专题02 图形与坐标（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材湘教版

专题02 图形与坐标 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 三角形的中位线定理 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 求点到坐标轴的距离 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）点在第_____象限，它到轴的距离是______，到轴的距离是______． 【变式3】 （25-26八年级上·江西吉安·期末）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． 判断点所在的象限 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 已知点所在的象限求参数 【例1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 【变式1】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）点在第二象限内，为整数，则点的坐标为____． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知点在坐标轴上，则_____． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）已知点． (1)若点，且轴，求点的坐标； (2)若点到轴、轴的距离相等，且在第四象限，求点的坐标． 点坐标规律探索 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是__________． 【变式3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某游乐园的游览简图如图所示，以图中某个方格的顶点为原点，分别以网格横线向右、纵线向上为轴、轴正方向建立平面直角坐标系． (1)如果原点是“冒险屋”，单位长度是每个小方格的边长，那么“藏宝林”的坐标是___________，“幻方桥”的坐标是___________ (2)如果“幻方桥”的坐标是，“寒暑院”的坐标是，在图中画出符合要求的平面直角坐标系． 已知图形的平移，求点的坐标 【例1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）线段是由线段平移得到的，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为__________． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位后的坐标为________． 坐标与图形的变化--轴对称 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）点关于轴对称的坐标为_______． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并写出点E的坐标． 坐标系中的动点问题 【例1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 坐标与旋转规律问题 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，．将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2026次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 距离与坐标的混淆 易错点：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值。 避坑指南：口诀：“到x轴看y，到y轴看x”。 【例1】平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A到y轴的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．6 【变式1】已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【变式2】若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 【变式3】已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 平移方向搞反 易错点：“向左平移”误操作为横坐标加。 避坑指南：左减右加（x变化），下减上加（y变化）。 【例1】三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式1】的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式3】在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 分类讨论遗漏 易错点：动点问题或距离问题，只写一种情况。 避坑指南：警惕关键词：如“点B在点A左侧或右侧”、“到坐标轴距离为...”，通常有两解。 【例1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，和位置关系是 ； (2)在P、Q的运动过程中，连接，，使，求出点P的坐标． 学科网（北京）股份有限公2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 图形与坐标 求平面直角坐标系内点的坐标 (1)平面直角坐标系的定义:在平面内画两条互相垂直的数轴,其中一条叫横轴(x轴),另一条叫纵轴(y轴),它们的交点O是这两条数轴的原点.通常,横轴向右为正方向,纵轴向上为正方向,这样建立的两条数轴构成了平面直角坐标系. (2)建立了平面直角坐标系后,平面上的点与有序实数对一一对应. 建立恰当的平面直角坐标系确定点的坐标 构建的平面直角坐标系不同,则点的坐标也不同,在建立平面直角坐标系时,应使点的坐标简明. 方法技巧：建立平面直角坐标系的常见方法 (1)以某些特殊的线段所在的直线为x轴或y轴(如高线、中线等). (2)把对称图形的对称轴作为工轴或y轴. (3)以某个已知点为原点建立平面直角坐标系。 平移与坐标变化 一般地,在平面直角坐标系中,点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a.-b),关于y轴的对称点的坐标为(-a,b). 三角形的中位线定理 一般地,在平面直角坐标系中,将点(a,b)向右(或向左)平移k个单位长度,其像的坐标为(a+k,b)(或(a-k,b));将点(a,6)向上(或向下)平移k个单位长度,其像的坐标为(a,b+k)(或(a,b-k)). 求点到坐标轴的距离 【例1】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）对于平面直角坐标系中的任意线段，给出如下定义：线段上各点到轴距离的最大值，叫做线段的“轴距”，记作，如图，点，点，则线段的“轴距”为，记作，已知点，点，若，则的值为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】分情况讨论：时，；时，或，再分别验证即可． 【详解】解：由题知， 因为，且点，点， 则时，， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，符合题意； 时，或， 时，点，点，符合题意； 时，点，点，不符合题意， 综上所述，的值为或． 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）在平面直角坐标系中，已知点P在第二象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴1个单位长度，则P的坐标为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中各象限内点的坐标特征，解题的关键是明确第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，以及点到坐标轴的距离与坐标的对应关系． 根据点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值，第二象限内点的横坐标，纵坐标求解即可． 【详解】解：∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的纵坐标的绝对值为， ∵ 点距离轴个单位长度， ∴ 的横坐标的绝对值为， 又∵ 点在第二象限，第二象限内点的横坐标，纵坐标， ∴ 点的坐标为． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）点在第_____象限，它到轴的距离是______，到轴的距离是______． 【答案】 二 【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的坐标符号特征判断点所在象限，根据点到坐标轴距离的定义求解对应距离即可. 【详解】解：平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 已知点坐标为，横坐标，纵坐标，符合第二象限点的坐标特征， ∴该点在第二象限. ∵平面直角坐标系中，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，到轴的距离为横坐标的绝对值， ∴该点到轴的距离为，到轴的距离为． 故答案为：二；；． 【变式3】 （25-26八年级上·江西吉安·期末）已知点． (1)若点在轴上，求的值； (2)若点的坐标为，且直线轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标为0，再列方程求解即可； （2）由直线轴，可得M，N的纵坐标相等，再列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上， ∴ ； （2）解：直线轴， ， 解得， ， 点的坐标为． 判断点所在的象限 【例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】∵ 平面直角坐标系中各象限点的符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限； 又∵ 点的横坐标，纵坐标，符合第二象限点的符号特征； ∴ 点在第二象限. 【变式1】（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在平面直角坐标系中，点一定在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】确定点的横纵坐标的符号，进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴点在第四象限. 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，小手盖住的点的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据第二象限点的坐标特征，即可解答． 【详解】解：小手盖住的点在第二象限，其坐标可能是． 【变式3】（25-26八年级上·宁夏银川·期末）在平面直角坐标系中，点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据横纵坐标的正负判断该点所在象限． 【详解】解：∵对于任意实数，都有， ∴，， ∵， ∴该点在第三象限． 已知点所在的象限求参数 【例1】（25-26七年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，点，，若直线与轴平行，则的值为(　　) A．0 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中平行于轴的直线的坐标特征，关键是掌握“平行于轴的直线上的所有点横坐标相同，纵坐标不相等”这一核心知识点．根据直线与轴平行的性质，得出、两点的横坐标相等，据此列出关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：∵直线与轴平行，点，点， ∴，得； 故选：B． 【变式1】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期末）点在第二象限内，为整数，则点的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是已知点所在的象限求参数、求一元一次不等式组的整数解，解题关键是记住各象限内点的坐标的符号． 根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得不等式组，解不等式组，可得答案． 【详解】解：点在第二象限内， ， 解得， 即， 又为整数， ， 则， ， 即点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知点在坐标轴上，则_____． 【答案】2 【分析】本题考查坐标轴上的点坐标的特征，由，排除在轴上的可能，则点在轴上，即． 【详解】解：∵， ∴点不在轴上， 又∵点在坐标轴上， ∴点在轴上， ∴，即． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级上·山东威海·期末）已知点． (1)若点，且轴，求点的坐标； (2)若点到轴、轴的距离相等，且在第四象限，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为； (2)点的坐标为． 【分析】本题考查的知识点是直角坐标系点的坐标、已知点所在的象限求参数，解题关键是熟练掌握直角坐标系中点的坐标特点． （1）根据已知条件可确定点的纵坐标和点的纵坐标相等，求出的值，再确定点的坐标； （2）根据已知条件列等式及不等式组，求出的值，确保符合其取值范围，再确定点的坐标． 【详解】（1）解：点，且轴， 点的纵坐标和点的纵坐标相等， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：点在第四象限， ， 解得， 又点到轴、轴的距离相等， ， 解得，符合条件， ，， 点的坐标为． 点坐标规律探索 【例1】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，，第次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了小球碰撞正方形边时的对称问题、点的坐标的规律．根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2026除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【详解】解：∵弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角， ∴小球第1次碰到正方形的边时的点为， 小球第2次碰到正方形的边时的点为， 小球第3次碰到正方形的边时的点为， 小球第4次碰到正方形的边时的点为， 小球第5次碰到正方形的边时的点为， 小球第6次碰到正方形的边时的点为， 如此重复， ∴小球每6次碰撞是一个循环组， ∵， ∴的坐标与相同， ∴的坐标为． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．一只蚂蚁从点出发，以每秒钟一个单位长度的速度沿的方向在四边形的边上匀速爬行，则在2026秒时蚂蚁所在位置的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究．根据题意可得蚂蚁从点出发沿所走路程是：，然后计算，可得第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处，进而可得答案． 【详解】解：由点，，，，可知是长方形， ∴，， ∴蚂蚁从点出发沿所走路程是：． ∵， ∴第2026秒时蚂蚁在与轴的交点处， ∴蚂蚁所在点的坐标为． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·贵州六盘水·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，等边的顶点的坐标是，点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动，第2025秒时点的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了点的坐标特征，等边三角形的性质，数字规律，关键是求出前面几个点坐标，得出规律．根据题意，点每6秒回到原点，利用确定第2025秒时点所在的位置，进行求解即可． 【详解】解：∵等边的顶点的坐标是， ∴， ∵点从原点开始，以每秒2个单位长度的速度沿的路线做循环运动， ∴每经过秒，点回到原点， ∵， ∴第2025秒时点的坐标与第3秒时点的坐标相同，此时点运动到的中点处， 设的中点为，作轴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴第2025秒时点的坐标是； 故答案为：． 【变式3】（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 【答案】 【分析】此题考查了坐标规律问题，根据友好点的定义，依次求出点、、、的坐标，发现每4个点坐标循环一次，由于2024是4的倍数，点的坐标与点的坐标相同． 【详解】解：当点的坐标为时， 根据友好点的定义得，点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即，与点坐标相同， 因此，点的坐标每4个点循环一次， 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 实际问题中用坐标表示位置 【例1】（25-26八年级上·山西太原·期末）太原古县城是中国国家历史文化街区，下图是古县城内景点分布示意图．若隆恩寺的位置是，城隍庙的位置是，则县衙的位置是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据隆恩寺 和城隍庙 的坐标确定平面直角坐标系的原点和坐标轴方向，再根据坐标系确定县衙的坐标． 【详解】解：以隆恩寺 和城隍庙 为参考， 设水平向右为 轴正方向，竖直向上为 轴正方向，由两点坐标可确定原点位置， 建立平面直角坐标系如下： 进而得到县衙的位置是 ． 【变式1】（25-26八年级上·广东河源·期末）2025年9月28日，国内首个无人机夜间配送服务落地深圳！低空经济开启“不眠模式”．如图，若无人机在某次投送点的中心位置在图中阴影部分，则中心位置的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各象限的坐标特征，结合图中阴影部分所在象限进行判定即可． 【详解】解：∵第四象限的坐标符号为：横坐标为正，纵坐标为负，图中阴影部分在第四象限， ∴中心位置的坐标应为选项A． 【变式2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）奇奇发给来访的朋友小明一张旅游简图，并告知大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，自己在河南博物院等待与他会合，河南博物院的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由大学城的坐标是，黄河风景区的坐标是，建立直角坐标系如图， 由图可知河南博物院的坐标为． 【变式3】（25-26八年级下·上海奉贤·期末）某游乐园的游览简图如图所示，以图中某个方格的顶点为原点，分别以网格横线向右、纵线向上为轴、轴正方向建立平面直角坐标系． (1)如果原点是“冒险屋”，单位长度是每个小方格的边长，那么“藏宝林”的坐标是___________，“幻方桥”的坐标是___________ (2)如果“幻方桥”的坐标是，“寒暑院”的坐标是，在图中画出符合要求的平面直角坐标系． 【答案】(1)，； (2)见解析 【详解】（1）建立如图平面直角坐标系，由题意可知，“藏宝林”的坐标是，“幻方桥”的坐标是； （2）根据题意，建立如图平面直角坐标系，经检验，“幻方桥”的坐标和“寒暑院”的坐标符合题意． 已知图形的平移，求点的坐标 【例1】（25-26八年级下·上海奉贤·期中）如果将点向右平移个单位长度得到点，点与点关于轴对称．那么点的坐标是___________ 【答案】 【分析】先根据点的平移规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标特征求解点的坐标． 【详解】解：点向右平移个单位长度得到点， 点的坐标为，即， 点与点关于轴对称， 点的坐标为． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期末）线段是由线段平移得到的，若点的对应点为，则点的对应点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据坐标与图形平移的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．先由点A及其对应点C的坐标确定平移规律，再计算点B对应点D的坐标． 【详解】解：∵线段是由线段平移得到，点的对应点为， ∴平移规律为横坐标向右平移个单位，纵坐标向上平移个单位. ∵点的对应点为， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 【变式2】（25-26八年级上·浙江温州·期末）在平面直角坐标系中，点向右平移2个单位后的坐标为________． 【答案】 【分析】根据平面直角坐标系中点的平移规律，左右平移仅改变横坐标，右移横坐标加，左移横坐标减，上下平移仅改变纵坐标，本题只需计算横坐标的变化即可得到结果． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变， ∴点向右平移2个单位后的坐标为， 故答案为： ． 坐标与图形的变化--轴对称 【例1】（25-26八年级上·广东梅州·期末）点关于轴对称的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的坐标为． 【变式1】（24-25八年级上·福建福州·期末）若点关于y轴对称点的坐标是，则的值为______． 【答案】1 【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得m，a的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于y轴对称点的坐标是， ∴ 解得， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，的顶点A，C的坐标分别为． (1)请在网格中画出相应的平面直角坐标系； (2)请画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，． 【分析】（1）根据点A，C的坐标分别为找到直角坐标系的原点，以此构造平面直角坐标系即可； （2）先找出A、B、C三点关于y轴对称的对称点，连接三点画出三角形即可，进而写出点的坐标． 【详解】（1）解：如图所示为所求： （2）解：如图所示： 则． 【变式3】（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在平面直角坐标系中，网格上的每个小正方形的边长均为1，的顶点坐标分别为，，．在图中画出关于x轴对称的（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F），并写出点E的坐标． 【答案】图见解析，点E的坐标为 【分析】根据轴对称的性质作出点D，E，F，依次连接即可得到，进而可得点E的坐标． 【详解】解：如图，即为所求． 由图可得，点E的坐标为． 坐标系中的动点问题 【例1】（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 【变式1】（23-24七年级下·湖北武汉·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知，，，且，，D为的中点． (1)直接写出a，b，c的值； (2)若点在线段的延长线上，请探究m，n的数量关系式； (3)如图2，把点D向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度至点E，连接，，若的面积为23，求d的值； (4)如图3，点F在经过点D，且平行于x轴的直线上，设其横坐标为t，连接，，记的面积为S，当时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】（1）由二次根式有意义的条件可得，再结合算术平方根的含义可得； （2）过点作轴于点，作轴于点，连接，根据题意得到，表示出，列等式即可解答； （3）求出，，过作轴的垂线，过、作轴的垂线，交点为，再利用面积建立方程求解即可； （4）分情况讨论：当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为与过且平行于轴的直线交于，；当在的左边时，过作轴的垂线与过且平行于轴的直线交于，，再建立不等式组解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，过点作轴于点，作轴于点，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵为的中点， ， ∵把点向右平移d（）个单位长度，再向下平移个单位长度至点， ， 即， 如图，过B作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为． ∴，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴的面积为23， ∴， 解得； （4）如图，当在的右边时，过作轴的垂线，过作轴的垂线，交点为，与过且平行于轴的直线交于， 由题意可得， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 如图，当在的左边时，过作轴的垂线与过点且平行于轴的直线交于， 由题意可得， 同理可得，，， ∴， ∴， ∴， 解得； 综上，或． 【变式2】（25-26八年级上·湖北十堰·期末）平面直角坐标系中，点，，且a，b满足：，点A，C关于y轴对称，点F为x轴上的一个动点． (1)求点A，B两点的坐标； (2)如图1，若，，且，连接交x轴于点M，求证：； (3)如图2，若，且，直线上存在某点，使为等腰直角三角形（点D，F，G按逆时针方向的顺序排列），请直接写出点F的坐标． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)或或 【分析】（1）由非负数的性质列出方程求出a、b的值即可； （2）作，交x轴于点N，先证明，再证明，即可证明； （3）过点D作轴于点L，先证明为等腰直角三角形，再证明，则，，再按点F与点C重合，且，且三种情况，分别求出相应的m的值，然后确定点F的坐标即可． 【详解】（1）解：∵，，， ，， 解得，， ，； （2）证明：如图3，作，交x轴于点N，则， ，， ， 点A、C关于y轴对称， 点，y轴是线段的垂直平分线， ， ， ， ； ，，且， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图4， ， ， ， 为等腰直角三角形， 当点F与点C重合、点G与点B重合时，则为等腰直角三角形， ， 过点D作轴于点L，则， ，， ， ，， ， ，， 如图5，若，， 过点G作轴交y轴于点K，作于点R，于点Q， 则， ， ， ∵， ， ， 由可得，， 解得，， ，， ， ， ； 如图6，若，，作轴，作轴于点P，交于点H， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点F的坐标为或或． 坐标与旋转规律问题 【例1】（25-26九年级上·江苏南通·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为，点B坐标为，点C与坐标原点重合，将在平面内沿x轴向右旋转：第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处，第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处，……，以此类推，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出前几次的坐标，再从中找出规律，然后利用规律求解即可． 【详解】解：如图， ∵点坐标为，点坐标为， ∴，， ∵， ∴， 由旋转的性质可得：， ， ， ， 第1次绕点B顺时针旋转至点A落在x轴上点处， ， ∴， 第2次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， 第3次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第4次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， 第5次绕点顺时针旋转至点落在x轴上点处， ， ∴， 此时轴， ∴， … 轴上为每3段一循环，即重复出现， ，，，，，…，这些点的横坐标依次为： 0，，，，，， 奇数次旋转（如第1、3、5…次）：点A落在x轴上，纵坐标为0，横坐标增加， 偶数次旋转（如第2、4、6…次）：点A不在x轴上，纵坐标为1，横坐标增加1， 每两次旋转为一个周期，每个周期内横坐标总增加，纵坐标在偶数次旋转后为1， ， 50次旋转包含25个完整周期， 每个周期横坐标增加，25个周期总增加：， 初始横坐标为0， 故第50次旋转后的横坐标为， 点​的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形，根据旋转的性质求解，坐标与旋转规律问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 【变式1】（25-26九年级上·山西阳泉·期末）如图，在中，顶点，，，将与正方形组成的图形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2026次旋转结束时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标的特点、正方形的性质和旋转的性质，根据坐标的特点和正方形性质，得出点的坐标，再由旋转的性质，得出点旋转的坐标规律，最后根据要求求解即可． 【详解】解：，，轴，且， 四边形是正方形， ，， ， 连接，记轴于点，如图所示： 由旋转的性质可知，，， 故，，， 在旋转中，点的坐标由4个为一个循环，不断重复， 由，故第2026次旋转结束时，点的坐标为 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，矩形的顶点分别在轴、轴上，．将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转．则第2026次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与旋转变化的规律探索，矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，过点D作轴于点E，连接，根据已知条件求出点D的坐标，再根据旋转的性质求出前4次旋转后点D的坐标，发现规律，进而求出第2026次旋转结束时，点D的坐标． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形绕点顺时针旋转，每次旋转， 则第1次旋转结束时，点D的坐标为； 则第2次旋转结束时，点D的坐标为； 则第3次旋转结束时，点D的坐标为； 则第4次旋转结束时，点D的坐标为； …， 发现规律：旋转4次一个循环， ∴， 则第2026次旋转结束时，点D的坐标为． 故选：C． 【变式3】（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点B在第一象限内，，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2次旋转后点B的坐标为____． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转以及解含有特殊角的直角三角形，正确作图分析是解题的关键．先通过已知条件求出点B的坐标，再由旋转的定义，作图找到第2次旋转后点B的位置，求出该点坐标即可． 【详解】解：如图1，过B作轴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 将绕点O逆时针旋转，每次旋转， 设旋转两次后，B点的对应点为， 如图2，点在x轴负半轴，， ∵在中， ，，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：． 距离与坐标的混淆 易错点：点到x轴的距离是纵坐标的绝对值。 避坑指南：口诀：“到x轴看y，到y轴看x”。 【例1】平面直角坐标系中，点A的坐标为，则点A到y轴的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离．熟练掌握点到x轴的距离是点纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点横坐标的绝对值，是解题的关键． 点到y轴的距离等于该点横坐标的绝对值． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴点A到y轴的距离为． 故选：B． 【变式1】已知点．若点M到两坐标轴的距离相等，则a的值为（    ） A．4 B． C．或4 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标系中点的坐标、解一元一次方程，根据题意得，，再分类讨论即可求解． 【详解】解：∵点M到两坐标轴的距离相等， ∴，即， 当时，， 当时，， 故选：C． 【变式2】若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此结合题意建立方程求解即可． 【详解】解：∵点到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得， 故答案为：． 【变式3】已知点，将线段平移至线段（点与对应，点与对应），且点坐标为． (1)求点的坐标． (2)若点在轴上，且的面积是面积的2倍，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，坐标与图形，熟知“上加下减，左减右加”的平移规律是解题的关键． （1）根据点B和点D的坐标可得平移方式，根据平移方式和点A的坐标可得点C的坐标； （2）设点的坐标为，则，根据三角形的面积公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为，点坐标为， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵点A的坐标为， ∴点C的坐标为，即； （2）解：设点的坐标为， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， 解得或， ∴点P的坐标为或． 平移方向搞反 易错点：“向左平移”误操作为横坐标加。 避坑指南：左减右加（x变化），下减上加（y变化）。 【例1】三个顶点的坐标分别为，，，将平移到了，其中，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据A点平移前后的坐标确定整个三角形的平移规律，再计算点的坐标即可求解． 【详解】解：∵平移前坐标为，平移后坐标为， ∴平移规律为先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∵点坐标为， ∴点的坐标为，即． 【变式1】的顶点坐标分别为，，，将沿平移，使点A到达点B处，则平移后点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，理解题意是解决本题的关键． 根据题意可得点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位，进行求解即可． 【详解】解：∵点平移到， ∴点A向左平移了3个单位，向下平移了5个单位， ∵点， ∴平移后点C的坐标为． 故选C． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中．为轴正半轴上一点，且．点从点出发，沿射线方向运动，同时点从点出发，沿射线方向运动，在运动过程中若点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度，当是等腰三角形时，求点的坐标（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，一元一次方程的应用，坐标与图形性质，灵活运用分情况讨论思想解答是解题的关键． 设点的运动时间是，则，，然后分两种情况：当点在点左边时或当点在点右边时，列方程，即可求解． 【详解】解：在平面直角坐标系中，， ，， ， 设点的运动时间为， 点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度， ，， 当点在点左边时，如图， △是等腰三角形，， △是等边三角形， ， ， 解得：， ， ， 此时点的坐标为； 当点在点右边时，如图， ， ， 是等腰三角形， ， ， 解得：， ， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【详解】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 分类讨论遗漏 易错点：动点问题或距离问题，只写一种情况。 避坑指南：警惕关键词：如“点B在点A左侧或右侧”、“到坐标轴距离为...”，通常有两解。 【例1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到y轴的距离等于，则点的坐标是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题利用平行于轴的直线上点的纵坐标相等的性质，先确定点的纵坐标，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出横坐标，即可得到点的坐标． 【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上， ， 点到轴的距离等于， ， 即或， 点的坐标为或． 【变式1】已知点与点在同一条平行于轴的直线上，点与相距4个单位长度，则点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查坐标与图形的性质，解题的关键是明确与轴平行的直线上所有点的纵坐标相同，任意一点与轴的距离是横坐标的绝对值．点A与点B在同一条平行于x轴的直线上，因此点B的纵坐标与点A的纵坐标相同；点B与点A相距4个单位长度，即横坐标之差的绝对值为4，从而求解点B的横坐标． 【详解】解：∵点与点在同一条平行于x轴的直线上， ∴． ∵点B与点A相距4个单位长度， ∴， ∴或， ∴点B的坐标为或． 故选：D． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是求点到坐标轴的距离、三角形的面积，解题关键是灵活运用数形结合思想． 先求出，再根据点的坐标得到点到的距离求出面积，设点坐标为，根据三角形面积公式得，解得的值即可确定点的坐标． 【详解】解：依题得：， ， 设点坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，点，，，且满足，P点从A点出发沿x轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q点从O点出发沿y轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动． (1)直接写出点A的坐标 ，点B的坐标 ，和位置关系是 ； (2)在P、Q的运动过程中，连接，，使，求出点P的坐标． 【答案】(1)， ， (2)或 【分析】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，一元一次方程的应用 （1）根据非负数的性质计算得出，，从而即可得出结果； （2）作于点，设时间经过秒，，由题意可得，，，，分两种情况：当点在点的上方时，；当点在点的下方时，；分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴点和点的纵坐标相同， ∴和位置关系是； （2）解：如图，作于点， 设时间经过秒，， 由题意可得：，，，， 当点在点的上方时，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 当点在点的下方时，， 此时， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 学科网（北京）股份有限公30 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $