27.3.2 结合反比例函数图象解决实际问题（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦反比例函数图象在实际问题中的应用，通过阿基米德杠杆原理导入，联系“阻力×阻力臂=动力×动力臂”引出反比例关系，衔接已学反比例函数概念，搭建从理论到应用的学习支架。 其亮点是结合物理实例（功、速度、压强等），通过气体压强与体积数据画散点图、算k值平均值建立模型，体现用数学眼光观察现实、数学思维推理关系、数学语言构建模型。小结明确应用与建模，助学生理解数学工具性，教师可借实例提升教学效果。

27.3　实际问题与反比例函数 第2课时 结合反比例函数图象解决实际问题 人教版 九年级 数学（上） 第27章 反比例函数 新课导入 “给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆原理”通俗地讲是：阻力×阻力臂＝动力×动力臂． 由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系． 2 探究新知 例3 在力F(单位：N)的作用下，若物体会在力F的方向上发生位移s(单位：m)，则力F所做的功W(单位：J)满足W=Fs. 当W为定值时，s与F之间的函数关系如图所示. （1）当力F为10N时，求F所做的功W； （2）写出s关于F的函数解析式； （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. (1)力F、物体在力F的方向上发生的位移s与力F所做的功W有怎样的关系式？ 提出问题： (2)对W＝Fs，通过公式变形，可以得到F＝_____或s＝_____． (3)当W一定时，F是s的反比例函数吗？请写出该反比例函数的解析式． （1）当力F为10N时，求F所做的功W； 解：（1）由图可知，当力F为10N时，物体在力F的方向上发生的位移s为50m， 此时F所做的功W = Fs = 10×50 = 500（J）. （2）写出s关于F的函数解析式； （2）当W为定值时，可以用反比例函数描述s与F之间的关系. 由（1）可知其解析式为 s = . （3）在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于100m，求力的范围. （3）将 s = 100代入 s = . 可得F = 5（N）. 因为s随着F的增大而减小， 所以要使物体在力的作用下的位移小于100 m，力F要大于5N. 例4 一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度v（单位：km/h）与行驶全程所用时间t（单位：h）的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. （1）写出v关于t的函数解析式，并求t的取值范围； （2）若客车上午8时从甲地出发, 需在当天10时40分至11时之间到达乙地, 求客车平均速度v的范围. 解：（1）甲地到乙地的路程为定值，可以用反比例函数描述v与t之间的关系. 当v=60时， 60 = ， 解得t = 4. 因为60≤v≤120，并且平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以2≤ t ≤4. 由图可知，当t=2时，v =120， 于是有v = . （2）客车上午8时从甲地出发，若当天10时40分到达乙地，则行驶全程所用时间t=2h， 若当天11时到达乙地，则行驶全程所用时间t=3h， 代入v = ，可得v=80（km/h）. 因为平均速度v随着行驶全程所用时间t的增大而减小，所以客车平均速度v的范围是80≤v≤90. 代入v = ，可得v=90（km/h）； 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型. 面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题. 探究： 某物理实验小组研究气体的压强p（单位：kPa）与体积V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了6组数据. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 气体的压强p与体积V是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为132 kPa时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）. 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 分析：由表可知，压强p是体积V的函数，由于没有现成的函数模型，所以需要选择合适的函数类型. 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出散点图（1）.　 观察这些点的分布状况，画一条曲线，使其尽可能靠近所有这些点． 可以发现，图（2）中的曲线形似双曲线的一支，因此尝试选择反比例函数近似描述气体的压强p与体积V之间的关系. 建立模型，设函数解析式为p=（V>0），根据上表中的数据, 分别求出k的值，列表如下: 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 计算所有k值的平均值，得 k = (2000+2016+1968+2030+1956+2010)≈1997. 我们把这个平均值1997作为k的值，就得到一个函数模型 p = . V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k 2000 2016 1968 2030 1956 2010 检验模型，将已知数据代入p = ，或画出函数p = 的图象，可以发现，这个函数模型与实际数据基本吻合，说明它能较好地反映气体的压强p与体积V的关系. p = 求解问题. 将p=132代入①，得132 = . 解得 V= ≈ 15.13（mL）. 因此，当压强为132kPa时，气体的体积约为15.13mL. 例 1 例题与练习 在某一电路中，电源电压U保持不变，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图所示． (1)求I与R之间的函数解析式； 解：(1)设I＝， 根据题目条件知，当R＝6时，I＝6， ∴U＝36. ∴I与R之间的函数解析式为I＝. (2)结合图象回答: 当电路中的电流不超过12A时， 电路中电阻R的取值范围是什么？ (2)根据图象，得R ≥ 3 . 例 2 某汽车的功率P(W)为一定值，它的速度v(m/s)与它所受的阻力F(N)之间的函数关系为v＝，且当F＝3 000时，v＝20. (1)这辆汽车的功率是多少瓦？请写出这一函数的解析式． 解：(1)由v＝，得P＝Fv＝3 000×20＝60 000(W)， ∴这辆汽车的功率为60 000 W， 此函数的解析式为v＝. (2)当它所受的阻力为2500 N时，汽车的速度为多少？ (2)当F＝2 500 N时， v＝＝＝24， ∴汽车的速度为24 m/s. (3)如果限定汽车的速度不超过30m/s，则阻力在什么范围？ (3)由 ≤ 30，F＞0， ∴阻力大于或等于2 000 N． 解得F ≥ 2 000， 1．研究发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例函数关系，图象如图所示．当近视眼镜的度数是200度时，镜片焦距是 ( ) A．0.5 m B．0.4 m C．0.125 m D．0.6 m A 2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气球的体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示．(kPa是一种压强单位) (1)写出这个函数的解析式； 解：(1)这个函数的解析式为p＝； (2)当气球的体积为0.8 m3时，气球内的气压是多少千帕？ (2)当V＝0.8 m3时， ∴气球内的气压是120 kPa. p＝＝120， (3)当气球内气压大于144 kPa时, 气球将爆炸，为了安全起见, 气球的体积应不小于多少立方米？ (3)当p＝144 kPa时，V＝m3. 根据函数图象得， ∴为了安全起见，气球的体积应不小于 m3. 当p ≤ 144 kPa时，V ≥ m3. 课堂小结 1．反比例函数知识在物理问题中的应用． 2．进一步掌握建模思想． 随堂检测 1、物理学知识告诉我们，一个物体受到的压强p与所受压力F及受力面积S 之间的计算公式为p=. 当一个物体所受压力为定值时，该物体所受压强p 与受力面积S 之间的关系用图象表示大致为(　　) C 2、在功W(J)一定的条件下，功率P(W)是做工时间t(s)的反比例函数，P(W)与t(s)之间的函数关系如图所示.当t=35时，P的值为 W . 3、近视眼镜镜片的度数y（单位：度）是关于镜片焦距x（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示. （1）求近视眼镜镜片的度数y关于镜片焦距x的函数解析式； 解:(1)设解析式为： 由图像可知，函数过点 ， 代入得： 解得： 所以函数解析式为： (2)当 时，代入解析式： 解得： 所以该镜片的焦距为 。 （2）若某近视眼镜的镜片为500度，求其焦距. 4、收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节. 某用电器内置可变电阻R的范围为110~220Ω，电压U为220 V. 已知功率P= 尺，回答下列问题： （1）功率P与电阻R有怎样的函数关系？ （2）这个用电器的功率P的范围是多少？ 解: (1) 已知 ，， 的范围是 . 将 代入公式： 即 是 的反比例函数： (2)因为 中 ， 所以 随 的增大而减小： 当 时， 当 时， 所以功率范围是： 作业布置 (1)教材P81　习题27.3第6，8题； (2)学生用书对应课时练习． $