g） 76.7 32.5 11.3 5.80 11.2 （1）将一个质量为的小球B放在一个质量为的大球A的上表面上，初始时A的下底离地面高度为，如图a所示；现让它们同时从静止开始自由下落，当A的下端落到水平硬地（硬地质量）上之后，可发现B反弹上升的最大高度h比h0大许多倍。不考虑运动相对于竖直方向的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与A、A与B之间的碰撞依次发生，且两两间碰撞的恢复系数都相等，求此恢复系数e。 （2）如图b，一个儿童玩具由一组大小和质量各不相同的小球A、B、C和D组成，其中A上面固定有一根圆柱形光滑细轻杆，其余3个小球都有过其中心的一个圆柱形孔道，孔道的直径略大于细杆的直径。将B、C和D依次穿在细杆上，将4个小球构成的体系移至一定高度后，使之由静止开始下落，已知下落过程中杆始终处于竖直状态。A、B、C和D的质量分别为m1、m2、m3和m4，设地面与A、A与B、B与C、C与D之间的碰撞依次发生，相碰的两两物体间的恢复系数均相等，h0为系统初始下落高度，h为D弹起后上升的最大高度，忽略各球的线度。求恢复系数e的表达式；并根据表给出的数据，求恢复系数e的数值。 （3）若恢复系数e取第（2）问求得的数值，m1、m4取表中的数值。当m2与m3取何值时，可使达到最大值？该最大值是多少？ 【答案】（1） （2）， （3），， 【解析】 【小问1详解】 先考虑一般情况。设质量为、速度为的小球1和质量为、速度的小球2发生对心碰撞，碰撞后小球1和2的速度分别为和，由动量守恒有① 碰撞的恢复系数为② 联立，解得③ 考虑由大球（质量为）与小球（质量为）组成的系统，系统落地速度为④ 在以速度向下运动的参考系中，碰撞前两球m1、m2都处于静止状态，而地球（m0）以速度向上与最下面的大球（）碰撞，利用公式③，碰撞后小球（）的速度为⑤ 然后大球（）与小球（）之间发生碰撞，再利用公式③，碰撞后小球（）的速度为⑥ 考虑到m0>>m1，有⑦ 且地球与大球碰后地球速度近似不变，于是小球（）相对于地面的速度为⑧ 小球（）上升的高度（相对于地面）为⑨ 由⑨式得 【小问2详解】 系统落地时的速度 在以速度竖直向下运动的惯性系中，碰撞前，4个小球都处于静止状态，而地球（）以速度竖直向上运动，与最下面的小球碰撞，然后依次引起小球之间的3次碰撞。开始两次碰撞后小球（）的速度仍为⑥式所示。依次类推，最上面小球（m4）的碰撞后速度为⑪ 考虑有⑫ 且地球与大球碰后地球速度近似不变，故最上面小球（m4）相对于地面的速度⑬ 最上面小球（m4）竖直升的高度⑭ 由此可得⑮ 由⑮式和题给数据得，恢复系数的数值为 【小问3详解】 只需求 达到最大值的条件。进而⑰ 式中等号仅在时成立。即在m4与m1保持不变的条件下，当，，⑱ 可以使达到最大值。这里应用了下述不等式：对于任意正数，有 式中等号当且仅当时成立。简单证明如下：不妨设分别是中最大数、最小数。可令 、 、 式中 、，且 于是 式中等号当且仅当 或（等价的）时成立。由⑰式知，的极大值为 这时⑲ 由⑲式和题给数据得 13. 一厚度可忽略的球形肥皂泡，其外表面上均匀带电，当半径为1.0 mm时，其电势为100 V（取无穷远处的电势为零）；此时，肥皂泡并未处于力学平衡状态。当其半径增大至1.0 cm时，肥皂泡达到力学平衡状态，且此时肥皂泡内外气压恰好相等。静电力常量，不考虑重力作用。求（结果保留两位有效数字）： （1）肥皂泡所带电荷的种类及电荷量； （2）肥皂泡膨胀前后的静电能的变化（已知半径为r、带电量为Q的均匀带电球面的静电能为）； （3）肥皂泡表面张力系数的大小。 【答案】（1）带正电， （2） （3） 【解析】 【详解】（1）半径为r、总电量为Q的均匀带电球壳的表面电势由下式给出 其中为真空介电常量。记肥皂泡初始半径为，得` 代入题给数据得 ，可知肥皂泡带正电。 （2）记肥皂泡变大后的半径为，由题给公式得，肥皂泡变大前后静电势能变化为 代入数据得 （3）由于球面上电荷元会受到其他部分电荷的静电力，故会产生向外的压强，记为。假设球面从半径变为半径，其中，此过程中压强所做的功为 由题给公式可知以上过程中肥皂泡静电势能变化为 而保守力做功等于势能的减少量，即 肥皂泡的表面张力产生的压强与表面张力系数的关系为 忽略肥皂泡内外气压差，则平衡时表面张力产生的压强与静电力产生的压强相等，故 联立上式得 代入题给数据得 14. 一厚度为的均质金属圆盘在半径为的两圆环面之间的部分，被镂空成均匀分布的薄金属片，薄金属片长为（沿径向），宽为（垂直于盘面），厚为（沿圆环切向），在离盘心处相邻的两薄金属片间距为，其俯视示意图如图a所示。金属电阻率为，且（金属圆盘在半径为的两圆环面之外的两部分完全看作理想导体）。在圆盘中心垂直圆盘方向上设置转轴，盘面上离转轴处，面积为的小方块（其相对的两弧或对边中点连线长均为，且相对的两弧中点的连线通过盘心）内施加垂直于盘面的匀强磁场B，如图b所示，小方块外面的磁场可忽略。假设恰好为整数。当圆盘以角速度转动时，求 （1）小方块上产生的电动势； （2）小方块内金属片的总电阻的严格表达式（用表出）； （3）小方块外金属片的总电阻的严格表达式（用 表出）； （4）通过小方块的电流的表达式（用 表出）； （5）相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩（用 表出）。 【答案】（1） （2） （3） （4） （5） 【解析】 【小问1详解】 小方块内金属片的运动速度大小为 方向沿圆周的切线方向，它们切割磁感线产生的电动势近似为 该电动势沿径向，联立公式得 【小问2详解】 设小方块内金属片的总电阻为。每片金属片的电阻为 小方块内金属片的数目为 联立公式得 【小问3详解】 设小方块外金属片的总电阻为。由于密集的金属片在圆环上均匀分布，是正整数。小方块外金属片的数目为 联立得，小方块外金属片的总电阻为 【小问4详解】 设通过小方块的电流为，则由闭合电路欧姆定律， 【小问5详解】 小方块内所有金属片受到的总安培力为 方向与圆盘上的金属片垂直。该安培力对圆盘的阻力矩近似为 联立公式可得，相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩为 15. 真空中有一个锌质小球，半径 ，远离其它物体。使锌球初始时带一定量的负电荷，其电势 （取无穷远处的电势为零）。某时刻开始，用波长 的紫外线照射锌球；假设光强足够弱，以至于单位时间逸出的光电子很少。已知：锌的截止波长 ，真空中的光速，普朗克常量，真空介电常量 ，电子电量 ，电子质量。 （1）求光电子从锌球逸出时的最大运动速度？ （2）开始时以最大速率从锌球逸出的电子，运动到离锌球无穷远处时的速度大小为多少？ （3）计算用紫外线连续照射锌球足够长的时间之后，锌球的电势是多少？ （4）从开始照射到足够长的时间后，整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目大约是多少？ 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 锌的逸出功 其中中是相应的截止频率 电子的最大初动能 由于 其中是光电子从锌球逸出时的最大运动速度 可得 【小问2详解】 电子从锌球附近运动到无穷远，由能量守恒有 其中以最大速率从锌球逸出的电子运动到离锌球无穷远处时的速度。 【小问3详解】 照射时间足够长，逸出的电子足够多，以至于锌球带正电，其电势满足 【小问4详解】 带有电荷量为的锌球的电势 设整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目为 可解得 得 16. 如图a，将焦距为f=10.00cm、半径为r3=2.001cm的薄透镜从正中间切割出一个半径为r2=1.497cm的圆形小透镜；切割出的小透镜通过打磨其边缘将其半径缩小为r1=1.390cm。如图b（剖面示意图）所示，将切割出来的小透镜沿着光轴向右平移一小段距离d=2.000cm；光轴上一个点光源S位于大透镜左侧，与大透镜距离为s=15.00cm，S发出波长为λ=500.0nm的单色光，在透镜右侧出现S的两个像点和；在大透镜右侧距离为B=50.00cm处有一垂直于光轴的屏幕，光轴与屏幕交点为O；点光源S发出的光在屏幕上形成干涉条纹。计算中可利用近似展开式，即当时，有。 （1）求S的两个像点和之间的距离D，以及像点到屏幕的距离L； （2）描述屏幕上能够观测到干涉条纹的区域的形状，并计算该区域的范围； （3）描述上述区域范围内干涉条纹的形状，导出第k级亮纹在屏幕上的位置公式；总共能看到多少条亮纹？提示：由于透镜尺寸很小，使得屏幕上干涉区域内的点到O点距离远小于两个像点和到O点的距离。 【答案】（1）3.714cm，20.00cm （2） （3）（），62 【解析】 【小问1详解】 根据薄透镜成像公式，有， 解得， 所以， 【小问2详解】 如图所示 在以O点为圆心的环带区域（图中用粗实线段标出）内有干涉条纹，且，， 由于 所以干涉条纹应分布在屏幕上B、C点之间的环带区域（以O点为中心），该环形区域中的点P与O点之间的距离hP满足 【小问3详解】 如图所示 两条光路的光程差为 亮纹半径应满足 从而有（k=0，1，2，3……） 干涉条纹是以光轴和屏幕交点O为圆心的一系列同心圆环（仅存在于（2）中给出的区域中），第k级明环的半径为（） 其中， 能观测到的亮纹条数为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第40届全国中学生物理竞赛预赛试题 （2023年9月2日9∶00-12∶00） 考生必读 1、考生考试前务必认真阅读本须知。 2、本试题共5页，总分为400分。 3、需要阅卷老师评阅的内容一定要写在答题纸相应题号后面的空白处；阅卷老师只评阅答题纸上的内容；选择题和填空题也必须在答题纸上作答；写在试题纸和草稿纸上的解答一律无效。 一、选择题（本题60分，含5小题，每小题12 分。在每小题给出的4个选项中，有的小题只有一项符合题意，有的小题有多项符合题意。将符合题意的选项前面的英文字母写在答题纸对应小题后面的括号内。全部选对的得 12分，选对但不全的得6分，有选错或不答的得0分。） 1. 氢原子中基态电子的结合能与氦离子（）中基态电子的结合能的比值最接近于（ ） A. 1 B. C. D. 2. 一电路如图所示，其中三个电池的电动势之比，三个电阻的阻值之比。导线电阻均忽略不计。流过R1、R2、R3的电流大小之比为（　　） A. B. C. D. 3. 如图，一定量的理想气体经历的三个过程分别如图像中bca、bda、bea所示。已知bca是绝热过程。下列说法正确的是（ ） A. bda是系统从外界吸热的过程； B. bda是系统对外界做负功的过程； C. bea是系统从外界吸热的过程； D. bea是系统对外界做负功的过程。 4. 如图，边长为a的正方形的四个顶点上固定着两个质子和两个正电子。某时刻由静止释放这四个粒子，仅考虑它们在彼此间电场力的作用下运动，不考虑电磁辐射。已知电子电量为，真空介电常量为。经过足够长的时间后，单个质子、单个正电子的动能最接近的结果分别是（ ） A. 、 B. 、 C. 、 D. 、 5. 对于一个导体空腔内部电场的场强和电势，下列说法正确的是（ ） A. 电势的值和场强都不受腔外电荷的影响 B. 电势的值和场强都会受到腔外电荷的影响 C. 场强不受腔外电荷的影响，但电势的值会受到腔外电荷的影响 D. 电势的值不受腔外电荷的影响，但场强会受到腔外电荷的影响 二、填空题（本题100 分，每小题20分，每空10分。请把答案填在答题纸对应题号后面的横线上。只需给出结果，不需写出求得结果的过程。） 6. 国际标准音A-la的频率为。当发音频率为这个频率的音叉振动时，产生的声波的波长为_______cm；一个观测者站在两个这样的音叉之间以的速度沿着这两音叉的连线跑向其中某个音叉，同时这两个音叉均振动发声，则该观测者听到的拍频是_____Hz 。已知声速为。 7. 如图，一质量为2M的小球，以20.0 m/s的速率从水平地面上坐标原点O发射，初速度方向斜向上，与x轴（水平）正方向的夹角为。当小球到达最高点时，瞬间炸裂为质量均为M的两小块A、B；在小球爆炸后的瞬间，A的速度与x轴正方向的夹角为，此后，它恰好落到坐标原点O，整个运动过程均在xy平面内。由此可知，A在爆炸后的瞬间的速率为_______m/s，B落到地面时的x坐标为_______m。保留三位有效数字，不计空气阻力，重力加速度大小为9.80 m/s2。 8. 如图，初始时在水平地面上静止的密闭车厢内的空气中悬浮一个充满氦气的气球A，它通过柔软长轻绳固定在车厢底板上，绳长远大于气球半径。若车厢沿水平方向从静止开始以大小为（g为重力加速度大小）的加速度做匀加速直线运动，则气球的位置相对于车厢稳定后，拉气球的轻绳将沿车厢运动方向___________（填“前倾”、“后仰”或“保持竖直向上”），且轻绳相对于竖直向上方向的夹角大小为__________。 9. 如图，在凸透镜右侧距离（L大于凸透镜的焦距）处放置一块垂直于光轴的平面镜。某同学在凸透镜左侧光轴上放置一点光源S，当将S沿着光轴左右移动有限距离时，发现存在两个特殊的位置，可使得每个位置上的点光源S与它的像点重合。测得这两个特殊位置之间的间距为。该凸透镜的焦距为______ cm，两个特殊位置中离透镜较远的那一点与透镜光心相距______ cm。 10. 气体分子的平均热运动动能约为，其中是气体的绝对温度，为玻尔兹曼常量。一般而言，如果气体中粒子的物质波波长接近于粒子平均间距，则粒子的量子效应就会变得显著。考虑粒子数密度的气体。若该气体为金属中的自由电子气，则其温度在 ________K以下时量子效应显著；若假想该气体由氢原子组成，则其温度在_________K以下时量子效应显著。已知电子质量约为，质子质量约为，普朗克常量约为。（结果保留一位有效数字） 三、计算题（本题 240分，共6小题，每小题40 分。计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤， 只写出最后结果的不能得分。有数值计算的， 答案中必须明确写出数值，有单位的必须写出单位。） 11. 如图1和图2所示，在光滑的水平面上建立直角坐标系。A、B、C三个小球（视为质点）质量均为m。初始时小球均静止，C、B连线沿x方向，间距为L；A、B用长为L、不可伸长、完全没有弹性的柔软轻绳连接，B、A连线方向与C、B连线方向垂直，A与B、C连线的距离为。现使A以大小为的速率沿x轴正方向运动。试在下述两种情形下，求在A、B间软绳刚刚被拉紧后的瞬间A、B、C三球各自的速度： （1）B、C间由原长为L、劲度系数为k的轻质弹簧连接（见图1）； （2）B、C间由长度为L的柔软轻绳（材质跟A、B间的软绳相同）连接（见图2）。 12. 已知重力加速度大小为。假设空气阻力可忽略。 m1（g） m2（g） m3（g） m4（g） 76.7 32.5 11.3 5.80 11.2 （1）将一个质量为的小球B放在一个质量为的大球A的上表面上，初始时A的下底离地面高度为，如图a所示；现让它们同时从静止开始自由下落，当A的下端落到水平硬地（硬地质量）上之后，可发现B反弹上升的最大高度h比h0大许多倍。不考虑运动相对于竖直方向的偏离，忽略大、小球的线度。假设地面与A、A与B之间的碰撞依次发生，且两两间碰撞的恢复系数都相等，求此恢复系数e。 （2）如图b，一个儿童玩具由一组大小和质量各不相同的小球A、B、C和D组成，其中A上面固定有一根圆柱形光滑细轻杆，其余3个小球都有过其中心的一个圆柱形孔道，孔道的直径略大于细杆的直径。将B、C和D依次穿在细杆上，将4个小球构成的体系移至一定高度后，使之由静止开始下落，已知下落过程中杆始终处于竖直状态。A、B、C和D的质量分别为m1、m2、m3和m4，设地面与A、A与B、B与C、C与D之间的碰撞依次发生，相碰的两两物体间的恢复系数均相等，h0为系统初始下落高度，h为D弹起后上升的最大高度，忽略各球的线度。求恢复系数e的表达式；并根据表给出的数据，求恢复系数e的数值。 （3）若恢复系数e取第（2）问求得的数值，m1、m4取表中的数值。当m2与m3取何值时，可使达到最大值？该最大值是多少？ 13. 一厚度可忽略的球形肥皂泡，其外表面上均匀带电，当半径为1.0 mm时，其电势为100 V（取无穷远处的电势为零）；此时，肥皂泡并未处于力学平衡状态。当其半径增大至1.0 cm时，肥皂泡达到力学平衡状态，且此时肥皂泡内外气压恰好相等。静电力常量，不考虑重力作用。求（结果保留两位有效数字）： （1）肥皂泡所带电荷的种类及电荷量； （2）肥皂泡膨胀前后的静电能的变化（已知半径为r、带电量为Q的均匀带电球面的静电能为）； （3）肥皂泡表面张力系数的大小。 14. 一厚度为的均质金属圆盘在半径为的两圆环面之间的部分，被镂空成均匀分布的薄金属片，薄金属片长为（沿径向），宽为（垂直于盘面），厚为（沿圆环切向），在离盘心处相邻的两薄金属片间距为，其俯视示意图如图a所示。金属电阻率为，且（金属圆盘在半径为的两圆环面之外的两部分完全看作理想导体）。在圆盘中心垂直圆盘方向上设置转轴，盘面上离转轴处，面积为的小方块（其相对的两弧或对边中点连线长均为，且相对的两弧中点的连线通过盘心）内施加垂直于盘面的匀强磁场B，如图b所示，小方块外面的磁场可忽略。假设恰好为整数。当圆盘以角速度转动时，求 （1）小方块上产生的电动势； （2）小方块内金属片的总电阻的严格表达式（用表出）； （3）小方块外金属片的总电阻的严格表达式（用 表出）； （4）通过小方块的电流的表达式（用 表出）； （5）相对于圆盘转轴，阻碍圆盘转动的电磁力矩（用 表出）。 15. 真空中有一个锌质小球，半径 ，远离其它物体。使锌球初始时带一定量的负电荷，其电势 （取无穷远处的电势为零）。某时刻开始，用波长 的紫外线照射锌球；假设光强足够弱，以至于单位时间逸出的光电子很少。已知：锌的截止波长 ，真空中的光速，普朗克常量，真空介电常量 ，电子电量 ，电子质量。 （1）求光电子从锌球逸出时的最大运动速度？ （2）开始时以最大速率从锌球逸出的电子，运动到离锌球无穷远处时的速度大小为多少？ （3）计算用紫外线连续照射锌球足够长的时间之后，锌球的电势是多少？ （4）从开始照射到足够长的时间后，整个照射过程中从锌球跑出的光电子的数目大约是多少？ 16. 如图a，将焦距为f=10.00cm、半径为r3=2.001cm的薄透镜从正中间切割出一个半径为r2=1.497cm的圆形小透镜；切割出的小透镜通过打磨其边缘将其半径缩小为r1=1.390cm。如图b（剖面示意图）所示，将切割出来的小透镜沿着光轴向右平移一小段距离d=2.000cm；光轴上一个点光源S位于大透镜左侧，与大透镜距离为s=15.00cm，S发出波长为λ=500.0nm的单色光，在透镜右侧出现S的两个像点和；在大透镜右侧距离为B=50.00cm处有一垂直于光轴的屏幕，光轴与屏幕交点为O；点光源S发出的光在屏幕上形成干涉条纹。计算中可利用近似展开式，即当时，有。 （1）求S的两个像点和之间的距离D，以及像点到屏幕的距离L； （2）描述屏幕上能够观测到干涉条纹的区域的形状，并计算该区域的范围； （3）描述上述区域范围内干涉条纹的形状，导出第k级亮纹在屏幕上的位置公式；总共能看到多少条亮纹？提示：由于透镜尺寸很小，使得屏幕上干涉区域内的点到O点距离远小于两个像点和到O点的距离。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $