2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）

**基本信息** 2026年上海中考数学押题卷以0.54难度梯度覆盖函数、几何等核心知识，通过新能源汽车充电测试、社区食堂调研等现实情境，融合动态几何与统计应用，体现抽象能力、推理意识与数据观念的核心素养导向。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|二次根式、函数交点、统计图选择等|注重概念辨析与基础应用| |填空题|12/48|因式分解、概率计算、二次函数性质等|突出知识综合与细节考查| |解答题|7/78|新能源充电函数建模、菱形动态几何探究等|结合科技前沿情境，强调问题解决与创新思维|

绝密★启用前 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题） 难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：150 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3 C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1 3．（4分）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　） A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0 4．（4分）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　） A．上海市16个区的人口数 B．张爷爷连续7天定时测得的体温 C．九（3）班36个学生的体重 D．向阳菜市场15种蔬菜的价格 5．（4分）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C． D． 6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）因式分解：x2y2﹣4x2＝　 　 ． 8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解． 9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ． 11．（4分）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　 　 ． 12．（4分）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　 　 ． 13．（4分）已知向量与方向相反，且，那么　 　 （用向量表示）． 14．（4分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　 　 ． 15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 16．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1； ③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1； ④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3． 其中正确的说法是　 　 ． 17．（4分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 18．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值． 21．（10分）综合与实践 【回归教材】 （1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　 　 ；作这条射线的依据是　 　 （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）； （2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　 　 ； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案． 22．（10分） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围． 任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由． 23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F． （1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小； （2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求FB+FC的最大值． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校:___________姓名：________班级： ________ 考号： ________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题） 难度系数：0.54；考试时间：100分钟；满分：150 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．（4分）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3 C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1 3．（4分）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　） A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0 4．（4分）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　） A．上海市16个区的人口数 B．张爷爷连续7天定时测得的体温 C．九（3）班36个学生的体重 D．向阳菜市场15种蔬菜的价格 5．（4分）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C． D． 6．（4分）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 第Ⅱ卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）因式分解：x2y2﹣4x2＝　 　 ． 8．（4分）关于x的方程，当k　 　 时，方程无实数解． 9．（4分）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 10．（4分）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　 　 ． 11．（4分）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　 　 ． 12．（4分）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　 　 ． 13．（4分）已知向量与方向相反，且，那么　 　 （用向量表示）． 14．（4分）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　 　 ． 15．（4分）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　 　 份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 16．（4分）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1； ③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1； ④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3． 其中正确的说法是　 　 ． 17．（4分）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　 　 ． 18．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　 ． 评卷人 得 分 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）计算：． 20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值． 21．（10分）综合与实践 【回归教材】 （1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　 　 ；作这条射线的依据是　 　 （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）； （2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　 　 ； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案． 22．（10分） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围． 任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由． 23．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长． 24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25．（14分）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F． （1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小； （2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求FB+FC的最大值． ( 第 2 页 共 8 页 ) ( 第 1 页 共 8 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题） ⭐ 试卷总分值 150 ⭐ 试卷难度系数 0.54 中档 ⭐ 试卷总体分析 题类 题量（道） 客观题 6 主观题 19 题型 题量 选择题 6 填空题 12 解答题 7 ⭐ 试题难度分析 试题难易度程度 题量 题号 题量占比 较易 13 1,3,4,5,6,9,10,11,13,14,15,17,23 52% 中档 7 2,8,16,19,20,21,22 28% 易 2 7,12 8% 较难 3 18,24,25 12% ⭐ 知识点分析 共计：24个知识点 知识点 题量 题号 题量占比 最简二次根式 1 1 4% 反比例函数与一次函数的交点问题 1 2 4% 高次方程 1 3 4% 折线统计图 1 4 4% 垂径定理 1 5 4% 全等三角形的性质 1 6 4% 提公因式法与公式法的综合运用 1 7 4% 无理方程 1 8 4% 根的判别式 1 9 4% 列代数式 1 10 4% 一次函数图象上点的坐标特征 1 11 4% 等腰三角形的性质 1 12 4% *平面向量 1 13 4% 列表法与树状图法 1 14 4% 统计表 1 15 4% 抛物线与x轴的交点 1 16 4% 正多边形和圆 1 17 4% 正方形的性质 1 18 4% 实数的运算 1 19 4% 解二元一次方程组 1 20 4% 四边形综合题 2 21,25 8% 一次函数的应用 1 22 4% 切线的判定与性质 1 23 4% 二次函数综合题 1 24 4% 客观题 主观题 6 19 选择题 填空题 解答题 6 12 7 难易度题量 系列 1 12 13 11 14 13 7 2 3 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上海市中考数学试卷（新考纲押题）答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6 填涂样例正确■]错误【-[V][×] 一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[AB][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A]B][C][D] 2.[A]B][CD] 4.[A]B][C[D] 6.[A][B][C]D] 二.填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共6页 7. 8. 9 10. 12. 13. 14. 15. 1 1 三.解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 第2页共6页 20.答： 21.答： A A A D E B B 图1 图2 图3 第3页共6页 22.答： y(电量) C D 100% 80% 60% 40% 20% TB: 0 1 2345678x(小时) 23.答： 0 F B E 第4页共6页 24.答： y A B A B 备用图 第5页共6页 25.答： D y A E E B(A') F B 图1 图2 第6页共6页 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题）答题卡 条 码 粘 贴 处 （正面朝上贴在此虚线框内） 试卷类型：A 姓名：______________班级：______________ 准考证号 缺考标记 考生禁止填涂缺考标记！只能由监考老师负责用黑色字迹的签字笔填涂。 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 6、填涂样例 正确 [■] 错误 [--][√] [×] 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔填涂） 1.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作答） 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 三．解答题（共7小题，满分78分）（请在各试题的答题区内作答） 19.答： 20.答： 21.答： 22.答： 23.答： 24.答： 25.答： 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上海市中考数学试卷 （新考纲押题） 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B B C A 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）·（2025春•光山县期末）在下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【解答】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、是最简二次根式，故此选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2．（4分）·（2025秋•临淄区期末）如图，反比例函数的图象与一次函数y2＝kx+b的图象交于A，B两点，若y1＞y2，则x的取值范围是（　　） A．1＜x＜3 B．x＜0或1＜x＜3 C．0＜x＜1 D．x＞3或0＜x＜1 【答案】D 【分析】根据交点判断即可． 【解答】解：由图可知x的取值范围是x＞3或0＜x＜1， 故选：D． 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．熟练掌握该知识点是关键． 3．（4分）·（2025春•奉贤区月考）下列二项方程中，有两个实数根的是（　　） A．x5+1＝0 B．x4﹣1＝0 C．x3﹣1＝0 D．x2+1＝0 【答案】B 【分析】分别求出各方程的实数解，逐项判断即可． 【解答】解：x5+1＝0的实数根为x＝﹣1，故A不符合题意； x4﹣1＝0的实数根为x＝±1，故B符合题意； x3﹣1＝0的实数根为x＝1，故C不符合题意； x2+1＝0无实数根，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查高次方程的解，根与系数的关系，解题的关键是掌握有理数乘方的法则． 4．（4分）·（2026•黄浦区二模）下列信息中，适合用折线统计图，而不适合用条形统计图表示是（　　） A．上海市16个区的人口数 B．张爷爷连续7天定时测得的体温 C．九（3）班36个学生的体重 D．向阳菜市场15种蔬菜的价格 【答案】B 【分析】根据条形统计图、扇形统计图与折线统计图各自的特点求解即可． 【解答】解：A．上海市16个区的人口数适合用条形图，不符合题意； B．张爷爷连续7天定时测得的体温适合用折线图，符合题意； C．九（3）班36个学生的体重适合用条形图，不符合题意； D．向阳菜市场15种蔬菜的价格适合用条形图，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了折线统计图，折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．而条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图能反映部分与整体的关系． 5．（4分）·（2026•黄浦区二模）如图，坐标平面内圆A，已知圆A的半径为2，圆心A（5，4），下列直线中，与圆A相交，且被圆A所截得的弦最长的是（　　） A．y＝x B．y＝﹣x C． D． 【答案】C 【分析】利用正比例函数解析式可判断直线yx经过点A，所以直线yx被圆A所截得的弦为直径，最长． 【解答】解：∵A（5，4）， ∴直线yx经过点A， ∴直线yx被圆A所截得的弦最长，截得的弦为直径． 故选：C． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了一次函数图象上点的坐标特征． 6．（4分）·（2025秋•新疆期末）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（　　） A．25° B．30° C．35° D．65° 【答案】A 【分析】由全等三角形的性质可求得∠ACD＝65°，由直角三角形的性质可得∠CAF+∠ACD＝90°，进而可求解∠CAF的度数． 【解答】解：∵△ABC≌△DEC， ∴∠ACB＝∠DCE， ∵∠BCE＝65°， ∴∠ACD＝∠BCE＝65°， ∵AF⊥CD， ∴∠AFC＝90°， ∴∠CAF+∠ACD＝90°， ∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°， 故选：A． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解∠ACD的度数是解题的关键． 二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分） 7．（4分）·（2025秋•沙坪坝区校级同步）因式分解：x2y2﹣4x2＝x2（y﹣2）（y+2）　 ． 【答案】x2（y﹣2）（y+2）． 【分析】先提公因式进行因式分解，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【解答】解：由因式分解的方法可得，原式＝x2（y2﹣4）＝x2（y+2）（y﹣2）， 故答案为：x2（y+2）（y﹣2）． 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 8．（4分）·（2025春•崇明区期中）关于x的方程，当k　＜1　 时，方程无实数解． 【答案】＜1． 【分析】依据题意，由1k，可得k﹣1，又当k﹣1＜0时，与0矛盾，故可判断得解． 【解答】解：由题意，∵1k， ∴k﹣1． ∴当k﹣1＜0时，与0矛盾． ∴当k＜1时，方程1k无实数解． 故答案为：＜1． 【点评】本题主要考查了无理方程，解题时要熟练掌握并能准确计算是关键． 9．（4分）·（2026•淮阴区二模）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ． 【答案】5． 【分析】根据判别式的值＝0，构建方程求解． 【解答】解：由题意Δ＝0， ∴36﹣4（2m﹣1）＝0， 解得m＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系： ①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当Δ＜0时，方程无实数根． 10．（4分）·（2025秋•绵阳期末）长方形窗户上的装饰物如图所示，它是由半径均为b的两个四分之一圆组成，则能射进阳光部分的面积是 　2abπb2 ． 【答案】2abπb2． 【分析】能射进阳光部分的面积＝长方形的面积﹣半径为b的半圆的面积． 【解答】解：由题意可知，能射进阳光部分的面积是2abπb2， 故答案为：2abπb2． 【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．阴影部分的面积一般应变形为一个规则图形的面积． 11．（4分）·（2026•黄浦区二模）已知直线与坐标轴交于A、B两点，那么线段AB的长是　10　 ． 【答案】10． 【分析】设直线yx﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点B，A的坐标，进而可得出OB，OA的长，再利用勾股定理，即可求出线段AB的长． 【解答】解：设直线yx﹣6与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当x＝0时，y0﹣6＝﹣6， ∴点B的坐标为（0，﹣6）， ∴OB＝6； 当y＝0时，x﹣6＝0， 解得：x＝8， ∴点A的坐标为（8，0）， ∴OA＝8， ∴AB10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征及勾股定理，求出线段AB的长是解题的关键． 12．（4分）·（2024秋•宣威市校级期中）若等腰三角形有一个角是100°，则它的底角的度数是　40°　 ． 【答案】40°． 【分析】根据等腰三角形的性质得到顶角的度数是100°，再利用三角形的内角和定理求解即可． 【解答】解：∵等腰三角形的两个底角相等， ∴等腰三角形的底角不可能是100°， ∴等腰三角形的顶角的度数是100°， ∴它的底角度数是（180°﹣100°）＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查等腰三角形的性质，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等． 13．（4分）·（2026•黄浦区二模）已知向量与方向相反，且，那么　　 （用向量表示）． 【答案】． 【分析】根据题目条件求出向量b即可． 【解答】解：∵向量与方向相反，且，那么． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，正确计算． 14．（4分）·（2026•滨江区一模）甲、乙、丙三人玩传球游戏，拿到球的人须将球随机传给另外两人中的一人．若开始传球时球在甲手上，第一次传球时甲将球随机传给乙或丙，由此经历三次传球．问第三次传球完成时，球回到甲手中的概率是　　 ． 【答案】． 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后计算出第三次传球完成时，球回到甲手中的概率即可． 【解答】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有8种等可能性，其中第三次传球完成时，球回到甲手中的可能性有2种， ∴第三次传球完成时，球回到甲手中的概率为， 故答案为：． 【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图． 15．（4分）·（2026•黄浦区二模）社区食堂推出一种老年套餐，为了能更精准地备餐，食堂对社区内800名老人作调研，从中随机抽取了50名，就星期一到星期五的需求量进行了问卷，汇总整理得到下列统计表．根据调研结果，食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐　864　 份． 套餐需求量统计表 星期 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 数量 12 10 10 12 10 【答案】864． 【分析】根据列式解答即可． 【解答】解：食堂在星期一到星期五总共大约需要备这种老年套餐为：800864（份）， 故答案为：864． 【点评】本题考查了统计表，从统计表得出相关信息是解答本题的关键． 16．（4分）·（2025春•盐城月考）对于二次函数y＝x2﹣2mx﹣3，有下列说法： ①它的图象与x轴有两个公共点； ②若当x≤1时，y随x的增大而减小，则m＝1； ③若将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m＝﹣1； ④若当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等，则当x＝6时的函数值为﹣3． 其中正确的说法是　①④　 ． 【答案】①④． 【分析】根据二次函数的图象以及性质对各项进行分析即可． 【解答】解：①∵Δ＝4m2﹣4×（﹣3）＝4m2+12＞0， ∴抛物线与x轴有2个公共点， 故①说法正确； ②∵在y＝x2﹣2mx﹣3中a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， 又∵对称轴为x＝m，且当x≤1时y随x的增大而减小， ∴m≥1， 故②说法错误； ③∵将y＝（x﹣m）2﹣m2﹣3的图象向左移动3个单位后得到的y＝（x﹣m+3）2﹣m2﹣3的图象过原点， ∴y＝（0﹣m+3）2﹣m2﹣3＝0， 解得：m＝1， 故③说法错误； ④当x＝4时的函数值与x＝2时的函数值相等， ∴抛物线对称轴为直线， ∴x＝m＝3， ∴此时二次函数解析式为y＝x2﹣6x﹣3， 当x＝6时，得：y＝﹣3， 故④说法正确． 综上所述，正确的说法是：①④． 【点评】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题关键． 17．（4分）·（2025•奉贤区二模）如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，G为AF的中点，点Q为正六边形ABCDEF边上任意一点，以CQ为半径的⊙C与以AG为半径的⊙A相交时，那么⊙C的半径r的取值范围是　21＜r≤4　 ． 【答案】21＜r≤4． 【分析】延长FA、CB交于点R，连接AC，由正六边形的性质得AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC＝120°，所以∠BAC＝∠BCA＝30°，因为∠RAB＝∠RBA＝60°，所以∠R＝60°，∠RAC＝90°，则△ABR是等边三角形，所以AR＝BR＝AB＝2，求得CR＝4，AC＝2，当⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部，由⊙A的半径为1，⊙C的半径为r，得r+1＝2，求得r＝21；当⊙C经过点F，此时r最大，连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径，所以r＝CF＝2AF＝4，因为⊙C与⊙A相交，所以21＜r≤4，于是得到问题的答案． 【解答】解：延长FA、CB交于点R，连接AC， ∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形， ∴AF＝AB＝BC＝2，∠BAF＝∠ABC（6﹣2）×180°＝120°， ∴∠BAC＝∠BCA（180°﹣120°）＝30°， ∵∠RAB＝∠RBA＝180°﹣120°＝60°， ∴∠R＝60°，∠RAC＝∠RAB+∠BAC＝90°， ∴△ABR是等边三角形， ∴AR＝BR＝AB＝2， ∴CR＝BR+BC＝4， ∴AC2， 如图1，⊙C与⊙A相切，且⊙A在⊙O的外部， ∵G为AF的中点， ∴AGAF＝1， ∴⊙A的半径为1， ∵⊙C的半径为r， ∴r+1＝2， ∴r＝21， 如图2，⊙C经过点F，此时r最大， 连接CF，则CF为正六边形ABCDEF的外接圆的直径， ∴r＝CF＝2AF＝4， ∵⊙C与⊙A相交， ∴21＜r≤4， 故答案为：21＜r≤4． 【点评】此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理、圆与圆的位置关系等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 18．（4分）·（2026春•朝阳区校级期中）如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B，C重合），连接AE，点B关于直线AE的对称点为B'，连接EB'，并延长交DC于点F，连接AF．设CE＝x，CF＝y，给出下列三个结论：①∠EAF＝45°；②S△AEF；③x+y＜1．上述结论中，所有正确结论的序号是　①②　 ． 【答案】①②． 【分析】①连接AB'，根据对称的性质得AB＝AB'，BE＝B'E，由此可判定△ABE和△AB'E全等则∠BAE＝∠B'AE，再证明Rt△AB'F和Rt△ADF全等得∠B'AF＝∠DAF，由此可得出∠EAF＝45°，据此即可对结论①进行判断； ②根据全等三角形性质得S△ABE＝S△AB'E，S△AB'F＝S△ADF，则S△ABE+S△ADF＝S△AEF，进而得S△AEFS△CEF，再根据S△CEF＞0得S△AEF，据此即可对结论②进行判断； ③根据BE＝1﹣a，DF＝1﹣y及全等三角形性质得BE＝B'E＝1﹣x，B'F＝DF＝1﹣y，则EF＝B'E+DF＝2﹣（x+y），在△CEF中，根据三角形三边之间关系得CE+CF＞EF，则x+y＞2﹣（x+y），进而得x+y＞1，据此即可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案． 【解答】解：①连接AB'，如图所示： ∵点B关于直线AE的对称点为B′， ∴AB＝AB'，BE＝B'E， 在△ABE和△AB'E中， ， ∴△ABE≌△AB'E（SSS）， ∴∠BAE＝∠B'AE，∠B＝∠AB'E＝90°， ∴∠BAB'＝2∠B'AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠BAD＝90°， ∴∠AB'F＝∠D＝90°，AB'＝AD， 在Rt△AB'F和Rt△ADF中， ， ∴Rt△AB'F≌Rt△ADF（HL）， ∴∠B'AF＝∠DAF， ∴∠B'AD＝2∠B'AF， ∵∠BAD＝∠BAB'+∠B'AD＝90°， ∴2∠B'AE+2∠B'AF＝90°， ∴∠B'AE+∠B'AF＝45°， ∴∠EAF＝∠B'AE+∠B'AF＝45°， 故结论①正确； ②∵△ABE≌△AB'E，Rt△AB'F≌Rt△ADF， ∴S△ABE＝S△AB'E，S△AB'F＝S△ADF， ∴S△ABE+S△ADF＝S△AB'E+S△AB'F＝S△AEF， ∴S△ABE+S△ADF+S△AEF+S△CEF＝S正方形ABCD， ∵正方形ABCD的边长为1， ∴S正方形ABCD＝1， ∴2S△AEF+S△CEF＝1， ∴S△AEFS△CEF， ∵点E是边BC上的一动点（不与点B，C重合）， ∴S△CEF＞0， ∴S△CEF， 即S△AEF， 故结论②正确； ③∵正方形的边长为1，CE＝x，CF＝y， ∴BE＝1﹣x，DF＝1﹣y， ∵△ABE≌△AB'E，Rt△AB'F≌Rt△ADF， ∴BE＝B'E＝1﹣x，B'F＝DF＝1﹣y， ∴EF＝B'E+DF＝2﹣（x+y）， 在△CEF中，CE+CF＞EF， ∴x+y＞2﹣（x+y）， ∴x+v＞1， 故结论③错误， 综上所述：正确的结论序号是①②． 故答案为：①②． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 三．解答题（共7小题，满分78分） 19．（10分）·（2026•门头沟区一模）计算：． 【答案】． 【分析】先分别计算零指数幂、二次根式、绝对值和特殊角的三角函数，再合并同类项． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是关键． 20．（10分）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x﹣y＝10，试求m的值． 【答案】m＝7． 【分析】利用加减法求得原方程组的解，代入x﹣y＝10，解关于m的方程即可得出结论． 【解答】解：， ①+②得：4x＝6m﹣4， ∴x③， 将③代入②得：y， ∵x﹣y＝10， ∴10， ∴m＝7． 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 21．（10分）·（2026•清城区模拟）综合与实践 【回归教材】 （1）如图1，小文在∠AOB内部作了一条射线OC，请根据作图痕迹判断小文作的射线是　角平分线　 ；作这条射线的依据是SSS （选填“SSS”、“SAS”、“AAS”、“ASA”）； （2）如图2，小文在正方形ABCD内作了一个等边△BCE，连接AE、DE，则∠AEB＝　75°　 ； 【问题解决】 （3）如图3，李师傅要在等腰Rt△ABC的瓷砖上切割出一个△APB装修构件，要求点P在边BC上，且∠PAB＝15°，请用尺规作图的方法找到点P（保留作图痕迹），并写出你的方案． 【答案】（1）角平分线，SSS； （2）75°； （3） 【分析】（1）由角平分线的定义，全等三角形的判定与性质可得出结论； （2）利用正方形的性质，等边三角形的性质和等腰三角形的性质求得∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°； （3）在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°，则∠BAP＝15°． 【解答】解：（1）如图，射线OC为∠AOB的平分线； 连接MC，NC． 在△OCM和△OCN中， ， ∴△OCM≌△OCN（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC（全等三角形的对应角相等）， 即OC平分∠AOB． 故答案为：角平分线，SSS； （2）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°， ∵三角形BEC为等边三角形， ∴BE＝BC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABE＝∠DCE＝30°，AB＝BE，CE＝CD， ∴∠BAE＝∠BEA＝∠CED＝∠CDE＝75°， 故答案为：75°； （3）如图，∠BAP＝15°． 方案：作等边三角形BCE，作∠BCE的平分线CN，则∠BCN＝30°， 在∠CAB内部作∠CAP＝∠BCN＝30°， 则∠BAP＝15°． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，正方形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键 22．（10分）·（2026•裕华区校级二模） 背景 我国新能源汽车产销量连续10年全球第一，2025年出口261.5万辆，纯电动汽车占比超六成．凭借环保节能的优势，电动车越来越受到青睐，预计到2035年，纯电动汽车将占据市场绝对主导地位． 素材1 工程师对某品牌的A款电动车进行充电测试，用快速充电桩和慢速充电桩分别对剩余电量为20%的两台A款电动车同时充电，充电时，各自的电量y与充电时间x（小时）的函数图象分别为图中的线段BC和BD． 素材2 暑假里，小明一家驾驶某品牌的A款电动车从家出发去外地旅游，途中发现电量不足，便驶入服务区充电．此时，车辆剩余电量为20%，但服务区内的快速充电桩已满，只能先使用慢速充电桩充电．小明一家在慢速充电40分钟后，恰好有快速充电桩空出，立即改为快速充电（切换时间忽略不计）．由于行程安排，他们在服务区最多能停留1.5小时． 问题解决 任务一 根据素材1，试分别对快速充电和慢速充电两种情况，写出y关于x的函数解析式，并分别指出自变量x的取值范围． 任务二 当他们离开服务区时，车辆的电量能否充至100%？请说明理由． 【答案】（1）快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）；快充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）； （2）车辆的电量不能充至100%．理由如下： 由题意得，慢充时间＝40÷60（小时）， ∴快充时间＝1.5（小时）； ∴电量＝20%10%80%1． ∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%． 【分析】（1）依据题意，由待定系数法计算可以得解； （2）依据题意得，慢充时间＝40÷60（小时），可得快充时间＝1.5（小时），从而电量＝20%10%80%1，故可判断得解． 【解答】解：（1）由题意，设快充为y＝kx+b（0≤x≤1）， ∵图象过（0，20%），（1，100%）， ∴， ∴k＝80%，b＝20%． ∴快充的函数解析式为y＝80%x+20%（0≤x≤1）； 设慢充为y＝mx+n（0≤x≤8）， ∵图象过（0，20%），（8，100%）， ∴， ∴m＝10%，b＝20%． ∴慢充的函数解析式为y＝10%x+20%（0≤x≤8）； （2）车辆的电量不能充至100%．理由如下： 由题意得，慢充时间＝40÷60（小时）， ∴快充时间＝1.5（小时）； ∴电量＝20%10%80%1． ∴当他们离开服务区时，车辆的电量不能充至100%． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用待定系数法是关键． 23．（12分）·（2026•东营区校级二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点D是OA上一点，DE⊥AB交BC的延长线于点E，点F是DE上一点，连接CF，CF＝EF． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）若AB＝DE＝8，点D是OA的中点，求BC的长． 【答案】（1）证明：连接OC， ∵DE⊥AB， ∴∠E+∠ABC＝90°． ∵CF＝EF， ∴∠E＝∠ECF． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠ECF+∠OCB＝∠E+∠ABC＝90°，则∠OCF＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）． 【分析】（1）连接OC，根据垂直得出直角，根据等边对等角以及角的和差得出∠OCF＝90°，即可得出结论； （2）根据勾股定理求出BE＝10，证明△ABC∽△EBD，然后根据相似三角形的对应边成比例即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵DE⊥AB， ∴∠E+∠ABC＝90°． ∵CF＝EF， ∴∠E＝∠ECF． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∴∠ECF+∠OCB＝∠E+∠ABC＝90°，则∠OCF＝90°， ∵OC是⊙O的半径， ∴CF是⊙O的切线； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵AB＝DE＝8，点D是OA的中点， ∴OA＝OB＝4，OD＝AD＝2， ∴BD＝6． ∵DE＝8，DE⊥AB，由勾股定理得， ∴． ∵∠ABC＝∠EBD，∠ACB＝∠EDB＝90°， ∴△ABC∽△EBD， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了圆的直径定理，直角三角形的性质，圆的切线的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 24．（12分）·（2026•杜尔伯特县一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）若点P为第四象限内抛物线上一点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标； （3）若点P为抛物线上一点，点Q是线段BC上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由△PBC面积OB×PH，即可求解； （3）当∠QOP为直角时，则点Q与点B重合，不符合题意；当∠OPQ为直角时，即OQ⊥BC，即可求解；当∠OPQ为直角时，证明△PNO≌△QMP（AAS），即可求解． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）， 则﹣3a＝﹣3， 解得：a＝1， 则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3， 由抛物线的表达式知，顶点坐标为（1，﹣4）； （2）过点P作y轴的平行线交BC于点H， 由点B（3，0）、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3， 设点P（m，m2﹣2m﹣3），则点H（m，m﹣3）， 则PH＝m﹣3﹣m2+2m+3＝﹣m2+3m， 则△PBC面积OB×PH（﹣m2+3m）， ∵0， 故函数有最大值， 此时m， 则点P（，）； （3）当∠QOP为直角时， 则点Q与点B重合，不符合题意； 当∠OQP为直角时， 即OQ⊥BC， 则点P和点B或C重合， 故点P的坐标为：（3，0）或（0，﹣3）， 当∠OPQ为直角时， 如图：设点P（x，y），点Q（m，m﹣3）， 过点P作y轴的平行线交x轴于点N，交过点Q和x轴的平行线于点M， ∵∠OPN+∠NOP＝90°，∠OPN+∠QPM＝90°， ∴∠OPN＝∠QPM， ∵∠PNO＝∠QMP， ∴△PNO≌△QMP（AAS）， ∴ON＝PM且PN＝MQ， 即﹣x＝y+3﹣m且﹣y＝m﹣x， 解得：， 当y时，即y＝x2﹣2x﹣3， 解得：x＝1（不合题意的值已舍去）， 即点P（1，） 如图所示，同理可求P（2，﹣3） 综上，点P的坐标为：（3，0）或（0，﹣3）或（1，）（2，﹣3）． 【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形全等、面积的计算，分类求解是解题的关键． 25．（14分）·（2026•富阳区一模）如图1，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AB＝10，点E为线段AB上一动点，点A′与点A关于DE的对称，连结AA′，DE与射线CA′交于点F． （1）如图2，当点E运动到AB中点时，点A′与B重合，求∠DFA′的大小； （2）点E在运动过程中，∠DFA′的大小是否会发生变化？若不变，请求出定值，若变化，请说明理由； （3）求FB+FC的最大值． 【答案】（1）∠DFA'＝30°； （2）不变， 理由：如图，记DF交AA'于点L， ∵点A'与点A关于DE的对称， ∴DA＝DA＝DC， ∴点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上 ∵∠ADC＝120°， ∴∠AA'C＝120°， ∴∠EA'F＝60°， ∵DF垂直平分AA'， ∴∠A'LF＝90°， ∴∠DFA'＝30°； （3）BF+CF的最大值为30． 【分析】（1）易得点A'与点B重合，再证△ADB是等边三角形即可得解； （2）易证点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上，则∠EA'F＝60°，据此得解； （3）根据∠DFC∠DBC，可得点F的轨迹为以B为圆心，BC为半径的圆上，据此求解即可． 【解答】解：（1）∵菱形ABCD中∠BAD＝60°， ∴AB＝BD＝AD，CD∥AB，∠C＝∠A＝60°， ∵AE＝BE， ∴DE⊥AB， ∴CD⊥DF， ∴∠DFC＝90﹣∠C＝30°， ∴∠DFA'＝30°； （2）不变， 理由：如图，记DF交AA'于点L， ∵点A'与点A关于DE的对称， ∴DA＝DA＝DC， ∴点A'，A，C在以D为圆心，DA为半径的圆上， ∵∠ADC＝120°， ∴∠AA'C＝120°， ∴∠EA'F＝60°， ∵DF垂直平分AA'， ∴∠A'LF＝90°， ∴∠DFA'＝30°； （3）∵∠DFA'＝30°，∠DBC＝60°， ∴∠DFC∠DBC， ∴点F的轨迹为以B为圆心，BC为半径的圆上， ∵AB＝BC＝10， ∴BF＝10，CF≤20， 当点E为AB中点时，CF为圆B的直径，CF取到20， ∴BF+CF的最大值为30． 【点评】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、隐圆问题等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $